Đề thi giữa học kì 1 Toán 11 - Đề số 1

Góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối với (Ou, Ov) là $x = \frac{\pi }{4} + k2\pi$.

Góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối với (Ou, Ov) là $x = \frac{\pi }{4} + k2\pi$.

Khi k = 1 thì \(x = \frac{\pi }{4} + 2\pi  = \frac{{9\pi }}{4}\).

Áp dụng quan hệ giữa radian và độ: $1rad = {\left( {\frac{{180}}{\pi }} \right)^o}$, ${1^o} = \frac{\pi }{{180}}rad$.

Ta có: $\frac{{7\pi }}{4}rad = \frac{{7\pi }}{4}.\frac{{{{180}^o}}}{\pi } = {315^o}$.

$({u_n})$ là dãy tăng khi và chỉ khi ${u_{n + 1}} > {u_n}$ với mọi $n \in {\mathbb{N}^*}$.

Chỉ có dãy số A có các số hạng đứng sau luôn lớn hơn số hạng đứng liền trước.

Dựa vào khái niệm góc lượng giác.

Góc ngược chiều kim đồng hồ nên có giá trị dương là 50 độ.

Dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn dưới, vừa bị chặn trên.

Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất mà một số hạng của dãy số có thể đạt.

Dãy $({u_n})$ với $n \in {\mathbb{N}^*}$ có $n \ge 1 \Leftrightarrow 3n \ge 3 \Leftrightarrow 3n - 1 \ge 2$.

Vậy dãy bị chặn dưới bởi 2.

Không có giá trị M nào để ${u_n} \le M$ với mọi $n \in {\mathbb{N}^*}$ nên dãy không bị chặn trên.

Dựa vào các định nghĩa cấp số nhân, số hạng tổng quát của cấp số nhân.

Dãy số này là cấp số nhân có ${u_1} = - 1;q = - 1$.

Số hạng tổng quát: ${u_n} = ( - 1).{( - 1)^{n - 1}} = {( - 1)^{n - 1 + 1}} = {( - 1)^n}$.

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có tính chất ${u_{n + 1}} = {u_n} + d$ thì được gọi là một cấp số cộng.

Ta thấy dãy số 1; -3; -7; -11; -15 là một cấp số cộng có số hạng đầu  và công sai d = -4.

Dựa vào công thức cộng lượng giác.

B sai vì $\cos (a + b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b$.

Thay $n = 3$ vào ${u_n} = 3n + 1,\forall n \in {N^*}$.

Thay $n = 3$ vào ${u_n} = 3n + 1,\forall n \in {N^*}$ ta được ${u_4} = 3.3 + 1 = 10$.

Tìm nhóm có tần số lớn nhất.

Nhóm [15;20] có 10 học sinh nhiều nhất nên là nhóm chứa mốt.

Tính trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm.

Số trung bình của mẫu số liệu là:

$\bar x = \frac{{6.5 + 12.7 + 19.9 + 9.11 + 4.13}}{{6 + 12 + 19 + 9 + 4}} = 8,72$.

Một cung của đường tròn bán kính R và có số đo $\alpha$ rad thì có độ dài $l=R\alpha$.

Đổi ${30^o} = \frac{\pi }{6}$ rad.

Ta có $l = R\alpha  = 15.\frac{\pi }{6} = \frac{{5\pi }}{2}$.

a) Dựa vào góc phần tư của đường tròn lượng giác.

b) Cho hàm số y = f(x) liên tục và xác định trên khoảng (đoạn) K. Với mỗi $x \in K$ thì $- x \in K$.

- Nếu f(x) = f(-x) thì hàm số y = f(x) là hàm số chẵn trên tập xác định.

- Nếu f(-x) = -f(x) thì hàm số y = f(x) là hàm số lẻ trên tập xác định.

c) Giải phương trình lượng giác $\sin x = a$:

- Nếu $\left| a \right| > 1$ thì phương trình vô nghiệm.

- Nếu $\left| a \right| \le 1$ thì chọn cung $\alpha$ sao cho $\sin \alpha = a$. Khi đó phương trình trở thành:

$\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ {$$\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = \alpha + k2\pi }\\{x = \pi - \alpha + k2\pi }\end{array}$} \right. với $k \in \mathbb{Z}$.

d) Xét tập giá trị của hàm số $y = \sin x$.

a) Đúng. $- \frac{\pi }{2} < x < 0$ suy ra điểm biểu diễn góc x thuộc góc phần tư thứ IV. Khi đó $\sin x < 0$.

b) Đúng. Tập xác định: D = R. Mặt khác, $f( - x) = \sin ( - x) =  - \sin x =  - f(x)$. Vậy $y = \sin x$ là hàm số lẻ.

c) Sai. Do $\sin \frac{\pi }{2} = 1$ nên $\sin x = \sin \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow \left[ {$$\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = \frac{\pi }{2} + k2\pi }\\{x = \pi  - \frac{\pi }{2} + k2\pi }\end{array}$} \right. \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi với $k \in \mathbb{Z}$.

d) Sai. Hàm số $y = \sin x$ có chặn dưới là -1.

Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân ${u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}$.

a) Đúng. Giá trị của máy photocopy sau 1 năm sử dụng là ${T_1} = 50.75\% = 37,5$ (triệu đồng).

b) Sai. Giá trị của máy photocopy sau 2 năm sử dụng là ${T_2} = {T_1}.75\% = 28,125$ (triệu đồng).

c) Sai. Giá trị của máy photocopy sau n năm sử dụng lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu bằng 50 (triệu đồng), công bội 75%.

Giá trị của máy photocopy sau 5 năm sử dụng là $50.{\left( {75\% } \right)^5}$ (triệu đồng).

Giá trị tiêu hao là $50 - 50.{\left( {75\% } \right)^5} \approx 38,1348$ (triệu đồng).

d) Sai. Giá trị của máy photocopy sau 7 năm sử dụng là $50.{\left( {75\% } \right)^7}$ (triệu đồng).

Giá trị của máy photocopy sau 7 năm so với giá ban đầu là $\frac{{50.{{\left( {75\% } \right)}^7}}}{{50}} \approx 13,35\%$.

Dựa vào tập giá trị của hàm cos để tìm GTNN.

Mực nước thấp nhất khi h đạt GTNN, khi đó:

$\cos \left( {\frac{\pi }{6}t + 1} \right) = - 1 \Leftrightarrow \frac{\pi }{6}t + 1 = \pi + k2\pi$

$\Leftrightarrow \frac{t}{6} + \frac{1}{\pi } = 1 + 2k \Leftrightarrow t = - \frac{6}{\pi } + 6 + 12k$ $\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Mà $0 \le t < 24 \Leftrightarrow 0 \le - \frac{6}{\pi } + 6 + 12k < 24 \Leftrightarrow - 0,34 \le k < 1,66$.

Vì $k \in \mathbb{Z}$ nên k = 0 hoặc k = 1.

Thời điểm muộn nhất mà mực nước trong kênh thấp nhất là:

$t = - \frac{6}{\pi } + 6 + 12.1 \approx 16$ (giờ).

Áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng.

Vì tầng dưới cùng của mô hình tháp có 3809 đồng xu và cứ lên thêm một tầng thì số đồng xu giảm đi 120 đồng nên ta có một cấp số cộng với số hạng đầu ${u_1} = 3809$ công sai d = -120.

Gọi n là số tầng của tháp nên $n \in {\mathbb{N}^*}$.

Theo đề bài ta có:

${S_n} = 60723 \Leftrightarrow 3809n + \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( { - 120} \right)}}{2} = 60723$

$\Leftrightarrow - 60{n^2} + 3869n - 60723 = 0$

$\Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}n = 27\\n = \frac{{2249}}{{60}} \approx 37,48\end{array}$ \right.

Vì $n \in \mathbb{Z}$ và với n = 27 thì tầng trên cùng có 689 đồng xu.

Vậy tháp có 27 tầng.

Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân:

${u_n} = {u_1}{q^{n-1}}$.

Giá trị chiếc xe của cô Ngọc mỗi năm lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu ${u_1} = 600$, công bội $q = 100\% - 8\% = 92\% = 0,92$.

Sau 1 năm, giá trị của chiếc xe là ${u_2}$. Sau 2 năm, giá trị của chiếc xe là ${u_3}$.

Giá trị của chiếc xe sau 4 năm là ${u_5} = {u_1}{q^4} = 600.0,{92^4} \approx 429,835776$ (triệu đồng).

Số tiền cô Ngọc phải bù là $800 - 429,835776 \approx 370$ (triệu đồng).

Tìm tứ phân vị thứ ba.

25% các hộ gia đình có lượng nước tiêu thụ cao nhất có lượng nước tiêu thụ không nhỏ hơn $Q_3$, với $Q_3$ là từ phân vị thứ ba của mẫu số liệu.

Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu $x_1; x_2; \ldots ; x_{160}$ là $\frac{1}{2} (x_{120} + x_{121})$.

Do $x_{120}$ và $x_{121}$ thuộc nhóm [9;12) nên từ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là $Q_3 = 9 + \frac{160 \cdot 3}{4} - \frac{(24 + 57)}{42} \cdot (12 - 9) \approx 11,8$.

