Đề thi giữa học kì 1 Toán 11 - Đề số 3

Áp dụng quan hệ giữa radian và độ: $1rad = {\left( {\frac{{180}}{\pi }} \right)^o}$, ${1^o} = \frac{\pi }{{180}}rad$.

Ta có: ${75^o} = 75.\frac{\pi }{{180}} = \frac{{5\pi }}{{12}}$.

Áp dụng công thức ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$ và sử dụng đường tròn lượng giác để xét dấu.

Ta có: \({\cos ^2}\alpha  = 1 - {\sin ^2}\alpha  = 1 - {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{5}{9}\), suy ra \(\cos \alpha  =  \pm \frac{{\sqrt 5 }}{3}\).

Vì \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi\) nên điểm cuối của cung $\alpha$ thuộc cung phần tư thứ II, do đó \(\cos \alpha  < 0\).

Vậy \(\cos \alpha  =  - \frac{{\sqrt 5 }}{3}\).

Sử dụng công thức cộng lượng giác $\sin (a + b) = \sin a.\cos b + \sin b.\cos a$.

$\sin \frac{{5\pi }}{{12}} = \sin \left( {\frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{6}} \right)$

$= \sin \frac{\pi }{4}.\cos \frac{\pi }{6} + \sin \frac{\pi }{6}.\cos \frac{\pi }{4}$

$= \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{1}{2}$

$= \frac{{\sqrt 6  + \sqrt 2 }}{4}$

$= \frac{{\sqrt 2 (1 + \sqrt 3 )}}{4}$.

Cho hàm số y = f(x) liên tục và xác định trên khoảng (đoạn) K. Với mỗi $x \in K$ thì $- x \in K$.

- Nếu f(x) = f(-x) thì hàm số y = f(x) là hàm số chẵn trên tập xác định.

- Nếu f(-x) = -f(x) thì hàm số y = f(x) là hàm số lẻ trên tập xác định.

Xét phương án A, hàm số $y = - \cos x$ có tập xác định D = R, suy ra có $x \in R$ thì $- x \in R$.

Mặt khác, f(-x) = - cos(-x) = - cosx = f(x).

Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

Cách 1: Thuộc công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản.

Cách 2: Giải phương trình lượng giác cơ bản:

$\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array}$ \right. $(k \in \mathbb{Z})$.

Cách 3: Sử dụng đường tròn lượng giác.

Xét k nguyên.

Cách 1:

$\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi$.

Cách 2:

$\sin x = 0 \Leftrightarrow \sin x = \sin 0$

$\Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}x = 0 + k2\pi \\x = \pi  - 0 + k2\pi \end{array}$ \right. \Leftrightarrow \left[ $\begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \pi  + k2\pi \end{array}$ \right.

Họ nghiệm $x = k2\pi$ được biểu diễn là điểm A, họ nghiệm $x = \pi  + k2\pi$ được biểu diễn là điểm B trên đường tròn lượng giác.

Kết hợp hai họ nghiệm trên, nói cách khác, để biểu diễn cả điểm A và B ta có thể tóm gọn thành $x = k\pi$.

Cách 3:

Tìm các điểm trên đường tròn lượng giác có tung độ bằng 0 (do trục sin là trục tung). Ta xác định được đúng hai điểm A, B vừa nêu.

Tìm lần lượt ${u_2},{u_3},{u_4}$ bằng cách thay n vào công thức tổng quát.

Ta có:

${u_2} = \frac{1}{{{u_1} + 2}} = \frac{1}{{1 + 2}} = \frac{1}{3}$

${u_3} = \frac{1}{{{u_2} + 2}} = \frac{1}{{\frac{1}{3} + 2}} = \frac{3}{7}$

${u_4} = \frac{1}{{{u_3} + 2}} = \frac{1}{{\frac{3}{7} + 2}} = \frac{7}{{17}}$

Dãy số lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi hai phần tử liên tiếp sai khác nhau một hằng số.

