Đề cuối kì 1 Toán 9 năm 2025 – 2026 trường THCS Nguyễn Văn Trỗi – Tây Ninh

Sử dụng tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép cộng: Khi cộng cùng một số vào hai vế của một bất đẳng thức, ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

Vì $a < b$ nên $a + 2 < b + 2$

Bất phương trình bậc nhất một ẩn là bất phương trình có dạng $ax + b > 0$ (hoặc $< , \geq , \leq$), trong đó $a$ và $b$ là các số đã cho, $a \neq 0$.

$0x - 3 > 0$ không phải vì hệ số $a = 0$.

$2x + 5 > 0$ có dạng $ax + b > 0$ với $a = 2 \neq 0$ nên là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

$x^{2} > 0$ là bất phương trình bậc hai.

$\dfrac{3}{x} + 2 < - 1$ không phải bất phương trình bậc nhất một ẩn vì ẩn nằm ở mẫu.

Căn bậc hai của số thực $a > 0$ là hai số $x$ và $- x$ sao cho $x^{2} = a$

Vì $3^{2} = 9$ và ${( - 3)}^{2} = 9$ nên căn bậc hai của $9$ là $3$ và $- 3$

Căn bậc ba của một số $a$, kí hiệu là $\sqrt[3]{a}$, là số $x$ sao cho $x^{3} = a$. Mỗi số thực $a$ đều có duy nhất một căn bậc ba.

Vì $3^{3} = 27$ nên $\sqrt[3]{27} = 3$.

Căn thức bậc hai $\sqrt{A}$ chỉ có nghĩa (hay xác định) khi $A$ lấy giá trị không âm ($A \geq 0$)

Điều kiện để $\sqrt{A}$ xác định là $A \geq 0$

Căn thức bậc ba $\sqrt[3]{A}$ xác định với mọi biểu thức $A$

Căn thức bậc ba của biểu thức $A$ luôn xác định với mọi $A$

Trong tam giác vuông, tỉ số lượng giác của góc nhọn $\alpha$:

$\sin\alpha =$ Cạnh đối : Cạnh huyền

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $\widehat{B} = \alpha$, ta có:

Cạnh đối của góc $B$ là $AC$

Cạnh huyền là $BC$

Do đó, $\sin\alpha = \dfrac{AC}{BC}$

Áp dụng công thức tỉ số lượng giác góc nhọn trong tam giác vuông.

Theo Hình 1, tam giác vuông có cạnh kề với góc $\alpha$ bằng $3$, cạnh huyền bằng $5$

Do đó, $\cos\alpha = \dfrac{3}{5}$

Sử dụng tính chất đối xứng của đường tròn: Bất kỳ đường thẳng nào đi qua tâm của đường tròn đều là trục đối xứng của đường tròn đó.

Đường tròn có vô số đường thẳng đi qua tâm, do đó đường tròn có vô số trục đối xứng.

Xét vị trí tương đối của hai đường tròn $(O;R)$ và $(O';r)$ dựa vào khoảng cách tâm $d = OO'$:

Nếu $d = R + r$ thì hai đường tròn tiếp xúc ngoài.

Ta có $R = 5\text{~cm}$, $r = 4\text{~cm}$ và khoảng cách tâm $d = OO' = 9\text{~cm}$

Nhận thấy $R + r = 5 + 4 = 9\text{~cm} = OO'$

Vậy hai đường tròn tiếp xúc ngoài

Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn

Góc ở tâm là $\widehat{AOB}$

Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó.

Góc nội tiếp là $\widehat{ACB}$

a) Áp dụng phương trình tích $A \cdot B = 0$ thì $A = 0$ hoặc $B = 0$

b) Sử dụng phương pháp cộng đại số để triệt tiêu ẩn $y$

a) $\left( {x - 4} \right)\left( {6 - 2x} \right) = 0$

$x - 4 = 0$ hoặc $\left( {6 - 2x} \right) = 0$

$x = 4$ hoặc $x = 3$

Vậy phương trình có 2 nghiệm $x = 3$; $x = 4$

b) $\{\begin{array}{l}x+2y=3(1)\\ 2x-2y=3(2)\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {x + 2y = 3\ (1)} \\ {2x - 2y = 3\ (2)} \end{array} \right.$

Cộng từng vế của hai phương trình trên ta được:

$(x + 2y) + (2x - 2y) = 3 + 3$

$x + 2y + 2x - 2y = 6$

$3x = 6$

$x = 2$

Thay $x = 2$ vào phương trình (1) ta được:

$2 + 2y = 3$

$2y = 3 - 2$

$2y = 1$

$y = \dfrac{1}{2}$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $x = 2$; $y = \dfrac{1}{2}$

Sử dụng quy tắc chuyển vế và đổi dấu để đưa về dạng $x > a$.

