Đề giữa kì 1 Toán 8 năm 2025 – 2026 trường TH&THCS Quang Hanh – Quảng Ninh

Áp dụng hằng đẳng thức lập phương của một tổng và lập phương của một hiệu.

$\left( {- a + b} \right)^{3} = {( - a)}^{3} + 3{( - a)}^{2}b + 3( - a)b^{2} + b^{3} = - a^{3} + 3a^{2}b - 3ab^{2} + b^{3}$

Như vậy đáp D là đẳng thức sai.

Đơn thức là biểu thức đại số chỉ gồm một số, hoặc một biến, hoặc một tích giữa các số và các biến.

Biểu thức $\dfrac{2}{- 5}x^{4}y^{5}$ là đơn thức.

Hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông (có $4$ cạnh đáy) và có $4$ mặt bên là các tam giác cân chung đỉnh (có $4$ cạnh bên). Tổng số cạnh bằng tổng số cạnh đáy và cạnh bên.

Tổng số cạnh bên và cạnh đáy của một hình chóp tứ giác đều là $4 + 4 = 8$

Sử dụng hằng đẳng thức tổng/hiệu hai lập phương:

$(A + B)(A^{2} - AB + B^{2}) = A^{3} + B^{3}$

$(A - B)(A^{2} + AB + B^{2}) = A^{3} - B^{3}$

Ta có: $\left( {x - 2} \right)\left( {x^{2} + 2x + 4} \right) = x^{3} - 2^{3} = x^{3} - 8$

Sử dụng tính chất cơ bản của phân thức đại số

Ta có: $\dfrac{A}{B} = \dfrac{A \cdot M}{B \cdot M}\,\,\left( {B,M \neq 0} \right)$

Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có hệ số khác $0$ và có cùng phần biến.

Cặp đơn thức đồng dạng là $2x^{2}y$ và $- yx^{2}$.

Phần biến của đơn thức thu gọn gồm các thừa số biến kèm theo số mũ của chúng (không kể hệ số và các hằng số $a, b$).

Phần biến trong đơn thức $100ab^{2}x^{2}yz$ là $x^{2}yz$.

Phân thức đại số là biểu thức có dạng $\dfrac{A}{B}$, trong đó $A, B$ là các đa thức và $B \neq 0$.

Biểu thức $\dfrac{2x^{2}y + 54y}{\dfrac{1}{x}}$ có mẫu số là $\dfrac{1}{x}$ không phải là đa thức nên không là phân thức.

Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành tích của những đa thức.

Phép biến đổi đúng là $x^{2} - 3x = x(x - 3)$

Nhận diện hình chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều và các mặt bên là các tam giác cân chung đỉnh.

Quan sát hình vẽ, hình b là hình chóp tam giác đều.

Công thức tính thể tích hình chóp tam giác đều: $V = \dfrac{1}{3} \cdot S \cdot h$ (với $S$ là diện tích đáy, $h$ là chiều cao).

Áp dụng công thức ta có $V = \dfrac{1}{3} \cdot S \cdot h$

Trung đoạn của hình chóp tứ giác đều là chiều cao của mặt bên kẻ từ đỉnh của hình chóp xuống cạnh đáy.

Đoạn SA là đường cao của mặt bên tương ứng với cạnh đáy PQ, nên SA là trung đoạn.

a) Chia đơn thức cho đơn thức: Chia hệ số cho hệ số, lấy số mũ của từng biến ở bị chia trừ đi số mũ của biến đó ở số chia.

b) Nhân đơn thức với đa thức, thu gọn các hạng tử đồng dạng.

c) Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương kết hợp nhân đơn thức với đa thức để rút gọn.

a) $( - 15x^{3}y^{5}z^{2}):\left( {5x^{3}yz} \right) = - 3y^{4}z$

b) $3x\left( {x - y} \right) - y\left( {y - 3x} \right)$

$\begin{array}{l}=3x^2-3xy-y^2+3xy\\ =3x^2-y^2\end{array}$$\begin{array}{l} {= 3x^{2} - 3xy - y^{2} + 3xy} \\ {= 3x^{2} - y^{2}} \end{array}$

c) $\left( {2x + 1} \right)\left( {2x - 1} \right) - 3x\left( {x + 2} \right) + 6x + 6$

$\begin{array}{l}=4x^2-1-3x^2-6x+6x+6\\ =x^2+5\end{array}$$\begin{array}{l} {= 4x^{2} - 1 - 3x^{2} - 6x + 6x + 6} \\ {= x^{2} + 5} \end{array}$

a) Điều kiện xác định (ĐKXĐ): Các mẫu thức trong biểu thức phải khác $0$.

b) Quy đồng mẫu thức các phân thức, thực hiện phép cộng và rút gọn tử thức để đưa phân thức về dạng tối giản.

c) Thay giá trị của biến thỏa mãn ĐKXĐ vào biểu thức đã rút gọn để tính giá trị.

a) Điều kiện xác định của biểu thức A là $2x - 2 \neq 0;\,\, x^{2} - 1 \neq 0$

Suy ra $x \neq \pm 1$.

b) Với $x \neq \pm 1$, ta có:

