Đề giữa kỳ 2 Toán 8 năm 2025 – 2026 trường THCS Quế Thuận – Đà Nẵng

Phân thức $\dfrac{A}{B}$ xác định khi mẫu thức khác $0$ ($B \neq 0$)

Phân thức $\dfrac{2}{x - 1}$ xác định khi $x - 1 \neq 0$ hay $x \neq 1$.

Phân thức đại số là biểu thức có dạng $\dfrac{A}{B}$, trong đó A, B là các đa thức và $B$ là đa thức khác $0$.

$\dfrac{x + 1}{0}$ có mẫu thức bằng $0$ nên đây không phải là một phân thức đại số.

Định nghĩa hai phân thức bằng nhau: $\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D}$ nếu $A \cdot D = B \cdot C$ (với $B \neq 0,D \neq 0$).

Ta có: $\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D}$

Suy ra A.D=B.C

Thay giá trị $x = 4$ vào biểu thức $M$ rồi thực hiện tính toán.

Thay $x = 4$ vào biểu thức $M = \dfrac{x - 3}{2x}$, ta được:

$M = \dfrac{4 - 3}{2 \cdot 4} = \dfrac{1}{8}$

Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung của chúng.

Ta có: $\dfrac{8x^{3}y^{3}}{6xy^{2}} = \dfrac{(2xy^{2}) \cdot 4x^{2}y}{(2xy^{2}) \cdot 3} = \dfrac{4x^{2}y}{3}$

BCNN của các hệ số $(9,6) = 18$.

Nhân tử biến lấy thừa số chung và riêng với số mũ lớn nhất ($x^{2}$ và $y$).

Mẫu thức chung là tích của BCNN hệ số và các thừa số biến.

Hệ số: $\text{BCNN}(9,6) = 18$.

Biến: $x^{2} \cdot y$.

Mẫu thức chung là $18x^{2}y$

Nếu hai tam giác đồng dạng ($\left. \Delta ABC \right.\sim\Delta HIK$) thì $\widehat{A} = \widehat{H};\ \widehat{B} = \widehat{I};\ \widehat{C} = \widehat{K}$ (các góc tương ứng bằng nhau)

Vì ∆ABC $\backsim$∆HIK nên $\widehat{A} = \widehat{H}$ (Hai góc tương ứng)

Tỉ số đồng dạng $k$ của $\Delta A'B'C'$ và $\Delta ABC$ bằng tỉ số hai cạnh tương ứng: $k = \dfrac{A'B'}{AB}$

Tỉ số đồng dạng $k = \dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}$

Nếu $\Delta ABC \backsim \Delta MNP$ theo tỉ số $k$ thì $\Delta MNP \backsim \Delta ABC$ theo tỉ số $\dfrac{1}{k}$

Tỉ số đồng dạng của ∆MNP $\backsim$ ∆ABC là $1:\dfrac{2}{5} = \dfrac{5}{2}$

Sử dụng định lý Pythagore đảo: Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh kia thì đó là tam giác vuông (cạnh huyền đối diện với góc vuông).

Vì $AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$ nên cạnh huyền là $AC$, góc vuông đối diện là $\widehat{B}$. Do đó $\Delta ABC$ vuông tại $B$.

Hai hình đồng dạng phối cảnh/đồng dạng có cùng hình dạng. Hai hình vuông bất kỳ luôn có các góc bằng $90^{{^\circ}}$ và các cạnh tương ứng tỉ lệ.

Hai hình vuông luôn luôn đồng dạng với nhau.

Kiểm tra bộ ba số $(a,b,c)$ có thỏa mãn định lý Pythagore đảo $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ (với $c$ là số lớn nhất) hay không.

Ta có: $6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100 = 10^{2}$

Theo định lý Pythagore đảo ta có 10 cm, 6cm, 8cm là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông.

a) Hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng tỉ số $k = 1$.

b) Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng ($k^{2}$).

c) Quãng đường $S = v \cdot t$.

d) Đổi dấu cả tử và mẫu của phân thức $\dfrac{A}{B} = \dfrac{- A}{- B}$.

a) Đúng

b) Sai (phải bằng bình phương tỉ số đồng dạng

c) Đúng, $S = v \cdot t = 60x$ (km)

d) Đúng, $\dfrac{- 3}{y - x} = \dfrac{- 3}{- (x - y)} = \dfrac{3}{x - y}$.

a), c) Trừ/cộng các phân thức cùng mẫu: giữ nguyên mẫu, cộng/trừ các tử thức.

b) Nhân các phân thức: nhân tử với tử, mẫu với mẫu rồi rút gọn.

d) Chia hai phân thức: nhân phân thức thứ nhất với phân thức nghịch đảo của phân thức thứ hai.

a) $\dfrac{3x^{2}}{6xy^{2}} - \dfrac{x^{2}}{6xy^{2}} = \dfrac{3x^{2} - x^{2}}{6xy^{2}} = \dfrac{2x^{2}}{6xy^{2}} = \dfrac{x}{3y^{2}}$

b) $\dfrac{- 5x^{3}}{3y^{2}}.\dfrac{9y}{10x^{5}} = \dfrac{- 45x^{3}y}{30x^{5}y^{2}} = \dfrac{- 3}{2x^{2}y}$

c) $\dfrac{3x + 1}{x + 3} + \dfrac{5 - x}{x + 3} = \dfrac{3x + 1 + 5 - x}{x + 3} = \dfrac{2x + 6}{x + 3} = \dfrac{2(x + 3)}{x + 3} = 2$

d) $\dfrac{5x + 15}{\left( {x + 2} \right)^{2}}:\dfrac{3\left( {x + 3} \right)}{x + 2} = \dfrac{5(x + 3)}{\left( {x + 2} \right)^{2}}.\dfrac{x + 2}{3\left( {x + 3} \right)} = \dfrac{5}{3\left( {x + 2} \right)}$

a) Quy đồng mẫu thức trong ngoặc: $9 - x^{2} = - (x^{2} - 9) = - (x - 3)(x + 3)$. Rút gọn biểu thức.