$2x + 5 > x + 2030$

$2x - x > 2030 - 5$

$x > 2025$

Vậy bất phương trình có nghiệm là $x > 2025$

a) Tính trực tiếp căn bậc hai của các số chính phương $\sqrt{4} = 2$, $\sqrt{25} = 5$, $\sqrt{16} = 4$

b) Căn thức $\sqrt{A}$ xác định khi $A \geq 0$

a) Ta có: $H = 3\sqrt{4} + 2\sqrt{25} - \sqrt{16} = 3.2 + 2.5 - 4 = 6 + 10 - 4 = 12$

Vậy $H = 12$

b) Để $\sqrt{7x - 28}$ xác định thì $7x - 28 \geq 0$

$7x \geq 28$

$x \geq 4$

Vậy $x \geq 4$ thì biểu thức đã cho xác định.

+) Phân tích tử và mẫu thành nhân tử để rút gọn từng phân thức trong ngoặc

+) Thực hiện phép trừ trong ngoặc rồi chia hai phân thức (nhân đảo ngược)

Với $x > 0; x \neq 1$ ta có:

$P = \left( {\dfrac{x + \sqrt{x}}{x - 1} - \dfrac{x - 2\sqrt{x}}{x - \sqrt{x}}} \right):\dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} = \left( {\dfrac{\sqrt{x}\left( {\sqrt{x} + 1} \right)}{\left( {\sqrt{x} + 1} \right)\left( {\sqrt{x} - 1} \right)} - \dfrac{\sqrt{x}\left( {\sqrt{x} - 2} \right)}{\sqrt{x}\left( {\sqrt{x} - 1} \right)}} \right):\dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$

$= \left( {\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} - \dfrac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 1}} \right) \cdot \dfrac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1}$

$= \dfrac{2}{\sqrt{x} - 1}.\dfrac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1} = \dfrac{2}{\sqrt{x} + 1}$

Vậy $P = \dfrac{2}{\sqrt{x} + 1}$ với $x > 0; x \neq 1$

Mô hình hóa bài toán thành tam giác vuông, sau đó áp dụng tỉ số lượng giác.

Gọi $h$ là chiều cao tòa tháp (m)

Khi đó, bóng tòa tháp và tia nắng tạo thành một tam giác vuông có cạnh kề bằng $15\text{~m}$ và góc nhọn bằng $55^{{^\circ}}$

Chiều cao của tòa tháp là:

Ta có $h = 15.\tan 55{^\circ} \approx 21,42$ m

Vậy chiều cao của tòa tháp khoảng $21,42$ m

+) Số đo của góc ở tâm bằng số đo của cung bị chắn

+) Số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn

$\widehat{AOB}$ là góc ở tâm chắn cung AmB nên $\widehat{AOB} =$ sđ $\overset{\frown}{AmB} = 120^{o}$

$\widehat{ACB}$ là góc nội tiếp chắn cung AmB nên $\widehat{ACB} = \dfrac{1}{2}$ sđ $\overset{\frown}{AmB} = 60{^\circ}$

Lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng cách đặt ẩn là giá trị cần tìm, lập mối liên hệ về chênh lệch giá và tổng số tiền thanh toán.

Gọi $x, y$ lần lượt là giá vé cáp treo khứ hồi và 1 lượt (điều kiện: $x > y > 0$)

Do giá vé 1 lượt rẻ hơn giá vé khứ hồi 110 000 đồng nên ta có phương trình: $x - y = 110\, 000$ (1)

Số người đi vé khứ hồi là $35;$ số người đi vé 1 lượt là $5$

Vì tổng số tiền cả đoàn mua vé là 9 450 000 đồng nên ta có phương trình:$35x + 5y = 9\, 450\, 000$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\{\begin{array}{l}x-y=110000\\ 35x+5y=9450000\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {x - y = 110\, 000} \\ {35x + 5y = 9\, 450\, 000} \end{array} \right.$

$\{\begin{array}{l}5x-5y=550000\\ 35x+5y=9450000\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {5x - 5y = 550000} \\ {35x + 5y = 9450000} \end{array} \right.$

Cộng từng vế của hai phương trình trên ta được:

$(5x - 5y) + (35x + 5y) = 550000 + 9450000$

$40x = 10000000$

$x = 250000$ (TM)

Suy ra $y = 140000$ (TM)

Vậy giá vé khứ hồi là $250\, 000$ đồng, giá vé 1 lượt là $140\, 000$ đồng.