Đề thi giữa học kì 1 Toán 11 - Đề số 2

Sử dụng hệ thức Chasles: Với ba tia Ou, Ov, Ow bất kì, ta có:

sđ (Ou,Ov) + sđ (Ov,Ow) = sđ (Ou,Ow) + $k{360^0}(k \in Z)$

Với ba tia Ox,  Ou,  Ov bất kì,  ta có:

sđ (Ox, Ou) + sđ (Ou, Ov) = sđ (Ox, Ov) $+ k{360^o}$ $(k \in \mathbb{Z})$

$- {30^o}$ + sđ (Ou, Ov) = ${120^o} + k{360^o}$

sđ (Ou, Ov) = ${150^o} + k{360^o}$.

Một cung của đường tròn bán kính R và có số đo $\alpha$ rad thì có độ dài $l=R\alpha$.

Ta có R = 50 cm suy ra:

$l = R\alpha  = 50.2\pi .5 = 500\pi$ (cm).

Áp dụng quan hệ giữa radian và độ: $1rad = {\left( {\frac{{180}}{\pi }} \right)^o}$, ${1^o} = \frac{\pi }{{180}}rad$.

Ta có: $\frac{{7\pi }}{4}rad = \frac{{7\pi }}{4}.\frac{{{{180}^o}}}{\pi } = {315^o}$.

Các góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối hơn kém nhau $k{360^o}$.

Xét đáp án A: ${140^o} - {50^o} = {90^o}$.

Xét đáp án B: ${410^o} - {50^o} = {360^o}$.

Xét đáp án C: ${320^o} - {50^o} = {270^o}$.

Xét đáp án D: ${230^o} - {50^o} = {180^o}$.

Các góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối hơn kém nhau $k{360^o}$ nên chỉ có đáp án B thỏa mãn.

Dãy số bị chặn là dãy số vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới.

Xét ${u_n} = \sqrt {n + 10} + \sqrt {20 - n}$.

Ta có:

$\{\begin{array}{c}n+10\ge 0\\ 20-n\ge 0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}n\ge -10\\ n\le 20\end{array}\Rightarrow n\le 20$$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{n + 10 \ge 0}\\{20 - n \ge 0}\end{array}} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{n \ge  - 10}\\{n \le 20}\end{array}} \right.$ \Rightarrow n \le 20 (vì $n \in \mathbb{N}^*$).

Dãy số chỉ có 20 số hạng nên dãy bị chặn.

Dựa vào định nghĩa cấp số cộng.

Dãy A là cấp số cộng với công sai d = 1.

Dãy B là cấp số cộng với công sai d = 0.

Dãy C là cấp số cộng với công sai d = 2.

Dãy D không phải cấp số cộng.

Sử dụng công thức nhân đôi $\cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1$.

Ta có \(P = \cos 2\alpha  = 2{\cos ^2}\alpha  - 1 = 2{\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} - 1 =  - \frac{7}{{25}}\).

Dãy số tăng có mọi số hạng lớn hơn số hạng liền trước nó.

Chỉ có dãy A là dãy số tăng.

Dựa vào định nghĩa cấp số nhân.

Dãy đáp án A là cấp số nhân với số hạng đầu là 1, công bội bằng 1.

Dãy đáp án B là cấp số nhân với số hạng đầu là 2, công bội bằng 2.

Dãy đáp án D là cấp số nhân với số hạng đầu là 1, công bội bằng $- \frac{1}{3}$.

Dãy đáp án C không phải cấp số nhân.

Thay 9 vào n và tính.

${u_9} = \frac{{{{( - 1)}^{9 - 1}}}}{{9 + 1}} = \frac{1}{{10}}$.

Nhóm chứa mốt là nhóm có tần số lớn nhất trong bảng số liệu.

Tần số lớn nhất của bảng là 12 nên nhóm chứa mốt là [40;60).

Công thức tìm giá trị trung bình.

Ta có $\bar x = \frac{{15.1 + 55.3 + 190.5 + 290.7 + 140.9}}{{15 + 55 + 190 + 290 + 140}} = 6,4$.

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản: $\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow x = \pm \alpha + k2\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

a) Sai. $\cos 2x=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow \cos 2x=\cos \left( \frac{2\pi }{3} \right)$.

b) Đúng. $\Leftrightarrow \left[ {$$\begin{array}{llllllllllllllllllll}{2x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\\{2x =  - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\end{array}$(k \in \mathbb{Z}) \Rightarrow \left[ {$\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = \frac{\pi }{3} + k\pi }\\{x =  - \frac{\pi }{3} + k\pi }\end{array}$(k \in \mathbb{Z})} \right.} \right..

