Đề kiểm tra học kì 2 môn Toán lớp 9 Trường THCS Mỹ Đình 2 năm 2024-2025

Cho hai biểu thức $A = \dfrac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 1}$ và $B = \dfrac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x}} + \dfrac{4}{x - 2\sqrt{x}}$ với $x > 0,x \neq 4$

1) Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x = 9$.

2) Chứng minh $B = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2}$.

3) Cho $P = A.B$. Tìm $x$ để $P < \dfrac{3}{4}$.

Cho nửa $(O)$ đường kính $AB = 2R,C$ là điểm bất kì nằm trên nửa đường tròn sao cho $C$ khác $A$ và $AC < CB$. Qua $O$ kẻ đường thẳng vuông góc với $CO$ cắt cung nhỏ $BC$ tại $D$. Gọi $E$ là giao điểm của $AD$ và $BC,F$ là giao điểm của $AC$ và $BD,I$ là trung điểm của $EF$.

a) Chứng minh: $CEDF$ là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh: $FC.FA = FD.FB$ và $IC$ là tiếp tuyến của $(O)$

c) Hỏi khi $C$ thay đổi thỏa mãn điều kiện bài toán, $E$ thuộc đường tròn cố định nào?

Cửa hầm lò khai thác than có dạng một Parabol, khoảng cách từ điểm cao nhất của cửa đến mặt đất là 4 mét, khoảng cách giữa hai chân cửa là 4 mét.

Người ta muốn gia cố cho cửa lò bằng một khung thép hình chữ nhật sao cho hai đỉnh dưới của khung thép chạm đất, hai đinh trên của khung thép chống vào mái hầm (hình vẽ minh họa). Tìm kích thước của khung thép sao cho diện tích của hình chữ nhật tạo bởi khung thép lớn nhất.

Cho phương trình $x^{2} - 12x + 4 = 0$ có hai nghiệm dương phân biệt $x_{1},x_{2}$. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức $T = \dfrac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}{\sqrt{x_{1}} + \sqrt{x_{2}}}$.

Một tổ sản xuất có kế hoạch làm 300 sản phẩm cùng loại trong một số ngày quy định. Thực tế, mỗi ngày tổ đó làm được nhiều hơn 10 sản phẩm so với kế hoạch nên đã hoàn thành công việc sớm hơn kế hoạch một ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày tổ sản xuất phải làm bao nhiêu sản phẩm?

Một hình nón có đường kính đáy $d = 10$ cm và chiều cao 23cm. Tính thể tích khối nón đó. (Lấy $\pi \approx 3,14$ và làm tròn kết quả đến chữ số phần mười).