Đề thi giữa học kì 2 Toán 8 - Đề số 6

Phân thức $\frac{A}{B}$ có nghĩa khi $B \ne 0$ nên phân thức $\frac{A}{B}$ không có nghĩa khi $B = 0$.

Phân thức $\frac{2}{{x - 3}}$ không có nghĩa khi $x - 3 = 0$ hay $x = 3$.

Sử dụng kiến thức về hai phân thức bằng nhau.

Ta có: $\frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{x - y}} = \frac{P}{{{x^2} - {y^2}}}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow {\left(x+y\right)}^2\mathrm{.}\left(x^2-y^2\right)=P\mathrm{.}\left(x-y\right)\\ {\left(x+y\right)}^2\mathrm{.}\left(x+y\right)\left(x-y\right)=P\mathrm{.}\left(x-y\right)\\ {\left(x+y\right)}^3\left(x-y\right)=P\left(x-y\right)\\ \Rightarrow P={\left(x+y\right)}^3\end{array}$$\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {x + y} \right)^2}.\left( {{x^2} - {y^2}} \right) = P.\left( {x - y} \right)\\{\left( {x + y} \right)^2}.\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right) = P.\left( {x - y} \right)\\{\left( {x + y} \right)^3}\left( {x - y} \right) = P\left( {x - y} \right)\\ \Rightarrow P = {\left( {x + y} \right)^3}\end{array}$

Thực hiện rút gọn phân thức theo 2 bước:

+ Bước 1: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần).

+ Bước 2: Tìm nhân tử chung của tử và mẫu rồi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó.

Ta có: $\frac{{{x^3} - 2{x^2}}}{{2{x^2} - 4x}} = \frac{{{x^2}\left( {x - 2} \right)}}{{2x\left( {x - 2} \right)}} = \frac{x}{2}$.

Sử dụng quy tắc chia hai phân thức.

Ta có: $\frac{{2x}}{{x - 3}}:\frac{{4{x^2}}}{{3 - x}} = \frac{{2x}}{{x - 3}}.\frac{{3 - x}}{{4{x^2}}} = \frac{{2x}}{{x - 3}}.\frac{{ - \left( {x - 3} \right)}}{{4{x^2}}} = \frac{{ - 2x}}{{4{x^2}}} = \frac{{ - 1}}{{2x}}$.

Dựa vào định lí hai tam giác đồng dạng.

Ta có: MN // BC nên $\Delta AMN\backsim \Delta ABC$ (định lí hai tam giác đồng dạng)

$\Rightarrow \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{MN}}{{BC}} \Rightarrow \frac{2}{{2 + 3}} = \frac{x}{{6,3}} \Rightarrow x = 6,3.\frac{2}{5} = 2,52$.

Chứng minh $\Delta AEF\backsim \Delta ACB$ suy ra tỉ số đồng dạng.

Xét $\Delta AEF$ và $\Delta ACB$ có:

$\widehat A$ chung

$\frac{{AE}}{{AF}} = \frac{{AC}}{{AB}}\left( {\frac{{20}}{{16}} = \frac{{30}}{{24}} = \frac{5}{4}} \right)$

$\Rightarrow \Delta AEF\backsim \Delta ACB\left( c.g.c \right)$

$\begin{array}{l}\frac{AE}{AC}=\frac{EF}{BC}\\ \frac{20}{30}=\frac{EF}{36}\\ \Rightarrow EF=36.\frac{20}{30}=24\end{array}$$\begin{array}{l}\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{EF}}{{BC}}\\\frac{{20}}{{30}} = \frac{{EF}}{{36}}\\ \Rightarrow EF = 36.\frac{{20}}{{30}} = 24\end{array}$

Sử dụng tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác để tính BC, định lí Pythagore để tính AB.

Vì tam giác ABC vuông tại A và M là trung điểm của BC nên AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác ABC.

$\Rightarrow AM = \frac{1}{2}BC \Rightarrow BC = 2AM = 2.25 = 50\left( m \right)$

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông ABC, ta có:

$\begin{array}{l}A{B}^2=B{C}^2-A{C}^2={50}^2-{40}^2={30}^2\\ \Rightarrow AB=30\left(m\right)\end{array}$$\begin{array}{l}A{B^2} = B{C^2} - A{C^2} = {50^2} - {40^2} = {30^2}\\ \Rightarrow AB = 30\left( m \right)\end{array}$

Sử dụng đặc điểm của hai tam giác đồng dạng.

