Đề giữa học kì 1 Toán 8 năm 2025 – 2026 trường THCS Bát Tràng – Hà Nội

- Đơn thức là biểu thức đại số chỉ gồm một số, hoặc một biến, hoặc một tích giữa các số và các biến.

- Biểu thức không phải là đơn thức nếu nó chứa phép cộng hoặc phép trừ giữa các hạng tử, hoặc chứa biến ở mẫu.

$- 15xy^{2}$ là đơn thức.

Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có hệ số khác 0 và có cùng phần biến (mỗi biến giống nhau phải có cùng số mũ).

Phần biến của đơn thức đã cho là $x^{2}y^{4}$.

Đáp án B ($7x^{2}y^{4}$) có hệ số $7 \neq 0$ và chung phần biến $x^{2}y^{4}$.

Muốn chia đơn thức cho đơn thức, ta chia hệ số cho hệ số, chia phần biến của từng biến cho nhau theo quy tắc $x^{m}:x^{n} = x^{m - n}$ (với $m \geq n$).

$5x^{2}y^{5}:10x^{2}y^{3} = \left( \dfrac{5}{10} \right) \cdot (x^{2}:x^{2}) \cdot (y^{5}:y^{3}) = \dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot y^{2} = \dfrac{1}{2}y^{2}$

- Thu gọn đơn thức bằng cách nhân các hệ số với nhau và nhân các phần biến với nhau.

- Bậc của đơn thức thu gọn có hệ số khác 0 là tổng số mũ của tất cả các biến có trong đơn thức đó.

Ta có: $\dfrac{2}{3}x^{2}y^{3}\left( {- \dfrac{5}{3}x^{2}z} \right) =$$\left\lbrack {\dfrac{2}{3} \cdot \left( {- \dfrac{5}{3}} \right)} \right\rbrack \cdot (x^{2} \cdot x^{2}) \cdot y^{3} \cdot z = - \dfrac{10}{9}x^{4}y^{3}z$.

Tổng số mũ các biến: $4 + 3 + 1 = 8$.

Vậy bậc của đơn thức là 8.

Một đa thức chia hết cho một đơn thức nếu mọi hạng tử của đa thức đó đều chia hết cho đơn thức đó (tức là mỗi biến trong đơn thức chia phải có số mũ nhỏ hơn hoặc bằng số mũ của biến đó trong mọi hạng tử của đa thức).

Đa thức $2x^{5}y^{2} + \dfrac{2}{5}x^{2}y - x^{2}y^{2}$ chia hết cho $xy$.

- Thu gọn đa thức bằng cách nhóm các hạng tử đồng dạng và rút gọn.

- Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức đó.

Ta có: $- y^{5} + 2x^{2}y - x^{2}y^{2} + y^{5} - 3 = ( - y^{5} + y^{5}) + 2x^{2}y - x^{2}y^{2} - 3 = 2x^{2}y - x^{2}y^{2} - 3$.

Xét bậc từng hạng tử:

$2x^{2}y$ có bậc là $2 + 1 = 3$

$- x^{2}y^{2}$ có bậc là $2 + 2 = 4$

$- 3$ có bậc là $0$

Bậc cao nhất là $4$

Tổng các góc của một tứ giác bằng $360^{{^\circ}}$ ($\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} + \widehat{D} = 360^{{^\circ}}$)

Xét tứ giác $ABCD$ ta có:

$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} + \widehat{D} = 360^{{^\circ}}$ (định lý tổng các góc trong một tứ giác)

Hay $\widehat{C} + \widehat{D} = 360^{{^\circ}} - (\widehat{A} + \widehat{B}) = 360{^\circ} - 140{^\circ} = 220{^\circ}$

Sử dụng định lý tổng bốn góc trong một tứ giác: $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} + \widehat{D} = 360^{{^\circ}}$.

Xét tứ giác $ABCD$ ta có:

$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} + \widehat{D} = 360^{{^\circ}}$ (định lý tổng các góc trong một tứ giác)

Hay $120^{{^\circ}} + 56^{{^\circ}} + 72^{{^\circ}} + \widehat{D} = 360^{{^\circ}}$

Suy ra $\widehat{D} = 360^{{^\circ}} - (120^{{^\circ}} + 56^{{^\circ}} + 72^{{^\circ}}) = 112^{{^\circ}}$

Áp dụng các định nghĩa về hình thang, hình bình hành, hình vuông, hình chữ nhật.

Đáp án C: "Tứ giác có bốn góc vuông là hình vuông"

$\rightarrow$ Sai, tứ giác có bốn góc vuông mới chỉ là hình chữ nhật (chưa đủ điều kiện các cạnh bằng nhau hoặc hai đường chéo vuông góc để thành hình vuông).

Áp dụng tính chất của hình thang cân, hình thoi, hình chữ nhật, hình bình hành.

A. Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau $\rightarrow$ Đúng theo tính chất hình thang cân.

B. Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau $\rightarrow$ Sai (hình chữ nhật mới có 2 đường chéo bằng nhau).

C. Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc $\rightarrow$ Sai (hình thoi hoặc hình vuông mới có).

D. Hình bình hành có đường chéo là tia phân giác góc $\rightarrow$ Sai (tính chất của hình thoi).

Dựa vào dấu hiệu nhận biết và mối quan hệ giữa các hình.

"Hình chữ nhật vừa là hình bình hành, vừa là hình thang cân"

Đúng, vì hình chữ nhật thỏa mãn đầy đủ các điều kiện của hình bình hành và hình thang cân.

Dựa vào dấu hiệu nhận biết hình thang cân.

"Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân"

$\rightarrow$ Đây là dấu hiệu nhận biết chính xác của hình thang cân.

a) Thu gọn đa thức: Nhóm các hạng tử đồng dạng lại với nhau (có cùng phần biến) rồi cộng, trừ các hệ số của chúng.

b) Tính giá trị: Thay giá trị của biến $x, y$ vào biểu thức đã thu gọn rồi tính toán cẩn thận.

a) Ta có: $A = 5x^{2}y^{3} - 4xy^{2} - 3x^{2}y^{3} + 4xy^{2} + 3$

$\begin{array}{l}=(5x^2{y}^3-3x^2{y}^3)+(-4x{y}^2+4x{y}^2)+3\\ =2x^2{y}^3+3\end{array}$$\begin{array}{l} {= (5x^{2}y^{3} - 3x^{2}y^{3}) + ( - 4xy^{2} + 4xy^{2}) + 3} \\ {= 2x^{2}y^{3} + 3} \end{array}$

b) Thay $x = - 2$ và $y = 1$ vào biểu thức $A$ ta được:

$A = 2.{( - 2)}^{2}.1^{3} + 3 = 8 + 3 = 11$

Vậy $A = 11$ khi $x = - 2$ và $y = 1$

a) Cộng hai đa thức: Bỏ dấu ngoặc, nhóm các hạng tử đồng dạng và thu gọn.

b) Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến: Khai triển các hằng đẳng thức hoặc nhân đa thức, rút gọn biểu thức sao cho các biến triệt tiêu hết, kết quả cuối cùng chỉ là một hằng số.

c) Chia đa thức cho đơn thức: Lấy từng hạng tử của đa thức chia cho đơn thức rồi cộng các kết quả lại.

a) $M + N = (2x^{2}y - 6xy + x^{2} + 7) + (3xy + 5x^{2} - 2x^{2}y - 8)$

$= 2x^{2}y - 6xy + x^{2} + 7 + 3xy + 5x^{2} - 2x^{2}y - 8$

$= (2x^{2}y - 2x^{2}y) + ( - 6xy + 3xy) + (x^{2} + 5x^{2}) + (7 - 8)$

$= - 3xy + 6x^{2} - 1$

b) Ta có: $A = (x - 2y)(x^{2} + 2xy + 4y^{2}) - (x^{3} - 8y^{3} + 15)$

Conversion failed

c) $(6x^{5}y^{3} - 5x^{3}y^{4} + 8x^{3}y^{3}):(2x^{2}y^{2})$

$= (6x^{5}y^{3}):(2x^{2}y^{2}) - (5x^{3}y^{4}):(2x^{2}y^{2}) + (8x^{3}y^{3}):(2x^{2}y^{2})$

$= 3x^{3}y - \dfrac{5}{2}xy^{2} + 4xy$

Phá ngoặc (sử dụng quy tắc dấu ngoặc và phép nhân đơn thức với đa thức/đa thức với đa thức), chuyển vế đổi dấu để đưa về dạng phương trình bậc nhất ẩn $x$ ($ax + b = 0$ hoặc $ax = c$), sau đó giải tìm $x$.

a) $2(x + 1) + 3(x - 5) = 7$

$2x + 2 + 3x - 15 = 7$

$5x - 13 = 7$

$\begin{array}{l}5x=7+13\\ 5x=20\\ x=4\end{array}$$\begin{array}{l} {5x = 7 + 13} \\ {5x = 20} \\ {x = 4} \end{array}$

Vậy $x = 4$

b) $(x - 2)(x + 1) - (x + 5)(x - 3) = 4$

$(x^{2} - x - 2) - (x^{2} + 2x - 15) = 4$

$x^{2} - x - 2 - x^{2} - 2x + 15 = 4$

$(x^{2} - x^{2}) + ( - x - 2x) + ( - 2 + 15 - 4) = 0$

$- 3x + 9 = 0$

$- 3x = - 9$

$\begin{array}{l}x=(-9):(-3)\\ x=3\end{array}$$\begin{array}{l} {x = ( - 9):( - 3)} \\ {x = 3} \end{array}$

Vậy $x = 3$

- Tính diện tích hình vuông lớn (khu vườn) cạnh $x$ là $x^{2}$ ($m^{2}$)