$0 < x < \pi  \Rightarrow \left[ {$$\begin{array}{llllllllllllllllllll}{0 < \frac{\pi }{3} + k\pi  < \pi }\\{0 <  - \frac{\pi }{3} + k\pi  < \pi }\end{array}$(k \in \mathbb{Z}) \Rightarrow \left[ {$\begin{array}{llllllllllllllllllll}{k = 0}\\{k = 1}\end{array}$} \right. \Rightarrow \left[ {$\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = \frac{\pi }{3}}\\{x = \frac{{2\pi }}{3}}\end{array}$} \right.} \right..

Do $\frac{{2\pi }}{3} > \frac{\pi }{3}$ nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là $x = \frac{\pi }{3}$.

c) Sai. Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng $\left( {0;\pi } \right)$ là: $S=\frac{\pi }{3}+\frac{2\pi }{3}=\pi$.

d) Sai. Trong khoảng $\left( {0;\pi } \right)$ phương trình (*) có 2 nghiệm là $x = \frac{\pi }{3}$ và $x = \frac{{2\pi }}{3}$.

Áp dụng công thức số hạng tổng quát và tổng n số hạng đầu của cấp số nhân.

Gọi ${u_n}$ là mức lương bậc n của anh Bình.

Dãy $\left( {{u_n}} \right)$ là một cấp số nhân với số hạng đầu ${u_1}$, công bội q = 1,25.

a) Sai. Lương bậc 5 của anh Bình là:

${u_5} = {u_4}.q = 11718750.1,25 \approx 14648438$ (đồng).

b) Đúng. Ta có ${u_4} = {u_1}.{q^3} \Leftrightarrow 11718750 = {u_1}.1,{25^3} \Leftrightarrow {u_1} = 6000000$.

Vậy mức lương bậc 1 của anh Bình là 6.000.000 đồng.

c) Sai. Lương bậc 7 của anh Bình là:

${u_7} = {u_1}.{q^6} = 6000000.1,{25^6} \approx 228888184$ (đồng).

d) Sai.

Từ năm 1 đến năm 3: lương bậc 1.

Từ năm 4 đến năm 6: lương bậc 2.

…

Từ năm 19 đến năm 21: lương bậc 7.

Từ năm 22 đến năm 30: lương vượt khung.

Tổng số lương anh Bình nhận được từ năm 1 đến năm 21 là:

${S_1} = 12.3.\frac{{6000000.(1 - 1,{{25}^7})}}{{1 - 1,25}} \approx 3255873047$ (đồng).

(Mỗi bậc lương sẽ được nhận trong 12.3 = 36 tháng).

Tổng số lương anh Bình nhận được từ năm 22 đến năm 29 là (đã bỏ qua 1 năm tập sự):

${S_2} \approx 12.\frac{{22888184.(1 - 1,{{01}^8})}}{{1 - 1,{01}}} \approx 2275727429$ (đồng).

(Mỗi bậc lương vượt khung sẽ nhận được trong 1 năm = 12 tháng).

Vậy tổng tiền lương anh Bình nhận được đến khi nghỉ hưu là:

${S_1} + {S_2} \approx 5531600476$ (đồng).

Áp dụng kiến thức về tập giá trị của hàm sin.

Ta có: $\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] \ge - 1$ nên $d\left( t \right)$ nhỏ nhất khi $\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] = - 1$.

$\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] = - 1$

$\Leftrightarrow \frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right) = \frac{{3\pi }}{2} + k2\pi$

$\Leftrightarrow t - 80 = 273 + 364k$

$\Leftrightarrow t = 353 + 364k$.

Vì $t \in \mathbb{Z}$ và $0 < t \le 365$ nên lấy $k = 0$ ta có $t = 353$.

- Bài toán về cấp số cộng.

- Tổng của n số hạng đầu tiên trong CSC có số hạng đầu tiên là $u_1$ và công sai là d là:

$S_n = \frac{[2u_1 + (n-1)d]n}{2}$.

Bài toán là bài tập về cấp số cộng nếu ta coi số đồng xu ở tầng dưới cùng là số hạng đầu với công sai là hiệu số đồng xu của tầng 2 tầng liền kề.

Khi đó, ta có một cấp số cộng với $u_1 = 4901$ và công sai d = -100.

Gọi số tầng của kim tự tháp đó là $n$ ($n \in \mathbb{N}^*$).

Khi đó, tổng số đồng xu của $n$ tầng đó là $S_n = 122550$ nên ta có:

$S_n = \frac{[2u_1 + (n-1)d]n}{2}$

$\Leftrightarrow 122550 = \frac{[2 \cdot 4901 + (n-1) \cdot (-100)] \cdot n}{2}$

$\Leftrightarrow 245100 = [2 \cdot 4901 - 100n + 100] \cdot n$

$\Leftrightarrow 245100 = [9902 - 100n] . n$

$\Leftrightarrow 100n^2 - 9902n + 245100 = 0$

$\Leftrightarrow n = 50 \ (tm)$ hoặc $n = \frac{2451}{50} \ (ktm)$

Vậy mô hình kim tự tháp đã cho có 50 tầng.

Áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân.

Lượng thuốc ở ngày thứ nhất là 50 mg.

Lượng thuốc ở ngày thứ hai là $50.\frac{1}{2} = 25$ mg.

Lượng thuốc ở ngày thứ ba là $50.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{{25}}{2}$ mg.

…

Lượng thuốc ở ngày thứ n là $50.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}}$ mg.

Lượn thuốc mỗi ngày lập thành cấp số nhân với số hạng đầu ${u_1} = 50$, công bội $q = \frac{1}{2}$.

Tổng lượng thuốc khi dùng 10 ngày liên tiếp là:

${S_{10}} = {u_1}.\frac{{1 - {q^{10}}}}{{1 - q}} = 50.\frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{10}}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = \frac{{25575}}{{256}} \approx 99,9$ (mg).

Áp dụng công thức tính mốt của mẫu số liệu ghép nhóm.

Gọi x, y lần lượt là số người ở các nhóm có độ tuổi [30;40), [40;50).

Ta có mốt là : ${M_0} = 30 + \frac{{x - 12}}{{\left( {x - 12} \right) + \left( {x - y} \right)}}.10 = 34$ (1).

Vì tổng số người đi xem phim là $46$ nên ta có phương trình: $x + y = 26$ (2).

Giải hệ phương trình (1), (2) ta được x = 16, y = 10.

a) Thay $n = 1,{\rm{ }}2,{\rm{ 3, 4}}$ vào công thức ${u_n} = \sin \left[ {\left( {2n - 1} \right)\frac{\pi }{4}} \right]$ để xác định 4 số hạng đầu của dãy số.

b) Thay $n$ bởi $n + 4$ vào công thức ${u_n} = \sin \left[ {\left( {2n - 1} \right)\frac{\pi }{4}} \right]$ để xác định ${u_{n + 4}}$ và chú ý rằng $\sin \left( {x + k2\pi } \right) = \sin x$.

c) Sử dụng kết quả câu b, ta có ${u_1} = {u_5} = {u_9}$, ${u_2} = {u_6} = {u_{10}}$, ${u_3} = {u_7} = {u_{11}}$, ${u_4} = {u_8} = {u_{12}}$. Do đó tổng 12 số hạng đầu tiên bằng $3\left( {{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4}} \right)$.

a) Ta có:

${u_1} = \sin \left[ {\left( {2.1 - 1} \right)\frac{\pi }{4}} \right] = \sin \frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$;

${u_2} = \sin \left[ {\left( {2.2 - 1} \right)\frac{\pi }{4}} \right] = \sin \frac{{3\pi }}{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$;

${u_3} = \sin \left[ {\left( {2.3 - 1} \right)\frac{\pi }{4}} \right] = \sin \frac{{5\pi }}{4} =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2}$;

${u_4} = \sin \left[ {\left( {2.4 - 1} \right)\frac{\pi }{4}} \right] = \sin \frac{{7\pi }}{4} =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

Như vậy 4 số hạng đầu của dãy số là: $\frac{{\sqrt 2 }}{2},\frac{{\sqrt 2 }}{2}, - \frac{{\sqrt 2 }}{2}, - \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

b) Ta có:

${u_{n + 4}} = \sin \left\{ {\left[ {2\left( {n + 4} \right) - 1} \right]\frac{\pi }{4}} \right\} = \sin \left[ {\left( {2n - 1 + 8} \right)\frac{\pi }{4}} \right]$

$= \sin \left[ {\left( {2n - 1} \right)\frac{\pi }{4} + 2\pi } \right] = \sin \left[ {\left( {2n - 1} \right)\frac{\pi }{4}} \right] = {u_n}$.

Vậy ${u_{n + 4}} = {u_n}$ với $\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

c) Theo câu b, ta có ${u_{n + 4}} = {u_n}$ với $\forall n \in {\mathbb{N}^*}$. Như vậy ${u_1} = {u_5} = {u_9}$, ${u_2} = {u_6} = {u_{10}}$, ${u_3} = {u_7} = {u_{11}}$, ${u_4} = {u_8} = {u_{12}}$.

Do đó:

${u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_{12}} = 3\left( {{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4}} \right)$

$= 3\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{ - \sqrt 2 }}{2} + \frac{{ - \sqrt 2 }}{2}} \right) = 0$.

a)

+ Sử dụng kiến thức về số trung bình của mẫu số liệu để tính:

Giả sử mẫu số được cho dưới dạng bảng tần số ghép nhóm:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu $\overline x$, được tính như sau: $\overline x = \frac{{{n_1}{c_1} + {n_2}{c_2} + ... + {n_k}{c_k}}}{n}$, trong đó $n = {n_1} + {n_2} + ... + {n_k}$.

