Đề giữa học kì 1 Toán 8 năm 2025 – 2026 trường THCS Chúc Sơn – Hà Nội

Nhận biết khái niệm đa thức và đơn thức nhiều biến. Đa thức là tổng của những đơn thức; đơn thức là biểu thức đại số chỉ gồm một số, một biến hoặc một tích giữa các số và các biến.

$x^{2} + y^{2}$ là một đa thức và không phải đơn thức đơn lẻ

Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có hệ số khác $0$ và có cùng phần biến.

Đơn thức $8x^{4}y$ có phần biến là $x^{4}y$, còn đơn thức $8xy^{4}$ có phần biến là $xy^{4}$ (khác nhau số mũ của $x$ và $y$).

Do đó hai đơn thức không đồng dạng.

Bậc của một đơn thức có hệ số khác $0$ là tổng số mũ của tất cả các biến có trong đơn thức đó.

Đơn thức có các biến với số mũ lần lượt là: $x$ mũ $2$, $y$ mũ $1$, $z$ mũ $2$. Tổng số mũ là: $2 + 1 + 2 = 5$.

Lập biểu thức đại số biểu diễn đại lượng thực tế bằng cách cộng tổng số tiền hai đợt

Số tiền đợt hai ủng hộ là $150{\mkern 1mu} 000x$ (đồng).

Tổng số tiền hai đợt là tiền đợt một cộng tiền đợt hai:

$12{\mkern 1mu} 000{\mkern 1mu} 000 + 150{\mkern 1mu} 000x$ (đồng).

Áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng: ${(A + B)}^{2} = A^{2} + 2AB + B^{2}$

Ta có: ${(2x + 3y)}^{2} = {(2x)}^{2} + 2 \cdot (2x) \cdot (3y) + {(3y)}^{2} = 4x^{2} + 12xy + 9y^{2}$

Vậy hệ số của $x^{2}$ là $4$, hệ số của $y^{2}$ là $9$.

Chia đa thức cho đơn thức bằng cách chia từng hạng tử của đa thức cho đơn thức đó.

$(2x^{5}y^{3} + 6x^{3}y^{2} - 4x^{2}y):(2x^{2}y)$

$= (2x^{5}y^{3}:2x^{2}y) + (6x^{3}y^{2}:2x^{2}y) - (4x^{2}y:2x^{2}y)$

$= x^{3}y^{2} + 3xy - 2$.

Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương: $A^{3} - B^{3} = (A - B)(A^{2} + AB + B^{2})$.

Ta thấy $x^{3} - 2^{3} = (x - 2)(x^{2} + 2x + 2^{2}) = (x - 2)(x^{2} + 2x + 4)$

Đồng nhất với biểu thức $(x - 2)(x^{2} + 2x + a)$, suy ra $a = 4$

Định lí tổng các góc trong một tứ giác bằng $360^{{^\circ}}$

$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} + \widehat{D} = 360^{{^\circ}}$

Xét tứ $ABCD$ có:

$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} + \widehat{D} = 360^{{^\circ}}$ (Định lý tổng các góc trong một tứ giác)

Suy ra $\widehat{B} = 360^{{^\circ}} - (\widehat{A} + \widehat{C} + \widehat{D}) = 360^{{^\circ}} - (90^{{^\circ}} + 90^{{^\circ}} + 70^{{^\circ}}) = 360^{{^\circ}} - 250^{{^\circ}} = 110^{{^\circ}}$.

Sử dụng định nghĩa và tính chất của hình thang, hình thang cân, hình bình hành

Khẳng định B sai vì hình thang cân phải là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.

Sử dụng tính chất của hình thang cân: Hai đường chéo của hình thang cân bằng nhau.

Vì $ABCD$ là hình thang cân nên hai đường chéo $AC = BD$. Do đó $BD = 10\text{~cm}$.

Sử dụng các dấu hiệu nhận biết hình bình hành.

Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường mới là hình bình hành. Phát biểu "Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau là hình bình hành" là thiếu điều kiện trung điểm nên sai.

Sử dụng tính chất cạnh đối của hình bình hành và công thức tính chu vi.

Chu vi hình bình hành $ABCD$ là: $2(AB + AD) = 30$

Suy ra $AB + AD = 15\text{~cm}$

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên cạnh đối $BC = AD$

Do đó tổng hai cạnh kề là $AB + BC = 15\text{~cm}$

Chu vi tam giác $ACD$ là: $AC + AD + CD = 22\text{~cm}$

Mà $CD = AB$ và $AD = BC$ nên chu vi tam giác $ACD$ là:

$\begin{array}{l}AC+(AB+BC)=22\\ \Rightarrow AC+15=22\\ \Rightarrow AC=7\text{ cm}\end{array}$$\begin{array}{l} {AC + (AB + BC) = 22} \\ \left. \Rightarrow AC + 15 = 22 \right. \\ \left. \Rightarrow AC = 7\text{~cm} \right. \end{array}$

a) Khai triển các hằng đẳng thức đáng nhớ, nhân đơn thức với đa thức, sau đó thu gọn các hạng tử đồng dạng

b) Thay giá trị của $x$ vào biểu thức đã rút gọn ở câu a để tính

a) $A = \left( {x + y} \right)^{2} - \left( {x - y} \right)^{2} + 2x\left( {5 - 2y} \right)$

$A = x^{2} + 2xy + y^{2} - \left( {x^{2} - 2xy + y^{2}} \right) + 10x - 4xy$

$A = x^{2} + 2xy + y^{2} - x^{2} + 2xy - y^{2} + 10x - 4xy$

$A = (x^{2} - x^{2}) + (2xy + 2xy - 4xy) + (y^{2} - y^{2}) + 10x$

$A = 10x$

b) Thay $x = 2\, 025\,;\,\, y = 2\, 026$ vào $A$, ta có

\(A = 10\mspace{6mu}\text{.}\mspace{6mu} 2\, 025 = 20\mspace{6mu} 250\)