- Tính diện tích hình chữ nhật nhỏ (ao thả cá) có các cạnh là $(x - 13)$ và $y$: $S_{\text{ao}} = y(x - 13)$ ($m^{2}$)

- Diện tích phần đất trồng rau = Diện tích khu vườn $-$ Diện tích ao cá

Diện tích khu vườn hình vuông là: $x^{2}$ ($\text{m}^{2}$)

Diện tích cái ao hình chữ nhật là: $y(x - 13)$ ($\text{m}^{2}$)

Đa thức biểu thị diện tích phần đất trồng rau là:

$S = x^{2} - y(x - 13) = x^{2} - xy + 13y\text{~(m}^{2}\text{)}$

a) Chứng minh tứ giác có 3 góc vuông ($\widehat{A} = 90^{{^\circ}}$, $\widehat{AHM} = 90^{{^\circ}}$, $\widehat{AKM} = 90^{{^\circ}}$).

b) Sử dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông, các quan hệ song song và vuông góc.

c) Chứng minh ba điểm $E, O, C$ thẳng hàng: Sử dụng tính chất đường trung bình hoặc chứng minh các đoạn thẳng song song/đồng quy, qua trung điểm $O$ của $AM$ và $HK$.

a) Xét tứ giác $AHMK$ có:

$\widehat{A} = 90^{{^\circ}}$ ($\Delta ABC$ vuông tại $A$)

$\widehat{AHM} = 90^{{^\circ}}$ (do $MH\bot AB$)

$\widehat{AKM} = 90^{{^\circ}}$ (do $MK\bot AC$)

Do đó, tứ giác $AHMK$ là hình chữ nhật (dhnb)

b) Vì $AHMK$ là hình chữ nhật nên $HK = AM$ và $HM = AK$.

Xét tam giác vuông $ABC$ có $M$ là trung điểm cạnh huyền $BC$ nên

$AM = MB = MC = \dfrac{1}{2}BC$ (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).

Do đó $HK = MC$ ($= AM$)

Xét $\Delta AMC$ có $AM = MC$ (cmt)

Nên $\Delta AMC$ cân tại $M$

Lại có $MK\bot AC$

Suy ra $MK$ đồng thời là đường trung tuyến của $\Delta AMC$

Hay $K$ là trung điểm của $AC$

Suy ra $AK = KC$

Mà $HM = AK$

Nên $HM = KC\ ( = AK)$

Vì $HM\bot AB$ và $AC\bot AB$

nên $HM \parallel AC$ (quan hệ từ vuông góc tới song song)

hay $HM \parallel KC$ (do $K \in AC$)

Xét tứ giác $CMHK$ có

$HM \parallel KC$

$HM = KC$

Do đó, $CMHK$ là hình bình hành.

c) Xét hình chữ nhật $AHMK$ có:

$O$ là giao điểm của hai đường chéo $AM$ và $HK$

Suy ra $O$ là trung điểm của $AM$ và $HK$

Vì $H$ là trung điểm của $ME$

Nên $HM = \dfrac{1}{2}ME$

Lại có: $AK = KC = \dfrac{1}{2}AC$

Mà $HM = KC = AK$ (cmt)

Nên $ME = AC$

+) Xét tứ giác $AEMC$ có:

$ME = AC$

$ME \parallel AC$ (do $HM \parallel AC$)

Do đó $AEMC$ là hình bình hành.

Suy ra $AM$ cắt $EC$ tại trung điểm của mỗi đường.

Mà $O$ là trung điểm của $AM$ nên $O$ cũng là trung điểm của $EC$.

Do đó, ba điểm $E, O, C$ thẳng hàng.

Từ giả thiết $x = 2024$, ta suy ra $2025 = x + 1$.

Thay thế số $2025$ ở các hệ số trong biểu thức $M$ bằng $(x + 1)$ để thu gọn biểu thức dựa vào hằng đẳng thức hoặc khử các số hạng đối nhau.

Ta có $x = 2024$ nên $2025 = x + 1$.

Thay $2025 = x + 1$ vào biểu thức $M$, ta được:

$M = x^{10} - (x + 1)x^{9} + (x + 1)x^{8} - (x + 1)x^{7} + ... - (x + 1)x^{3} + (x + 1)x^{2} - (x + 1)x + (x + 1)$

$M = x^{10} - (x^{10} + x^{9}) + (x^{9} + x^{8}) - (x^{8} + x^{7}) + ... - (x^{4} + x^{3}) + (x^{3} + x^{2}) - (x^{2} + x) + (x + 1)$

$M = x^{10} - x^{10} - x^{9} + x^{9} + x^{8} - x^{8} - x^{7} + ... - x^{4} - x^{3} + x^{3} + x^{2} - x^{2} - x + x + 1$

$M = 1$

Vậy giá trị của biểu thức $M = 1$ tại $x = 2024$.