Xét hiệu các phần tử liên tiếp trong các dãy số, chỉ có dãy ở đáp án B phần tử sau hơn phần tử liền trước 2 đơn vị (9 – 7 = 7 – 5 = 5 – 3 = 3 – 1 = 2).

$q = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}$.

Ta có: $\frac{{16}}{{32}} = \frac{8}{{16}} = \frac{4}{8} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. Vậy $q = \frac{1}{2}$.

Giải phương trình lượng giác $\cos x = a$:

- Nếu $\left| a \right| > 1$ thì phương trình vô nghiệm.

- Nếu $\left| a \right| \le 1$ thì chọn cung $\alpha$ sao cho $\cos \alpha = a$. Khi đó phương trình trở thành:

$\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[ {$$\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = \alpha + k2\pi }\\{x = - \alpha + k2\pi }\end{array}$} \right. với $k \in \mathbb{Z}$.

Do $\cos \frac{{2\pi }}{3} = - \frac{1}{2}$ nên $\cos \frac{x}{2} = \cos \frac{{2\pi }}{3} \Leftrightarrow \left[ {$$\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{\frac{x}{2} = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\\{\frac{x}{2} = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\end{array}$} \right. \Leftrightarrow \left[ {$\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi }\\{x = - \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi }\end{array}$} \right. với $k \in \mathbb{Z}$.

Cấp số cộng $({u_n})$ có số hạng đầu ${u_1}$ và công sai $d$ thì số hạng thứ n là ${u_n} = {u_1} + (n - 1)d$.

Gọi 198 là số hạng thứ n của dãy. Ta có: $198 = {u_1} + (n - 1)d = - 2 + (n - 1).5 \Leftrightarrow 5n = 205 \Leftrightarrow n = 41$.

Quan sát bảng số liệu, tính số bóng đèn trong hai nhóm [9;11) và [11;13).

Số bóng đèn có tuổi thọ từ 9 nghìn giờ trở lên là 42 + 8 = 50.

Khoảng biến thiên bằng hiệu giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu.

Giá trị nhỏ nhất của mẫu là 156, giá trị lớn nhất là 173 nên khoảng biến thiên là 173 – 156 = 17.

a) Dựa vào góc phần tư của đường tròn lượng giác.

b) Cho hàm số y = f(x) liên tục và xác định trên khoảng (đoạn) K. Với mỗi $x \in K$ thì $- x \in K$.

- Nếu f(x) = f(-x) thì hàm số y = f(x) là hàm số chẵn trên tập xác định.

- Nếu f(-x) = -f(x) thì hàm số y = f(x) là hàm số lẻ trên tập xác định.

c) Giải phương trình lượng giác $\sin x = a$:

- Nếu $\left| a \right| > 1$ thì phương trình vô nghiệm.

- Nếu $\left| a \right| \le 1$ thì chọn cung $\alpha$ sao cho $\sin \alpha = a$. Khi đó phương trình trở thành:

$\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ {$$\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = \alpha + k2\pi }\\{x = \pi - \alpha + k2\pi }\end{array}$} \right. với $k \in \mathbb{Z}$.

d) Xét tập giá trị của hàm số $y = \sin x$.

a) Đúng. $- \frac{\pi }{2} < x < 0$ suy ra điểm biểu diễn góc x thuộc góc phần tư thứ IV. Khi đó $\sin x < 0$.

b) Đúng. Tập xác định: D = R. Mặt khác, $f( - x) = \sin ( - x) =  - \sin x =  - f(x)$. Vậy $y = \sin x$ là hàm số lẻ.

c) Sai. Do $\sin \frac{\pi }{2} = 1$ nên $\sin x = \sin \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow \left[ {$$\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = \frac{\pi }{2} + k2\pi }\\{x = \pi  - \frac{\pi }{2} + k2\pi }\end{array}$} \right. \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi với $k \in \mathbb{Z}$.

d) Sai. Hàm số $y = \sin x$ có chặn dưới là -1.

a) Áp dụng công thức ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$ và dựa vào góc phần tư của đường tròn lượng giác để xét dấu.

b) Áp dụng công thức ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$ và dựa vào góc phần tư của đường tròn lượng giác để xét dấu.

c) $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{1}{{\cot \alpha }}$

d) $\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{1}{{\tan \alpha }}$

a) Sai. ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{8}{9} \Rightarrow \cos \alpha = \pm \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$.