Thực hiện phép nhân phá ngoặc, chuyển vế đổi dấu các hạng tử chứa $x$ về một vế và các số hạng tự do về vế còn lại để tìm $x$

a) $3\left( {2x + 1} \right) + 1 = 5$

$6x + 3 + 1 = 5$

$6x = 1$

$x = \dfrac{1}{6}$

Vậy $x = \dfrac{1}{6}$

b) $\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) + 3(x - 5) = x^{2}$

$x^{2} - 4 + 3x - 15 = x^{2}$

$x^{2} - 4 + 3x - 15 - x^{2} = 0$

$3x - 19 = 0$

$3x = 19$

$x = \dfrac{19}{3}$

Vậy $x = \dfrac{19}{3}$

Lập biểu thức đại số thông qua các dữ kiện bài toán thực tế về phần trăm và số tiền giảm giá.

a) Số tiền Bình mua quyển từ điển sau khi được giảm giá là:

$x - 20$ (nghìn đồng)

b) Số tiền Bình mua món đồ chơi sau khi được giảm giá là:

\(\left( {100\% - 10\%} \right)\mspace{6mu}\text{.}\mspace{6mu} y = 0,9y\) (nghìn đồng)

Tổng số tiền Bình phải trả khi mua hai mặt hàng trên là

$x - 20 + 0,9y$ (nghìn đồng)

a) Sử dụng tính chất hình thang cân (hai góc kề một đáy bằng nhau) và tính chất hai góc trong cùng phía bù nhau của hình thang.

b) Sử dụng dấu hiệu nhận biết hình bình hành (tứ giác có các cặp cạnh đối song song).

c) Chứng minh tam giác $ADE$ đều để suy ra các cạnh bằng nhau, từ đó chứng minh tứ giác $BFED$ là hình bình hành, suy ra các tính chất trung điểm để chứng minh ba điểm thẳng hàng

a) Vì $ABCD$ là hình thang cân nên

$\widehat{BCD} = \widehat{ADC} = 60{^\circ}$ (tính chất của hình thang cân)

$\widehat{BAD} + \widehat{ADC} = 180{^\circ}$ ( 2 góc kề cạnh bên, tính chất của hình thang)

Hay $\widehat{BAD} + 60{^\circ} = 180{^\circ}$

Suy ra $\widehat{BAD} = 180{^\circ} - 60{^\circ} = 120{^\circ}$

Suy ra $\widehat{ABC} = \widehat{BAD} = 120{^\circ}$ (tính chất của hình thang cân)

b)

Xét tứ giác $ABCE$ ta có:

$AB \parallel EC$ ($E \in CD, AB \parallel CD$)

$AE \parallel BC$ (gt)
Do đó, tứ giác $ABCE$ là hình bình hành.

c)

+) Xét hình bình hành $ABCE$ có:

$AC, BE$ là hai đường chéo

$O$ là giao điểm của $AC$ và $BE$

Suy ra $O$ là trung điểm của $AC$ và $BE$

+) Vì $ABCE$ là hình bình hành nên $AE = BC$

Lại có: $AD = BC$ (do $ABCD$ là hình thang cân)

Do đó, $AD = AE = BC$

+) Xét $\Delta ADE$ có:

$AD = AE$

$\widehat{ADE} = 60{^\circ}$

Suy ra $\Delta ADE$ là tam giác đều

Suy ra $AD = AE = DE$

Mà $BF = BC$

Nên $AD = AE = BC = BF = DE$

+) Xét tứ giác $BFED$ có:

$BF = DE$ (cmt)

$BF \parallel DE$ (do $AB \parallel CD, F \in AB, E \in CD$)

Do đó, $BFED$ là hình bình hành

+) Xét hình bình hành $BFED$ có:

$O$ là trung điểm của $BE$

Suy ra $O$ là trung điểm của $FD$

Hay ba điểm $O\,;\,\, D\,;\,\, F$ thẳng hàng.

Biến đổi đẳng thức đã cho thành tổng các bình phương bằng không ${(\ldots)}^{2} + {(\ldots)}^{2} + {(\ldots)}^{2} = 0$

Từ đó suy ra các biểu thức trong bình phương đồng thời bằng $0$ để tìm $x, y$

$A = \left( {x - 2} \right)^{2\, 025} + \left( {2 - y} \right)^{2\, 026}$.

Ta có: $x^{2} + y^{2} = x + y - 1 + xy$

Suy ra $2(x^{2} + y^{2}) = 2(x + y - 1 + xy)$

$2.x^{2} + 2.y^{2} = 2x + 2y - 2 + 2xy$

$2.x^{2} + 2.y^{2} - 2x - 2y + 2 - 2xy = 0$

$(x^{2} - 2x + 1) + (y^{2} - 2y + 1) + (x^{2} - 2xy + y^{2}) = 0$

${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(x - y)}^{2} = 0$

Vì $\left( {x - 1} \right)^{2} \geq 0$; $\left( {y - 1} \right)^{2} \geq 0$; $\left( {x - y} \right)^{2} \geq 0$ với mọi $x, y$

Nên $\left( {x - 1} \right)^{2} + \left( {y - 1} \right)^{2} + \left( {x - y} \right)^{2} \geq 0$

Do đó $\left( {x - 1} \right)^{2} + \left( {y - 1} \right)^{2} + \left( {x - y} \right)^{2} = 0$ khi $x = y = 1$

Khi đó, $A = \left( {1 - 2} \right)^{2\, 025} + \left( {2 - 1} \right)^{2\, 026} = - 1 + 1 = 0$

Vậy $A = 0$