Đề thi giữa học kì 1 Toán 11 - Đề số 4

Áp dụng quan hệ giữa radian và độ: $1rad = {\left( {\frac{{180}}{\pi }} \right)^o}$, ${1^o} = \frac{\pi }{{180}}rad$.

Ta có: $\frac{\pi }{6}rad = \frac{\pi }{6}.\frac{{{{180}^o}}}{\pi } = {30^o}$.

Áp dụng công thức ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$ và sử dụng đường tròn lượng giác để xét dấu.

Ta có: ${\sin ^2}\alpha = 1 - {\cos ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{1}{4}} \right)^2} = \frac{{15}}{{16}}$, suy ra $\sin \alpha = \pm \frac{{\sqrt {15} }}{4}$.

Vì $\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}$ nên điểm cuối của cung $\alpha$ thuộc cung phần tư thứ III, do đó $\sin \alpha < 0$.

Vậy $\sin \alpha = - \frac{{\sqrt {15} }}{4}$.

Sử dụng công thức cộng lượng giác $\cos (a - b) = \cos a.\cos b + \sin b.\sin a$.

$\cos \frac{{37\pi }}{{12}} = \cos \left( {3\pi  + \frac{\pi }{{12}}} \right)$

$= \cos \left( {\pi  + \frac{\pi }{{12}}} \right)$

$=  - \cos \frac{\pi }{{12}}$

$=  - \cos \left( {\frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{4}} \right)$

$=  - \left( {\cos \frac{\pi }{3}.\cos \frac{\pi }{4} + \sin \frac{\pi }{3}.\sin \frac{\pi }{4}} \right)$

$=  - \frac{{\sqrt 6  + \sqrt 2 }}{4}$.

Cho hàm số y = f(x) liên tục và xác định trên khoảng (đoạn) K. Với mỗi $x \in K$ thì $- x \in K$.

- Nếu f(x) = f(-x) thì hàm số y = f(x) là hàm số chẵn trên tập xác định.

- Nếu f(-x) = -f(x) thì hàm số y = f(x) là hàm số lẻ trên tập xác định.

Xét phương án A, hàm số $y = \left| {\sin x} \right|$ có tập xác định D = R, suy ra có $x \in R$ thì $- x \in R$.

Mặt khác, $f( - x) = \left| {\sin ( - x)} \right| = \left| { - \sin x} \right| = \sin x = f(x)$.

Vậy hàm số đáp án A là hàm số chẵn.

Nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản.

$\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Tìm lần lượt ${u_2},{u_3}$ bằng cách thay n vào công thức tổng quát.

Ta có:

${u_2} = 2{u_{2 - 1}} + 3 = 2{u_1} + 3 = 2.1 + 3 = 5$

${u_3} = 2{u_{3 - 1}} + 3 = 2{u_2} + 3 = 2.5 + 3 = 13$

Dãy số lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi hai phần tử liên tiếp sai khác nhau một hằng số.

Xét hiệu các phần tử liên tiếp trong các dãy số, chỉ có dãy ở đáp án C phần tử sau hơn phần tử liền trước 2 đơn vị (8 – 6 = 6 – 4 = 4 – 2 = 2 – 0 = 2).

Viết các số hạng đầu của từng đáp án để kiểm tra.

Ta có: $0 = \frac{0}{{0 + 1}}$; $\frac{1}{2} = \frac{1}{{1 + 1}}$; $\frac{2}{3} = \frac{1}{{2 + 1}}$; $\frac{3}{4} = \frac{3}{{3 + 1}}$; $\frac{4}{5} = \frac{4}{{4 + 1}}$. Vậy

${u_n} = \frac{n}{{n + 1}}$.

Biến đổi phương trình trở thành dạng phương trình tích, đưa về giải phương trình lượng giác cơ bản.

$\sin 2x + \cos x = 0 \Leftrightarrow 2\sin x.\cos x + \cos x = 0 \Leftrightarrow \cos x.(2\sin x + 1) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ {$$\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{\cos x = 0}\\{2\sin x + 1 = 0}\end{array}$} \right. \Leftrightarrow \left[ {$\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{\cos x = 0}\\{\sin x = - \frac{1}{2}}\end{array}$ \Leftrightarrow \left[ {$\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = \frac{\pi }{2} + k\pi }\\{x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\{x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi }\end{array}$} \right.} \right. với $k \in \mathbb{Z}$.

Vì $x \in [0;2\pi ]$ nên chỉ có 4 nghiệm thỏa mãn: $x = \left\{ {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2};\frac{{7\pi }}{6};\frac{{11\pi }}{6}} \right\}$.