Vì $0 < \alpha < \frac{\pi }{2}$ nên điểm cuối của cung $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ I nên $\cos \alpha > 0$. Vậy $\cos \alpha = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$.

b) Đúng. Từ câu a) ta tính được $\cos \alpha = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$.

c) Đúng. $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{\frac{1}{3}}}{{\frac{{2\sqrt 2 }}{3}}} = \frac{1}{{2\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}$.

d) Sai. $\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{{\frac{{\sqrt 2 }}{4}}} = 2\sqrt 2$.

a) Dãy số $({u_n})$ là dãy số giảm nếu ${u_n} > {u_{n + 1}}$. Dãy số $({u_n})$ là dãy số tăng nếu ${u_n} < {u_{n + 1}}$.

b) Dãy số $({u_n})$ là dãy số bị chặn nếu $({u_n})$ vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức tồn tại hai số m, M sao cho $m \le {u_n} \le M$ $\forall n \in \mathbb{N}*$.

c) Tính ${u_2}$ bằng công thức ${u_{n + 1}} = 2{u_n}$.

d) Tìm số hạng đầu ${u_1}$ và công sai d. Công thức tổng quát: ${u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}$.

a) Sai. Ta có: ${u_1} = 3 > 0$. Với n = 1, ta được ${u_2} = 2{u_1} = 2.3 = 6 > 0$.

Giả sử n = k, ta cần chứng minh ${u_k} > 0$ thì ${u_{k + 1}} > 0$.

Thật vậy, ${u_{k + 1}} = 2{u_k} > 0$ vì ${u_k} > 0$.

Vậy ${u_n} > 0$ $\forall n \ge 1$.

Ta có: ${u_{n + 1}} - {u_n} = 2{u_n} - {u_n} = {u_n} > 0$. Suy ra ${u_n} < {u_{n + 1}}$. Vậy dãy số trên là dãy số tăng.

b) Sai.  Ta có: $({u_n})$ là dãy số tăng nên $({u_n})$ bị chặn dưới tại ${u_1} = 3$.

Mặt khác, $({u_n})$ là cấp số nhân có công bội $q = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{2{u_n}}}{{{u_n}}} = 2$ và số hạng đầu ${u_1} = 3$ nên công thức tổng quát là ${u_n} = {3.2^{n - 1}}$. Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {3.2^{n - 1}} =  + \infty\) nên dãy không bị chặn trên.

Vậy dãy số không bị chặn.

c) Đúng. ${u_2} = 2{u_1} = 2.3 = 6$.

d) Đúng. Theo câu b), công thức tổng quát là ${u_n} = {3.2^{n - 1}}$.

Sử dụng công thức tính khoảng biến thiên, số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm.

a) Đúng. Mẫu số liệu đã cho là mẫu số liệu ghép nhóm.

b) Đúng. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là 34 – 18 = 16.

c) Sai. Số ngày có nhiệt độ thấp hơn 25 là 3 + 6 = 9.

d) Đúng. Số trung bình là $\overline x = \frac{{\frac{{18 + 22}}{2}.2 + \frac{{22 + 25}}{2}.6 + \frac{{25 + 28}}{2}.10 + \frac{{28 + 31}}{2}.5 + \frac{{31 + 34}}{2}.6}}{{30}} \approx 26$.

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số ${v_x} = 0,25\sin \alpha$.

