Đề giữa học kì 2 Toán 8 năm 2025 – 2026 trường THCS Động Đạt 1 – Thái Nguyên

Một phân thức đại số (phân thức) là một biểu thức có dạng $\dfrac{A}{B}$, trong đó $A$ và $B$ là những đa thức ($B$ là đa thức khác $0$).

$\dfrac{2x + 1}{3x - 1}$ là phân thức vì có tử thức ($2x + 1$) và mẫu thức ($3x - 1$) đều là các đa thức.

$\dfrac{\sqrt{x}}{x - 3}$ không là phân thức vì có tử thức chứa $\sqrt{x}$ không phải là một đa thức.

$\dfrac{2x + 1}{x - 3}$ là phân thức vì có tử thức ($2x + 1$) và mẫu thức ($x - 3$) đều là các đa thức.

$\dfrac{2x - 1}{x - 3}$ là phân thức vì có tử thức ($2x - 1$) và mẫu thức ($x - 3$) đều là các đa thức.

Áp dụng tính chất cơ bản của phân thức.

Ta có: $\dfrac{y}{3x} = \dfrac{y.3y}{3x.3y} = \dfrac{3y^{2}}{9xy}$

Rút gọn vế trái (phân thức đã cho) rồi so sánh với vế phải.

Ta có: $\dfrac{6x^{2}y}{8xy^{3}} = \dfrac{(6x^{2}y):(2xy)}{(8xy^{3}):(2xy)} = \dfrac{3x}{4y^{2}}$

Suy ra $M = 3x$.

Một phân thức đại số có dạng $\dfrac{A}{B}$ ( với $A, B$ là các đa thức) xác định khi và chỉ khi mẫu thức khác 0.

Điều kiện xác định của phân thức $\dfrac{x - 1}{x - 2}$ là: $x - 2 \neq 0$ hay $x \neq 2$.

Để rút gọn một phân thức đại số, ta thực hiện các bước sau:

- Tìm nhân tử chung của cả tử thức và mẫu thức (bao gồm cả phần hệ số và phần biến).

- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó để được phân thức tối giản.

Ta có: $\dfrac{4x^{2}y^{5}}{10x^{2}y^{3}} = \dfrac{4x^{2}y^{5}:(2x^{2}y^{3})}{10x^{2}y^{3}:(2x^{2}y^{3})} = \dfrac{2y^{2}}{5}$

Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng $ax + b = 0$ trong đó $a$ và $b$ là hai số đã cho và $a \neq 0$.

$0x + 2 = 0$ có hệ số $a = 0$ nên không phải là phương trình bậc nhất một ẩn.

Trong phương trình bậc nhất một ẩn tổng quát có dạng $ax + b = 0$ (với $a \neq 0$):

+ $ax$ được gọi là hạng tử chứa ẩn (với $a$ là hệ số của ẩn $x$).

+ $b$ được gọi là hạng tử tự do (hệ số tự do, không đi kèm với biến).

Phương trình $\dfrac{2x}{3} + \dfrac{1}{2} = 0$ có hạng tử tự do là $\dfrac{1}{2}$.

Khi viết ký hiệu hai tam giác đồng dạng, các đỉnh của hai tam giác phải được viết theo đúng thứ tự các đỉnh tương ứng.

Ta có: $\dfrac{DE}{IH} = \dfrac{DF}{IK} = \dfrac{EF}{HK}$

Suy ra ΔDEF $\backsim$ΔIHK

Sắp xếp độ dài các cạnh của mỗi tam giác theo thứ tự, sau đó lập tỉ số giữa các cặp cạnh tương ứng. Nếu cả 3 tỉ số bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng.

Đáp án A Các cạnh là $(4;7;10)$ và $(8;13;20)$.

Ta có: $\dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}$; $\dfrac{7}{13}$; $\dfrac{10}{20} = \dfrac{1}{2}$. Vì $\dfrac{4}{8} \neq \dfrac{7}{13}$ nên hai tam giác không đồng dạng.

Đáp án B: Các cạnh là $(3;4;6)$ và $(9;12;16)$.

Ta có: $\dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$; $\dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}$; $\dfrac{6}{16} = \dfrac{3}{8}$. Vì $\dfrac{1}{3} \neq \dfrac{3}{8}$ nên hai tam giác không đồng dạng.

Đáp án C: Các cạnh là $(3;4;5)$ và $(4;8;10)$.

Ta có: $\dfrac{3}{4}$; $\dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}$; $\dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}$. Vì $\dfrac{3}{4} \neq \dfrac{1}{2}$ nên hai tam giác không đồng dạng.

Đáp án D: Các cạnh là $(2;3;4)$ và $(10;15;20)$.