$A = \dfrac{x + 1}{2x - 2} + \dfrac{- 2x}{x^{2} - 1}$

$\begin{array}{l}={\displaystyle \frac{x+1}{2(x-1)}}+{\displaystyle \frac{-2x}{(x-1)(x+1)}}\\ ={\displaystyle \frac{{(x+1)}^2}{2(x-1)(x+1)}}+{\displaystyle \frac{-2x.2}{2(x-1)(x+1)}}\\ ={\displaystyle \frac{x^2+2x+1-4x}{2(x-1)(x+1)}}\\ ={\displaystyle \frac{x^2-2x+1}{2(x-1)(x+1)}}\\ ={\displaystyle \frac{{\left(x-1\right)}^2}{2(x-1)(x+1)}}\\ ={\displaystyle \frac{x-1}{2(x+1)}}\end{array}$$\begin{array}{l} {= \dfrac{x + 1}{2(x - 1)} + \dfrac{- 2x}{(x - 1)(x + 1)}} \\ {= \dfrac{{(x + 1)}^{2}}{2(x - 1)(x + 1)} + \dfrac{- 2x.2}{2(x - 1)(x + 1)}} \\ {= \dfrac{x^{2} + 2x + 1 - 4x}{2(x - 1)(x + 1)}} \\ {= \dfrac{x^{2} - 2x + 1}{2(x - 1)(x + 1)}} \\ {= \dfrac{\left( {x - 1} \right)^{2}}{2(x - 1)(x + 1)}} \\ {= \dfrac{x - 1}{2(x + 1)}} \end{array}$

c) Thay $x = 2$ (TM ĐKXĐ) vào biểu thức A, ta được:

$A = \dfrac{2 - 1}{2(2 + 1)} = \dfrac{1}{6}$

Vậy $A = \dfrac{1}{6}$ tại $x = 2$.

Sử dụng các phương pháp đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức đáng nhớ và nhóm hạng tử.

a) $6y^{3} + 2y~ = 2y(3y^{2} + 1)$

b) $4x^{2} - 9y^{2} = {(2x)}^{2} - {(3y)}^{2} = (2x - 3y)(2x + 3y)$

c) $x^{3} - 9x + 2x^{2}y + xy^{2}$

$\begin{array}{l}=x(x^2-9+2xy+y^2)\\ =x\left[(x^2+2xy+y^2)-9\right]\\ =x\left[{(x+y)}^2-3^3\right]\\ =x(x+y-3)(x+y+3)\end{array}$$\begin{array}{l} {= x(x^{2} - 9 + 2xy + y^{2})} \\ {= x\left\lbrack {(x^{2} + 2xy + y^{2}) - 9} \right\rbrack} \\ {= x\left\lbrack {{(x + y)}^{2} - 3^{3}} \right\rbrack} \\ {= x(x + y - 3)(x + y + 3)} \end{array}$

a) Nhận diện hình khối dựa vào đặc điểm đáy (hình vuông) và các mặt bên.

b) Diện tích xung quanh hình chóp tứ giác đều: $S_{xq} = p \cdot d$ (với $p$ là nửa chu vi đáy, $d$ là trung đoạn).

c) Thể tích hình chóp đều: $V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{d} \cdot h$ ($h$ là chiều cao hình chóp).

d) Số tiền = Diện tích xung quanh $\times$ đơn giá mỗi mét vuông.

a) Mái che giếng trời của một ngôi nhà có dạng hình chóp tứ giác đều

b) Diện tích xung quanh của mái che là:

$S_{xq} = \dfrac{1}{2}.2,2.4.1,9 = 8,36$ ($m^{2}$)

c) Diện tích đáy mái che là

$2,2.2,2 = 4,84$ ($m^{2}$)

Thể tích không khí ở bên trong mái che là:

$V = \dfrac{1}{3}.4,84\ .1,6~ \approx 2,6$ ($m^{3}$)

d) Tiền công làm mái che là:

$8,36.1 800 000 = 15 408 000$ (đồng)

Biến đổi biểu thức $B$ thành tổng của các bình phương cộng với một hằng số ($B \geq k$), từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất đạt được khi các biểu thức trong bình phương đồng thời bằng $0$.

Ta có: $B = 2x^{2} + y^{2} - 2xy - 8x + 2y + 2035$

$= (x^{2} + y^{2} + 1^{2} - 2xy - 2x + 2y) + (x^{2} - 6x + 9) + 2025$

$= {(x - y - 1)}^{2} + {(x - 3)}^{2} + 2025$

Vì ${(x - y - 1)}^{2} \geq 0$, ${(x - y - 1)}^{2} \geq 0$${(x - 3)}^{2} \geq 0$ với mọi $x, y$

Nên ${(x - y - 1)}^{2} + {(x - 3)}^{2} + 2025 \geq 2025$

Hay $B \geq 2025$

Suy ra $B_{\min} = 2025$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\{\begin{array}{l}x-y-1=0\\ x-3=0\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {x - y - 1 = 0} \\ {x - 3 = 0} \end{array} \right.$

Suy ra $x = 3; y = 2$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức B là 2025, đạt được khi $x = 3; y = 2$