Vì $\sin \alpha \le 1$ nên $0,25\sin \alpha \le 0,25$. Vậy giá trị nhỏ nhất của ${v_x} = 0,25\sin \alpha$ là 0,25 (m/s).

Thay $v = 2$ vào công thức $v = - 4\sin \left( {1,5t + \frac{\pi }{4}} \right)$ và tìm t.

\(2 =  - 4\sin \left( {1,5t + \frac{\pi }{4}} \right) \Leftrightarrow  - \frac{1}{2} = \sin \left( {1,5t + \frac{\pi }{4}} \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{1,5t + \frac{\pi }{4} =  - \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\{1,5t + \frac{\pi }{4} = \frac{{7\pi }}{3} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{t =  - \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{{4\pi }}{3}}\\{t = \frac{{25\pi }}{{18}} + k\frac{{4\pi }}{3}}\end{array}} \right.\) với $k \in \mathbb{Z}$.

Vì $0 \le t \le 2$ nên chỉ có 1 giá trị của t thỏa mãn là $t = \frac{\pi }{{18}} \approx 0,17$.

Số ghế mỗi hàng ở khán đài lập thành một cấp số cộng với 20 hàng tương đương 20 số hạng. Tìm số hạng đầu, công sai từ đó tìm số hạng thứ 20.

Số ghế mỗi hàng ở khán đài lập thành một cấp số cộng với 20 hàng tương đương 20 số hạng.

Ta có: ${u_1} = 13,{u_2} = 16,{u_3} = 19$ nên công sai bằng $d = {u_2} - {u_1} = {u_3} - {u_2} = 3$.

Số ghế hàng cuối cùng là: ${u_{20}} = 13 + (20 - 1).3 = 70$.

Số dân mỗi năm lập thành môt cấp số nhân. Tìm công thức tổng quát của cấp số nhân đó và tìm số hạng thứ 10.

Số dân mỗi năm lập thành môt cấp số nhân ${u_n}$ với số hạng đầu ${u_1} = 2$ triệu người và công bội $q = 1 + 1\%  = 1,01$.

Khi đó, số hạng tổng quát ${u_n} = 2.1,{01^{n - 1}}$.

(*) Số dân tỉnh đó sau 1 năm là ${u_2}$, sau 2 năm là ${u_3}$,...

Số dân tỉnh đó sau 10 năm là ${u_{11}} = 2.1,{01^{11 - 1}} \approx 2,21$ (triệu người).

Lưu ý: Đọc kĩ (*) để tránh nhầm lẫn tính ${u_{10}}$.

Để tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Xác định nhóm có tần số lớn nhất (gọi là nhóm chứa mốt), giả sử là nhóm j: [a_j; a_j+1).

Bước 2: Mốt được xác định là

trong đó m_j là tần số của nhóm j (quy ước m_o = m_k+1 = 0) và h là độ dài của nhóm.

${M_o} = 20 + \frac{{12 - 7}}{{(12 - 7) + (12 - 5)}}.5 = \frac{{265}}{{12}} \approx 22,1$.

Để tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm, ta làm như sau:

Bước 1: Xác định nhóm chứa trung vị. Giả sử đó là nhóm thứ p: [a_p; a_p+1).

Bước 2: Trung vị

trong đó n là cỡ mẫu, m_p là tần số nhóm p. Với p = 1, ta quy ước m₁ + ….+ m_p-1 = 0.

Cỡ mẫu là n = 7 + 12 + 5 + 7 + 3 + 5 + 1 = 40.

Gọi ${x_1},{x_2},...,{x_{40}}$ là thời gian đi từ nhà đến trường của 40 học sinh và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Khi đó, trung vị là $\frac{{{x_{20}} + {x_{21}}}}{2}$. Do hai giá trị ${x_{20}},{x_{21}}$ thuộc nhóm [25; 30) nên nhóm này chứa trung vị.

Trung vị là ${M_e} = 25 + \frac{{\frac{{40}}{2} - (7 + 12)}}{5}.5 = 26$.