Vì $\Delta ABC\backsim \Delta HIK$ nên $\widehat A = \widehat H;\widehat B = \widehat I;\widehat C = \widehat K$

$\Rightarrow \widehat C = \widehat K = {180^0} - \widehat A - \widehat B = {180^0} - {80^0} - {25^0} = {75^0}$.

1. Sử dụng quy tắc trừ đa thức để tính số cây ăn quả.

a) Viết phân thức có số cây lấy gỗ là tử và số cây ăn quả là mẫu.

b) Thay x = 100 và y = 10 vào phân thức để tính giá trị.

2. Sử dụng các quy tắc tính với phân thức để tính.

1. Số cây ăn quả là:

 $\begin{array}{l}{x}^2+2x-y^2-2y-\left(x^2-y^2\right)\\ =x^2+2x-y^2-2y-x^2+y^2\\ =\left(x^2-x^2\right)+\left(-y^2+y^2\right)+2x-2y\\ =2x-2y\end{array}$$\begin{array}{l}{x^2} + 2x - {y^2} - 2y - \left( {{x^2} - {y^2}} \right)\\ = {x^2} + 2x - {y^2} - 2y - {x^2} + {y^2}\\ = \left( {{x^2} - {x^2}} \right) + \left( { - {y^2} + {y^2}} \right) + 2x - 2y\\ = 2x - 2y\end{array}$

a) Phân thức biểu thị tỉ số cây lấy gỗ và số cây ăn quả là: $\frac{{{x^2} - {y^2}}}{{2x - 2y}}$.

b) Ta có: $\frac{{{x^2} - {y^2}}}{{2x - 2y}} = \frac{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}}{{2\left( {x - y} \right)}} = \frac{{x + y}}{2}$.

Thay $x = 100;y = 10$ vào phân thức ta được: $\frac{{100 + 10}}{2} = \frac{{110}}{2}$.

2.

a) $\frac{{1 - 3x}}{{2x}} + \frac{{3x - 2}}{{2x - 1}} + \frac{{3x - 2}}{{2x - 4{x^2}}}$ (ĐK: $x \ne 0;x \ne \frac{1}{2}$)

$\begin{array}{l}=\frac{1-3x}{2x}+\frac{3x-2}{2x-1}+\frac{3x-2}{2x\left(1-2x\right)}\\ =\frac{\left(1-3x\right)\left(1-2x\right)}{2x\left(1-2x\right)}-\frac{2x\left(3x-2\right)}{2x\left(1-2x\right)}+\frac{3x-2}{2x\left(1-2x\right)}\\ =\frac{1-5x+6x^2-6x^2+4x+3x-2}{2x\left(1-2x\right)}\\ =\frac{2x-1}{2x\left(1-2x\right)}\\ =\frac{-1}{2x}\end{array}$$\begin{array}{l} = \frac{{1 - 3x}}{{2x}} + \frac{{3x - 2}}{{2x - 1}} + \frac{{3x - 2}}{{2x\left( {1 - 2x} \right)}}\\ = \frac{{\left( {1 - 3x} \right)\left( {1 - 2x} \right)}}{{2x\left( {1 - 2x} \right)}} - \frac{{2x\left( {3x - 2} \right)}}{{2x\left( {1 - 2x} \right)}} + \frac{{3x - 2}}{{2x\left( {1 - 2x} \right)}}\\ = \frac{{1 - 5x + 6{x^2} - 6{x^2} + 4x + 3x - 2}}{{2x\left( {1 - 2x} \right)}}\\ = \frac{{2x - 1}}{{2x\left( {1 - 2x} \right)}}\\ = \frac{{ - 1}}{{2x}}\end{array}$

b) $\frac{{{x^2} + x}}{{5{x^2} - 10x + 5}}:\frac{{3x + 3}}{{5x - 5}}$ (ĐK: $x \ne 1$)

$\begin{array}{l}=\frac{x\left(x+1\right)}{5\left(x^2-2x+1\right)}\mathrm{.}\frac{5\left(x-1\right)}{3\left(x+1\right)}\\ =\frac{x\left(x+1\right).5\left(x-1\right)}{5{\left(x-1\right)}^2.3\left(x+1\right)}\\ =\frac{x}{3\left(x-1\right)}\end{array}$$\begin{array}{l} = \frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{5\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)}}.\frac{{5\left( {x - 1} \right)}}{{3\left( {x + 1} \right)}}\\ = \frac{{x\left( {x + 1} \right).5\left( {x - 1} \right)}}{{5{{\left( {x - 1} \right)}^2}.3\left( {x + 1} \right)}}\\ = \frac{x}{{3\left( {x - 1} \right)}}\end{array}$

a) Kiểm tra điều kiện của x, nếu thỏa mãn thì thay giá trị của x vào Q để tính Q.