Tìm số hạng đầu và công sai dựa theo công thức ${u_n} = {u_1} + (n - 1)d$.

Từ đó tìm tổng 20 số hạng đầu tiên ${S_n} = \frac{{({u_1} + {u_n})n}}{2}$.

Ta có: $\{\begin{array}{c}{u}_5=u_1+4d\\ u_{15}=u_1+14d\end{array}\iff \{\begin{array}{c}-10=u_1+4d\\ 60=u_1+14d\end{array}\iff \{\begin{array}{c}{u}_1=-38\\ d=7\end{array}$$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{u_5} = {u_1} + 4d}\\{{u_{15}} = {u_1} + 14d}\end{array}} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 10 = {u_1} + 4d}\\{60 = {u_1} + 14d}\end{array}} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{u_1} = - 38}\\{d = 7}\end{array}} \right.$

Từ đó ta tính được ${u_{20}} = - 38 + (20 - 1)7 = 95$.

Vậy tổng 20 số hạng đầu của cấp số cộng là ${S_{20}} = \frac{{({u_1} + {u_{20}}).20}}{2} = \frac{{( - 38 + 95).20}}{2} = 570$.

Khoảng biến thiên bằng hiệu giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu.

Giá trị nhỏ nhất của mẫu là 18, giá trị lớn nhất là 8 nên khoảng biến thiên là 18 – 8 = 10.

Lý thuyết ghép nhóm mẫu số liệu.

Nhóm số liệu ghép nhóm thường được cho dưới dạng [a; b), trong đó a là đầu mút trái, b là đầu mút phải.

Giải phương trình lượng giác $\sin x = a$:

- Nếu $\left| a \right| > 1$ thì phương trình vô nghiệm.

- Nếu $\left| a \right| \le 1$ thì chọn cung $\alpha$ sao cho $\sin \alpha  = a$. Khi đó phương trình trở thành:

$\sin x = \sin \alpha  \Leftrightarrow \left[ {$$\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = \alpha  + k2\pi }\\{x = \pi  - \alpha  + k2\pi }\end{array}$} \right. với $k \in \mathbb{Z}$.

$2\sin \left( {x - \frac{\pi }{{12}}} \right) + \sqrt 3  = 0$

$\Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{{12}}} \right) =  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}$

$\Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{{12}}} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{3}} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ {$$\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x - \frac{\pi }{{12}} =  - \frac{\pi }{3} + k2\pi }\\{x - \frac{\pi }{{12}} = \pi  + \frac{\pi }{3} + k2\pi }\end{array}$} \right.

$\Leftrightarrow \left[ {$$\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x =  - \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{x = \frac{{17\pi }}{{12}} + k2\pi }\end{array}$} \right.

a) Sai. $2\sin \left( {x - \frac{\pi }{{12}}} \right) + \sqrt 3  = 0$

$\Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{{12}}} \right) =  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}$

$\Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{{12}}} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{3}} \right)$

b) Sai. Phương trình có nghiệm là $x =  - \frac{\pi }{4} + k2\pi$; $x = \frac{{17\pi }}{{12}} + k2\pi$ $(k \in \mathbb{Z})$.

c) Đúng.

+ Xét họ nghiệm $x =  - \frac{\pi }{4} + k2\pi$:

Nghiệm âm lớn nhất là $x =  - \frac{\pi }{4}$ khi k = 0.

+ Xét họ nghiệm $x = \frac{{17\pi }}{{12}} + k2\pi$:

Nghiệm âm lớn nhất là $x =  - \frac{{7\pi }}{{12}}$ khi k = -1.

Vì $- \frac{\pi }{4} >  - \frac{{7\pi }}{{12}}$ nên nghiệm âm lớn nhất là $x =  - \frac{\pi }{4}$.

d) Đúng.

+ Xét họ nghiệm $x =  - \frac{\pi }{4} + k2\pi$:

$- \pi  < x < \pi  \Leftrightarrow  - \pi  <  - \frac{\pi }{4} + k2\pi  < \pi$

$\Leftrightarrow  - 1 <  - \frac{1}{4} + 2k < 1 \Leftrightarrow  - \frac{3}{4} < 2k < \frac{5}{4}$

$\Leftrightarrow  - \frac{3}{8} < k < \frac{5}{8}$.

Vậy chỉ có k = 0 thỏa mãn. Khi đó $x =  - \frac{\pi }{4}$.