b) Biến đổi $A = a + \dfrac{b}{x - 3}$ (với $a,b \in {\mathbb{Z}}$). Để $A \in {\mathbb{Z}}$ thì $(x - 3)$ phải thuộc tập các ước của $b$.

a) Ta có: $A = \left( {\dfrac{1}{x + 3} - \dfrac{2x}{9 - x^{2}}} \right) \cdot \dfrac{(x + 3)(x + 2)}{3\left( {x - 1} \right)}$

$\begin{array}{l}=\left({\displaystyle \frac{x-3+2x}{(x-3)(x+3)}}\right)\cdot {\displaystyle \frac{(x+3)(x+2)}{3\left(x-1\right)}}\\ ={\displaystyle \frac{3\left(x-1\right)}{(x-3)(x+3)}}\cdot {\displaystyle \frac{(x+3)(x+2)}{3\left(x-1\right)}}={\displaystyle \frac{x+2}{x-3}}\end{array}$$\begin{array}{l} {= \left( \dfrac{x - 3 + 2x}{(x - 3)(x + 3)} \right) \cdot \dfrac{(x + 3)(x + 2)}{3\left( {x - 1} \right)}} \\ {= \dfrac{3\left( {x - 1} \right)}{(x - 3)(x + 3)} \cdot \dfrac{(x + 3)(x + 2)}{3\left( {x - 1} \right)} = \dfrac{x + 2}{x - 3}} \end{array}$

b) $A = \dfrac{x + 2}{x - 3} = \dfrac{x - 3 + 5}{x - 3} = 1 + \dfrac{5}{x - 3}$

Để A nguyên thì $x - 3$ $\in$ Ư(5)

Ta có bảng sau:

Vậy $x \in \left\{ - 2;2;4;8 \right\}$ là các giá trị cần tìm.

a) Tính bình phương cạnh lớn nhất và tổng bình phương hai cạnh còn lại, so sánh theo định lý Pythagore đảo.

b) Áp dụng định lý Pythagore trong $\Delta DEF$ vuông tại D có $EF^{2} = DE^{2} + DF^{2}$, từ đó tính được độ dài $DF$.

a) Tam giác ABC có $BC^{2} = 10^{2} = 100$

$AB^{2} + AC^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100 = 10^{2}$

Suy ra $BC^{2} = AB^{2} + AC^{2}$.

Nên tam giác ABC vuông tại A. (Định lý Pythagore đảo)

b) Tam giác DEF vuông tại D, theo định lý Pythagore ta có:

$EF^{2} = DF^{2} + DE^{2}$

Suy ra $DF^{2} = EF^{2} - DE^{2} = 15^{2} - 9^{2} = 144$

Suy ra $DF = 12$ (cm)

a) Chứng minh $\left. \Delta ANB \right.\backsim\Delta APC$ theo trường hợp góc – góc.

b) Chứng minh $\left. \Delta HPB \right.\backsim\Delta HNC$ (g-g) để suy ra tỷ lệ cạnh $\dfrac{HP}{HN} = \dfrac{HB}{HC}$ suy ra $HP \cdot HC = HB \cdot HN$

c) Từ $\left. \left. \Delta ANB \right.\backsim\Delta APC\Rightarrow\dfrac{AN}{AP} = \dfrac{AB}{AC}\Rightarrow\dfrac{AN}{AB} = \dfrac{AP}{AC} \right.$. Kết hợp với góc $\widehat{A}$ chung để chứng minh $\left. \Delta ANP \right.\backsim\Delta ABC$ (c-g-c).

a) Xét $\Delta ANB$ và $\Delta APC$ có:

$\widehat{ANB} = \widehat{APC} = 90{^\circ}$

$\widehat{A}$ chung

Do đó, $\Delta ANB \backsim \Delta APC$ (g.g)

b) Xét $\Delta HPB$ và $\Delta HNC$ có:

$\widehat{HPB} = \widehat{HNC} = 90{^\circ}$

$\widehat{BHP} = \widehat{CHN}$ (Hai góc đối đỉnh)

Do đó, $\Delta HPB \backsim \Delta HNC$ (g.g)

Suy ra $\dfrac{HP}{HN} = \dfrac{HB}{HC}$ (hai cạnh tương ứng)

Suy ra $HP.HC = HB.HN$

c) Ta có $\Delta ANB \backsim \Delta APC$ (cm câu a)

Suy ra $\dfrac{AN}{AP} = \dfrac{AB}{AC}$ (hai cạnh tương ứng)

Hay $\dfrac{AN}{AB} = \dfrac{AP}{AC}$

Xét $\Delta ANP$ và $\Delta ABC$ có:

$\widehat{A}$ chung

$\dfrac{AN}{AB} = \dfrac{AP}{AC}$(Cmt)

Do đó, $\Delta ANP$ $\backsim$ $\Delta ABC$ (c.g.c)