b) Sử dụng các quy tắc tính với phân thức để rút gọn P.

c) Tính $A = \frac{P}{Q}$. Để A nguyên thì tử thức chia hết cho mẫu thức.

a) Ta có x = 6 thỏa mãn điều kiện nên thay x = 6 vào Q, ta được:

$Q = \frac{{6 - 4}}{{{6^2} - 25}} = \frac{2}{{11}}$

Vậy $Q = \frac{2}{{11}}$ với $x = 6$.

b) Ta có:

$\begin{array}{l}P=\frac{1}{x+5}+\frac{2}{x-5}-\frac{2x+10}{\left(x+5\right)\left(x-5\right)}\\ =\frac{1}{x+5}+\frac{2}{x-5}-\frac{2\left(x+5\right)}{\left(x+5\right)\left(x-5\right)}\\ =\frac{1}{x+5}+\frac{2}{x-5}-\frac{2}{x-5}\\ =\frac{1}{x+5}\end{array}$$\begin{array}{l}P = \frac{1}{{x + 5}} + \frac{2}{{x - 5}} - \frac{{2x + 10}}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right)}}\\ = \frac{1}{{x + 5}} + \frac{2}{{x - 5}} - \frac{{2\left( {x + 5} \right)}}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right)}}\\ = \frac{1}{{x + 5}} + \frac{2}{{x - 5}} - \frac{2}{{x - 5}}\\ = \frac{1}{{x + 5}}\end{array}$

Vậy $P = \frac{1}{{x + 5}}$.

c) Ta có:

$\begin{array}{l}A=\frac{P}{Q}=\frac{1}{x+5}:\frac{x-4}{x^2-25}\\ =\frac{1}{x+5}\mathrm{.}\frac{\left(x-5\right)\left(x+5\right)}{x-4}\\ =\frac{x-5}{x-4}\end{array}$$\begin{array}{l}A = \frac{P}{Q} = \frac{1}{{x + 5}}:\frac{{x - 4}}{{{x^2} - 25}}\\ = \frac{1}{{x + 5}}.\frac{{\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}}{{x - 4}}\\ = \frac{{x - 5}}{{x - 4}}\end{array}$

$A = \frac{{x - 5}}{{x - 4}} = \frac{{x - 4 - 1}}{{x - 4}} = 1 - \frac{1}{{x - 4}}$.

Để A nguyên thì $\frac{1}{{x - 4}}$ là số nguyên hay $1 \vdots \left( {x - 4} \right)$ suy ra $\left( {x - 4} \right) \in$ Ư(1); Ư(1) = $\left\{ { \pm 1} \right\}$.

Với x – 4 = 1 thì x = 5 (không thỏa mãn)

Với x – 4 = -1 thì x = 3 (thỏa mãn)

Vậy với x = 3 thì A nguyên.

Áp dụng Định lí Pythagore để tính chiều dài của cánh buồm.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:

$\begin{array}{l}B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2=5,4^2+3,8^2=43,6\\ \Rightarrow BC=6,60\end{array}$$\begin{array}{l}B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = 5,{4^2} + 3,{8^2} = 43,6\\ \Rightarrow BC = 6,60\end{array}$

Vậy chiều dài cánh buồm là 6,6.

a) Chứng minh AHBK có hai cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành.

b) Chứng minh $\Delta HAE\backsim \Delta HBF$ theo trường hợp góc – góc.

c) Chứng minh $\Delta AFC\backsim \Delta BEC$ (g.g) để chứng minh $CE.CA = CF.CB$.

d) Gọi D là giao điểm KH và AB

Để tứ giác AHBK là hình thoi thì KH vuông góc AB

Ta có: H là trực tâm $\Rightarrow$ CH vuông góc AB

$\Rightarrow$ C, H, D thẳng hàng $\Rightarrow$ CD là đường cao và D là trung điểm của AB $\Rightarrow$ CD cũng là đường trung tuyến

$\Rightarrow$ Tam giác ABC cân tại C

a) Ta có:

$\left.$$\begin{array}{l}AK \bot AC\\BE \bot AC\end{array}$ \right\} \Rightarrow AK//BE