+ Sử dụng kiến thức về mốt của mẫu số liệu để tính: Giả sử nhóm chứa mốt là $\left[ {{u_m};{u_{m + 1}}} \right)$, khi đó mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là ${M_O}$ được xác định bởi công thức: ${M_O} = {u_m} + \frac{{{n_m} - {n_{m - 1}}}}{{\left( {{n_m} - {n_{m - 1}}} \right) + \left( {{n_m} - {n_{m + 1}}} \right)}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right)$.

+ Sử dụng kiến thức xác định trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm để tính:

Gọi n là cỡ mẫu.

Giả sử nhóm $\left[ {{u_m};{u_{m + 1}}} \right)$ chứa trung vị, ${n_m}$ là tần số của nhóm chứa trung vị, $C = {n_1} + {n_2} + ... + {n_{m - 1}}$.

Khi đó, trung vị của mẫu số liệu là: ${M_e} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{2} - C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right)$.

+ Sử dụng kiến thức về xác định tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm để tính:

Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu ${Q_2}$, cũng chính là trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm.

b) Để tìm tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu ${Q_3}$, ta làm như sau:

Giả sử nhóm $\left[ {{u_j};{u_{j + 1}}} \right)$ chứa tứ phân vị thứ ba, ${n_j}$ là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ ba, $C = {n_1} + {n_2} + ... + {n_{j - 1}}$.

Khi đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là:

${Q_3} = {u_j} + \frac{{\frac{{3n}}{4} - C}}{{{n_j}}}.\left( {{u_{j + 1}} - {u_j}} \right)$.

a) Ta có bảng số liệu bao gồm giá trị đại diện:

Cỡ mẫu $n = 36$.

Số trung bình của mẫu số liệu là:

$\overline x  = \frac{{25.4 + 35.8 + 45.12 + 55.7 + 65.5}}{{36}} = \frac{{815}}{{18}}$ (triệu đồng).

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu là $\left[ {40;50} \right)$.

Do đó, ${u_m} = 40,{u_{m + 1}} = 50,{n_m} = 12,{n_{m + 1}} = 7,{u_{m + 1}} - {u_m} = 50 - 40 = 10$.

Mốt của mẫu số liệu là: ${M_O} = 40 + \frac{{12 - 8}}{{\left( {12 - 8} \right) + \left( {12 - 7} \right)}}.10 = \frac{{400}}{9}$ (triệu đồng).

Gọi ${x_1},{x_2},...,{x_{36}}$ là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: ${x_1},...,{x_4} \in \left[ {20;30} \right),{x_5},...,{x_{12}} \in \left[ {30;40} \right),{x_{13}},...,{x_{24}} \in \left[ {40;50} \right),$${x_{25}},...,{x_{31}} \in \left[ {50;60} \right),{x_{32}},...,{x_{36}} \in \left[ {60;70} \right)$.

Do cỡ mẫu $n = 36$ nên trung vị của mẫu số liệu là $\frac{1}{2}\left( {{x_{18}} + {x_{19}}} \right)$. Do đó trung vị của mẫu số liệu thuộc nhóm $\left[ {40;50} \right)$.

Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${M_e} = 40 + \frac{{\frac{{36}}{2} - \left( {4 + 8} \right)}}{{12}}.\left( {50 - 40} \right) = 45$ (triệu đồng).

b) Do cỡ mẫu $n = 36$ nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là $\frac{1}{2}\left( {{x_{27}} + {x_{28}}} \right)$. Do đó tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu thuộc nhóm $\left[ {50;60} \right)$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${Q_3} = 50 + \frac{{\frac{{3.36}}{4} - \left( {4 + 8 + 12} \right)}}{7}.\left( {60 - 50} \right) = \frac{{380}}{7}$ (triệu đồng).

Vậy trung tâm thương mại nên khen thưởng các nhân viên có doanh số một ngày ít nhất là $\frac{{380}}{7}$ triệu đồng.

Xét dấu $\cos x$ khi  $x \in \left( {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right)$.

Thay vào đẳng thức ${\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1$ ta tìm được $\cos x$.

Áp dụng công thức cộng:

$\cos \left( {a - b} \right) = \cos a.\cos b + \sin a.\sin b$.

$x \in \left( {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right) \Rightarrow \cos x < 0$.

$\Rightarrow \cos x =  - \sqrt {1 - {{\sin }^2}x}$

$=  - \sqrt {1 - {{\left( { - \frac{1}{3}} \right)}^2}}  =  - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$.

Ta tính được: $\cos x =  - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$.

Khi đó: $\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x$

$= \frac{1}{2}(1 - 2{\sin ^2}x) + \sqrt 3 \sin x\cos x = \frac{{7 + 4\sqrt 6 }}{{18}}$.