Vậy công ty nên gửi thông báo tiết kiệm nước đến các hộ gia đình có lượng nước tiêu thụ từ 11,8 m³ nước trở lên.

+ Sử dụng kiến thức về hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác của một góc lượng giác: ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$.

+ Sử dụng kiến thức về góc nhân đôi để tính:

$\tan 2\alpha = \frac{{2\tan \alpha }}{{1 - {{\tan }^2}\alpha }}$;

$\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$.

+ Sử dụng kiến thức về công thức cộng để tính:

$\cos \left( {\alpha + \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$;

$\tan \left( {\alpha - \beta } \right) = \frac{{\tan \alpha - \tan \beta }}{{1 + \tan \alpha \tan \beta }}$.

Vì $\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi  \Rightarrow \cos \alpha  < 0$.

Do đó, $\cos \alpha  =  - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha }  =  - \sqrt {1 - {{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^2}}  =  - \frac{{\sqrt 7 }}{4}$.

a) $\sin 2\alpha  = 2\sin \alpha \cos \alpha$

$= 2.\frac{3}{4}.\frac{{ - \sqrt 7 }}{4} = \frac{{ - 3\sqrt 7 }}{8}$.

b) $\cos \left( {\alpha  + \frac{\pi }{3}} \right) = \cos \alpha \cos \frac{\pi }{3} - \sin \alpha \sin \frac{\pi }{3}$

$= \frac{{ - \sqrt 7 }}{4}.\frac{1}{2} - \frac{3}{4}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{ - \sqrt 7  - 3\sqrt 3 }}{8}$.

c) $\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{\frac{3}{4}}}{{\frac{{ - \sqrt 7 }}{4}}} = \frac{{ - 3\sqrt 7 }}{7}$;

$\tan 2\alpha  = \frac{{2\tan \alpha }}{{1 - {{\tan }^2}\alpha }} = 3\sqrt 7$;

$\tan \left( {2\alpha  - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\tan 2\alpha  - \tan \frac{\pi }{4}}}{{1 + \tan 2\alpha .\tan \frac{\pi }{4}}} = \frac{{3\sqrt 7  - 1}}{{1 + 3\sqrt 7 .1}}$

$= \frac{{{{\left( {3\sqrt 7  - 1} \right)}^2}}}{{\left( {3\sqrt 7  - 1} \right)\left( {1 + 3\sqrt 7 } \right)}} = \frac{{32 - 3\sqrt 7 }}{{31}}$.

Tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thự hiện theo các bước sau:

Bước 1. Xác định nhóm có tần số lớn nhất (gọi là nhóm chứa mốt), giả sử là nhóm j: $\left[ {{a_j};{a_{j + 1}}} \right)$.

Bước 2. Mốt được xác định là ${M_0} = {a_j} + \frac{{{m_j} - {m_{j - 1}}}}{{\left( {{m_j} - {m_{j - 1}}} \right) + \left( {{m_j} - {m_{j + 1}}} \right)}}.h$, trong đó ${m_j}$ là tần số nhóm j (quy ước ${m_0} = {m_{k + 1}} = 0$) và h là độ dài của nhóm.

Tính tứ phân vị thứ ba ${Q_3}$ của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa ${Q_3}$, giả sử đó là nhóm thứ $p:\left[ {{a_p};{a_{p + 1}}} \right)$. Khi đó ${Q_3} = {a_p} + \frac{{\frac{{3n}}{4} - \left( {{m_1} + ... + {m_{p - 1}}} \right)}}{{{m_p}}}.\left( {{a_{p + 1}} - {a_p}} \right)$, trong đó n là cỡ mẫu, ${m_p}$ là tần số nhóm $p$, với $p = 1$, ta quy ước ${m_1} + ... + {m_{p - 1}} = 0$.

a) Tổng số khách hàng là $n = 15 + 27 + 38 + 27 + 13 = 120$.

 Nhóm chứa mốt là nhóm $\left[ {20;25} \right)$.

 Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm này là:

${M_0} = 20 + \frac{{38 - 25}}{{\left( {38 - 25} \right) + \left( {38 - 29} \right)}} \cdot 5 \approx 22,95$.

Vậy mức giá có nhiều khách hàng lựa chọn nhất là khoảng 22,95 triệu đồng/$m^2$.

b) Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là nhóm $\left[ {25;30} \right)$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${Q_3} = 25 + \frac{{90 - 78}}{{29}} \cdot 5 \approx 27,07.$

Vậy công ty nên tập trung vào các bất động sản có mức giá it nhất là 27,07 triệu đồng/$m^2$.

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản.

$\cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \cos x = \cos \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow \left[ {$$\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\{x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi }\end{array}$} \right. $(k \in \mathbb{Z})$.