+ Xét họ nghiệm $x = \frac{{17\pi }}{{12}} + k2\pi$:

$- \pi  < x < \pi  \Leftrightarrow  - \pi  < \frac{{17\pi }}{{12}} + k2\pi  < \pi$

$\Leftrightarrow  - 1 < \frac{{17}}{{12}} + 2k < 1 \Leftrightarrow  - \frac{{29}}{{12}} < 2k <  - \frac{5}{{12}}$

$\Leftrightarrow  - \frac{{29}}{{24}} < k <  - \frac{5}{{24}}$.

Vậy chỉ có k = -1 thỏa mãn. Khi đó $x =  - \frac{{7\pi }}{{12}}$.

Vậy phương trình có hai nghiệm thuộc khoảng $( - \pi ;\pi )$ là $x =  - \frac{\pi }{4}$ và $x =  - \frac{{7\pi }}{{12}}$.

a) Áp dụng công thức ${\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1$ và dựa vào góc phần tư của đường tròn lượng giác để xét dấu.

b) Áp dụng công thức ${\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1$ và dựa vào góc phần tư của đường tròn lượng giác để xét dấu.

c) $\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{1}{{\cot \alpha }}$

d) $\cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{1}{{\tan \alpha }}$

${\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha  = 1 - {\sin ^2}\alpha$

$= 1 - {\left( { - \frac{1}{4}} \right)^2} = \frac{{15}}{{16}} \Rightarrow \sin \alpha  =  \pm \frac{{\sqrt {15} }}{4}$.

Vì $\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2}$ nên điểm cuối của cung $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ III nên $\sin \alpha  < 0$. Vậy $\sin \alpha  =  - \frac{{\sqrt {15} }}{4}$.

$\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{ - \frac{1}{4}}}{{ - \frac{{\sqrt {15} }}{4}}} = \sqrt {15}$; $\cot \alpha  = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{{\sqrt {15} }}$.

a) Đúng.

b) Sai.

c) Đúng.

d) Sai.

a) Dãy số $({u_n})$ là dãy số giảm nếu ${u_n} > {u_{n + 1}}$. Dãy số $({u_n})$ là dãy số tăng nếu ${u_n} < {u_{n + 1}}$.

b) Dãy số $({u_n})$ là dãy số bị chặn nếu $({u_n})$ vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức tồn tại hai số m, M sao cho $m \le {u_n} \le M$ $\forall n \in \mathbb{N}*$.

c) Tính ${u_6}$ bằng công thức ${u_n} = {2^n} + 1$.

d) Thay n + 2 vào n trong công thức số hạng tổng quát ${u_n} = {2^n} + 1$.

a) Đúng. ${u_{n + 1}} - {u_n} = {2^{n + 1}} + 1 - ({2^n} + 1)$

$= {2^{n + 1}} - {2^n} = {2^n}(2 - 1) = {2^n} > 0$ với mọi n.

Vậy dãy số là dãy tăng.

b) Sai. Dãy không bị chặn trên vì không có giá trị M nào để ${2^n} < M$ với mọi n. Vậy dãy số không bị chặn.

c) Đúng. ${u_6} = {2^6} + 1 = 64 + 1 = 65$.

d) Sai. ${u_{n + 2}} = {2^{n + 2}} + 1 = {4.2^n} + 1$.

a) Cỡ mẫu là tổng tần số trong bảng số liệu.

b) Nhóm chứa mốt là nhóm có tần số lớn nhất.

c)

d) Để tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm, ta làm như sau:

Bước 1: Xác định nhóm chứa trung vị. Giả sử đó là nhóm thứ p: [a_p; a_p+1).

Bước 2: Trung vị 

trong đó n là cỡ mẫu, m_p là tần số nhóm p. Với p = 1, ta quy ước m₁ + ….+ m_p-1 = 0.

a) Sai. Cỡ mẫu của mẫu số liệu là: n = 3 + 6 + 15 + 27 + 22 + 14 + 5 = 92.

b) Sai. Nhóm chứa mốt là [30,5; 35,5).

c) Đúng. Số sách được mượn trung bình mỗi ngày xấp xỉ bằng:

(18.3 + 23.6 + 28.15 + 33.27 + 38.33 + 43.14 + 48.5) : 92 = 34,6 (quyển sách).

d) Đúng. Gọi ${x_1},{x_2},...,{x_{92}}$ là số lượng sách được mượn mỗi ngày và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Khi đó, trung vị là $\frac{{{x_{46}} + {x_{47}}}}{2}$. Do hai giá trị ${x_{46}},{x_{47}}$ thuộc nhóm [30,5; 35,5) nên nhóm này chứa trung vị.

Trung vị là ${M_e} = 30,5 + \frac{{\frac{{92}}{2} - (3 + 6 + 15)}}{{27}}.(35,5 - 30,5) = \frac{{1867}}{{54}} \approx 34,57$.