Ta có: $\dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5}$; $\dfrac{3}{15} = \dfrac{1}{5}$; $\dfrac{4}{20} = \dfrac{1}{5}$.

Vì $\dfrac{2}{10} = \dfrac{3}{15} = \dfrac{4}{20} = \left( \dfrac{1}{5} \right)$ nên hai tam giác này đồng dạng với nhau theo trường hợp cạnh - cạnh - cạnh (c-c-c).

Áp dụng định lý Pythagore đảo: Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông.

Ta thấy $3^{2} + 4^{2} = 5^{2}\ ( = 25)$

Theo định lý Pythagore đảo ta có 5 cm, 4 cm, 3 cm là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông.

Quy tắc viết ký hiệu đồng dạng: Khi viết ký hiệu đồng dạng giữa hai tam giác, tên các đỉnh bắt buộc phải được viết theo đúng thứ tự tương ứng của các góc bằng nhau.

Xét ∆ABC và ∆MNP có:

$\widehat{A} = \widehat{P}$

$\widehat{C} = \widehat{N}$

Suy ra ΔABC $\backsim$ΔPMN (g.g)

Hai hình đồng dạng phối cảnh khi:

- Các đường thẳng nối các cặp đỉnh tương ứng đồng quy tại một điểm (tâm phối cảnh).

- Các cạnh tương ứng song song hoặc trùng nhau.

Quan sát hình vẽ, ta thấy:

+ Cặp hình lục giác đều và Cặp hình vuông: Là các cặp hình đồng dạng phối cảnh vì có các cạnh tương ứng song song với nhau và các đường nối đỉnh tương ứng đồng quy.

+ Cặp hình tam giác đều: Không phải đồng dạng phối cảnh vì một hình nằm ngang, một hình bị xoay đứng (các cạnh tương ứng không song song).

- Xác định đại lượng ẩn số và biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn $x$ ở các mốc thời gian: Bốn năm trước, Hiện nay, và Sau 12 năm nữa.

- Lập phương trình biểu diễn mối quan hệ tuổi của hai người sau 12 năm nữa.

- Giải phương trình tìm $x$ và đối chiếu điều kiện để kiểm tra tính đúng/sai của các khẳng định.

a) Đúng: Tuổi Bình hiện nay là $x$ (tuổi) ($x \in \mathbb{N}$) thì sau 12 năm nữa là $x + 12$ tuổi.

b) Đúng: Vì bốn năm trước tuổi Bình là $x - 4$ (tuổi)

Nên tuổi An lúc đó là $3(x - 4)$ (tuổi)

Vậy tuổi An hiện nay là $3(x - 4) + 4$ tuổi.

c) Đúng: Sau 12 năm nữa, tuổi An là $3(x - 4) + 16$ và tuổi Bình là $x + 12$.

Vì tuổi An gấp 2 lần tuổi Bình nên ta có phương trình:

$3(x - 4) + 16 = 2(x + 12)$

d) Sai: Giải phương trình ở câu c

$3(x - 4) + 16 = 2(x + 12)$

$3x - 12 + 16 = 2x + 24$

$3x + 4 = 2x + 24$

$x = 20$ (Thỏa mãn)

Vậy tuổi hiện nay của Bình là 20 tuổi.

- Sử dụng tính chất tam giác đồng dạng để suy ra các cặp góc tương ứng bằng nhau và tỉ số các cạnh tương ứng.

- Chứng minh hai tam giác bằng nhau từ đó lập tỉ số đồng dạng suy ra hệ thức tích.

a) Đúng: Vì $\Delta ABD \backsim \Delta ACE$ nên $\widehat{ADB} = \widehat{AEC}$ (hai góc tương ứng).

b) Đúng: Từ giả thiết, ta có:

$\left. AC = 3AE\Rightarrow\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{1}{3} \right.$

$\left. AD = \dfrac{1}{3}AB\Rightarrow\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{1}{3} \right.$

Do đó: $\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{AD}{AB}\left( {= \dfrac{1}{3}} \right)$.

c) Sai: Xét $\Delta ADE$ và $\Delta ACB$, ta có:

$\widehat{A}$ chung.

$\dfrac{AD}{AE} = \dfrac{AB}{AC}$ (do $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}$)

Suy ra $\Delta ADE \backsim \Delta ABC$ là sai thứ tự đỉnh tương ứng.

d) Đúng: Xét $\Delta IDE$ và $\Delta ICB$, ta có:

$\widehat{DIE} = \widehat{CIB}$ (hai góc đối đỉnh).

$\widehat{IDE} = \widehat{IBC}$ (do $\Delta ADE \backsim \Delta ABC$)

Do đó $\Delta IDE \backsim \Delta ICB$ (g.g)

Suy ra $\dfrac{ID}{IE} = \dfrac{IC}{IB}$ (Hai cạnh tương ứng)

Suy ra $ID \cdot IB = IE \cdot IC$

Sử dụng quy tắc chuyển vế, chuyển vế giải phương trình.