$\left.$$\begin{array}{l}BK \bot BC\\AF \bot BC\end{array}$ \right\} \Rightarrow BK//AF

Xét tứ giác AHBK có:

$\begin{array}{l}AK\mathrm{/}\mathrm{/}BH\left(H\in BE\right)\\ BK\mathrm{/}\mathrm{/}AH\left(H\in AF\right)\end{array}$$\begin{array}{l}AK//BH\left( {H \in BE} \right)\\BK//AH\left( {H \in AF} \right)\end{array}$

$\Rightarrow$ AHBK là hình bình hành.

b) Xét $\Delta HAE$ và $\Delta HBF$ có:

$\widehat E = \widehat F\left( { = {{90}^0}} \right)$

$\widehat {AHE} = \widehat {BHF}$ (hai góc đối đỉnh)

$\Rightarrow \Delta HAE\backsim \Delta HBF$ (g.g) (đpcm)

c) Xét $\Delta AFC$ và $\Delta BEC$ có:

$\widehat F = \widehat E\left( { = {{90}^0}} \right)$

$\widehat C$ chung

$\Rightarrow \Delta AFC\backsim \Delta BEC\left( g.g \right)$

$\Rightarrow \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{CF}}{{CE}} \Rightarrow AC.CE = CF.CB$ (đpcm)

d) Gọi D là giao điểm của AB và HK $\Rightarrow$ D là trung điểm của AB và HK.

Để AHBK là hình thoi thì $AB \bot HK$.

Mà H trực tâm của tam giác ABC nên $CH \bot AB$.

$\Rightarrow$ C, H, K thẳng hàng hay C, H, D thẳng hàng.

Khi đó CD là đường cao của tam giác ABC.

Mà D là trung điểm của AB nên CD cũng là đường trung tuyến của tam giác ABC

$\Rightarrow$ Tam giác ABC cân tại C.

Vậy để AHBK là hình thoi thì tam giác ABC cân tại C.

Biến đổi $\frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z} = 0$ và $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ để có đpcm.

Sử dụng hằng đẳng thức nâng cao: ${\left( {A + B + C} \right)^2} = {A^2} + {B^2} + {C^2} + 2AB + 2AC + 2BC$.

Ta có:

$\begin{array}{l}\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\\ \frac{ayz+bxz+cxy}{xyz}=0\\ \Rightarrow ayz+bxz+cxy=0\end{array}$$\begin{array}{l}\frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z} = 0\\\frac{{ayz + bxz + cxy}}{{xyz}} = 0\\ \Rightarrow ayz + bxz + cxy = 0\end{array}$

Ta lại có:

$\begin{array}{l}\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\\ \Rightarrow {\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\right)}^2=1\\ {\left(\frac{x}{a}\right)}^2+{\left(\frac{y}{b}\right)}^2+{\left(\frac{z}{c}\right)}^2+2.\frac{x}{a}\mathrm{.}\frac{y}{b}+2.\frac{x}{a}\mathrm{.}\frac{z}{c}+2.\frac{y}{b}\mathrm{.}\frac{z}{c}=1\\ {\left(\frac{x}{a}\right)}^2+{\left(\frac{y}{b}\right)}^2+{\left(\frac{z}{c}\right)}^2+2\left(\frac{xy}{ab}+\frac{xz}{ac}+\frac{yz}{bc}\right)=1\\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+2\left(\frac{xyc+bxz+ayz}{abc}\right)=1\\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+2.\frac{0}{abc}=1\\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\end{array}$$\begin{array}{l}\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\\ \Rightarrow {\left( {\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c}} \right)^2} = 1\\{\left( {\frac{x}{a}} \right)^2} + {\left( {\frac{y}{b}} \right)^2} + {\left( {\frac{z}{c}} \right)^2} + 2.\frac{x}{a}.\frac{y}{b} + 2.\frac{x}{a}.\frac{z}{c} + 2.\frac{y}{b}.\frac{z}{c} = 1\\{\left( {\frac{x}{a}} \right)^2} + {\left( {\frac{y}{b}} \right)^2} + {\left( {\frac{z}{c}} \right)^2} + 2\left( {\frac{{xy}}{{ab}} + \frac{{xz}}{{ac}} + \frac{{yz}}{{bc}}} \right) = 1\\\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}} + 2\left( {\frac{{xyc + bxz + ayz}}{{abc}}} \right) = 1\\\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}} + 2.\frac{0}{{abc}} = 1\\\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}} = 1\end{array}$

Ta được điều phải chứng minh.