Tìm t sao cho hàm số $h = 11 + 2\sin \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right)$ đạt giá trị lớn nhất.

$h = 11 + 2\sin \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right)$ đạt giá trị lớn nhất khi $\sin \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right) = 1 \Leftrightarrow \frac{\pi }{{12}}t = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow t = 6 + 24k$ (giờ).

Vì $0 \le t \le 24$ nên chỉ có giá trị t = 6 thỏa mãn.

Vậy thời điểm mực nước tại cảng cao nhất là lúc 6 giờ.

Giải phương trình lượng giác bằng cách biến đổi về dạng phương trình tích. Xét họ nghiệm trong khoảng (0;3000) để tìm số giá trị k nguyên thỏa mãn.

Ta có: $2\sin 2x + 4\cos x = 0$

$\Rightarrow 4\sin x.\cos x + 4\cos x = 0$

$\Rightarrow 4\cos x.(\sin x + 1) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ {$$\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{\cos x = 0}\\{\sin x =  - 1}\end{array}$} \right. \Leftrightarrow \left[ {$\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = \frac{\pi }{2} + k\pi }\\{x = \frac{{3\pi }}{2} + k2\pi }\end{array}$} \right.

$\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi$ với $k \in \mathbb{Z}$.

Xét họ nghiệm $x = \frac{\pi }{2} + k\pi$, ta có:

$0 < \frac{\pi }{2} + k\pi  < 3000 \Leftrightarrow  - \frac{\pi }{2} < k\pi  < 3000 - \frac{\pi }{2}$

$\Leftrightarrow  - \frac{1}{2} < k < \frac{{3000}}{\pi } - \frac{1}{2} \Leftrightarrow  - 0,5 < k < 954,43$.

Mà $k \in \mathbb{Z}$ nên $k \in \{ 0;1;2;3;...;954\}$, tức có 955 giá trị k thỏa mãn.

Vậy phương trình có 955 nghiệm thuộc khoảng (0; 3000).

Số cây mỗi hàng lập thành một cấp số cộng với tổng n số hạng là 496, số hạng đầu ${u_1} = 1$ công sai d = 1. Tìm n.

Số cây mỗi hàng lập thành một cấp số cộng với tổng n số hạng là 496, số hạng đầu ${u_1} = 1$ công sai d = 1.

Ta có: $496 = \frac{{2.1 + (n - 1).1}}{2}.n$

$\Leftrightarrow 992 = (2 + n - 1).n = {n^2} + n - 992 = 0$.

Ta tính được n = 31 hoặc n = -32 (loại).

Vậy số hàng cây trồng được là 31 hàng.

Chứng minh dãy số tăng và bị chặn dưới tại $m = {u_1}$.

Xét ${u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {n + 1 + \frac{1}{{n + 1}}} \right) - \left( {n + \frac{1}{n}} \right)$

$= 1 + \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{n} = \left( {1 - \frac{1}{n}} \right) + \frac{1}{{n + 1}}$.

Ta có: $n \ge 1 \Leftrightarrow \frac{1}{n} < 1 \Leftrightarrow 1 - \frac{1}{n} > 0$; $n \ge 1 \Rightarrow \frac{1}{{n + 1}} > 0$.

Vậy ${u_{n + 1}} - {u_n} > 0$, tức dãy số tăng.

Khi đó, dãy bị chặn dưới bởi ${u_1} = 1 + \frac{1}{1} = 2 = m$.

Để tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Xác định nhóm có tần số lớn nhất (gọi là nhóm chứa mốt), giả sử là nhóm j: [a_j; a_j+1).

Bước 2: Mốt được xác định là

trong đó m_j là tần số của nhóm j (quy ước m_o = m_k+1 = 0) và h là độ dài của nhóm.

Số liệu ở bảng trên được hiệu chỉnh như sau:

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu là nhóm [30,5; 35,5).

Do đó u_m = 30,5; n_{m – 1} = 15, n_{m + 1} = 22; u_{m + 1} – u_m = 35,5 – 30,5 = 5.

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Tổng số viên pin là: 10 + 20 + 35 +15 + 5 = 85.

Gọi ${x_1};{x_2};{x_3};...;{x_{85}}$ lần lượt là số viên pin theo thứ tự không giảm.

Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là $\frac{1}{2}\left( {{x_{21}} + {x_{22}}} \right)$ thuộc nhóm [0,95; 1,0) nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là ${Q_1} = 0,95 + \frac{{\frac{{85}}{4} - 10}}{{20}}\left( {1,0 - 0,95} \right) = 0,98$.