Ta có: $5x - 3 = 17$

$\begin{array}{l}5x=17+3\\ 5x=20\\ x=4\end{array}$$\begin{array}{l} {5x = 17 + 3} \\ {5x = 20} \\ {x = 4} \end{array}$

Áp dụng định lý Thales trong tam giác.

Xét $\Delta EBC$ có $MN \parallel BC$

nên $\dfrac{EM}{MB} = \dfrac{EN}{NC}$ (Định lý Thales)

hay $\dfrac{7,2}{43,2} = \dfrac{x}{28,8}$

Suy ra $x = \dfrac{28,8.7,2}{43,2} = 4,8$

Vậy độ dài $EN$ là $4,8$.

Áp dụng định lý Pythagore tính độ dài các đoạn thẳng.

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $B$, áp dụng định lý Pythagore ta có:

$AC^{2} = AB^{2} + CB^{2}$

$AC^{2} = 5^{2} + 5^{2}$

$AC^{2} = 25 + 25 = 50$

$AC = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\text{~(dm)}$ $\approx 7,1{\rm{ dm}}$

Độ dài cạnh huyền $AC$ khoảng $7,1\text{~dm}$.

- Phân tích đa thức thành nhân tử

- Quy đồng mẫu thức, sau đó thực hiện phép cộng (trừ) các phân thức cùng mẫu.

a) $P = \dfrac{x^{2} + 6x + 9}{9 - x^{2}} + \dfrac{4x - 8}{x - 3}\left( {x \neq \pm 3} \right)$

$= \dfrac{x + 3}{3 - x} + \dfrac{4x - 8}{x - 3} = \dfrac{3x - 11}{x - 3}$

b) Thay x = 7 vào biểu thức P ta được:

$P = \dfrac{3.7 - 11}{7 - 3} = \dfrac{10}{4} = \dfrac{5}{2}$

+ Gọi độ dài quãng đường AB là x (km) (x > 0)

+ Lập biểu thức tính thời gian đi, thời gian về theo x.

+ Dựa vào dữ kiện đề bài lập phương trình ẩn x

Giải x, kiểm tra điều kiện và kết luận.

Đổi 45 phút = $\dfrac{3}{4}$ giờ.

Gọi độ dài quãng đường AB là x (km) (x > 0)

Thời gian đi từ A đến B là: $\dfrac{x}{15}$(giờ)

Thời gian đi từ B đến A là: $\dfrac{x}{12}$(giờ)

Vì thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 45 phút nên ta có phương trình:

$\dfrac{x}{12} - \dfrac{x}{15} = \dfrac{3}{4}$

$\dfrac{5x}{60} - \dfrac{4x}{60} = \dfrac{45}{60}$

$5x - 4x = 45$

x = 45 (km) (Thỏa mãn)

Vậy quãng đường AB dài 45km

a) Sử dụng định lý Pythagore đảo.

b) Chứng minh tam giác đồng dạng, từ đó lập tỉ số các cạnh tương ứng và suy ra hệ thức tích.

a) Ta thấy $AB^{2} = 15^{2} = 12^{2} + 9^{2} = AB^{2} + AC^{2}$

Theo định lý Pythagore đảo, ta có tam giác ABC vuông tại A.

b) Xét $\Delta AHC$ và $\Delta BAC$ có:

$\widehat{AHC} = \widehat{BAC} = 90{^\circ}$

$\widehat{ACB}$ chung

Suy ra $\Delta AHC \backsim \Delta BAC$ (g.g)

Suy ra $\dfrac{AC}{BC} = \dfrac{HC}{AC}$ (hai cạnh tương ứng)

Hay $AC^{2} = CH.BC$ (đpcm)

Đặt ẩn phụ, chứng minh bất đẳng thức phụ: Với $x,y > 0$ thì $\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} \geq 2$

Đặt $x = a^{2} + 2bc,y = b^{2} + 2ac,x = c^{2} + 2ab$

Ta có $x + y + z = {(a + b + c)}^{2} \leq 1$

Xét $A = (x + y + z)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)$

$= 1 + 1 + 1 + \left( {\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}} \right) + \left( {\dfrac{y}{z} + \dfrac{z}{y}} \right) + \left( {\dfrac{x}{z} + \dfrac{z}{x}} \right)$

Chứng minh bất đẳng thức phụ: Với $x,y > 0$ thì $\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} \geq 2$

Suy ra $A \geq 3 + 2 + 2 + 2 = 9$, suy ra $\dfrac{1}{a^{2} + 2bc} + \dfrac{1}{b^{2} + 2ac} + \dfrac{1}{c^{2} + 2ab} \geq 9$.