Đề kiểm tra cuối học kỳ 1 Toán 9 năm 2025 – 2026 sở GD&ĐT Bắc Ninh

Áp dụng hằng đẳng thức $\left. \sqrt{A^{2}} = \middle| A \right|$

$xy\sqrt{\dfrac{4}{x^{2}y^{2}}} = xy \cdot \left| \dfrac{2}{xy} \right| = xy \cdot \dfrac{2}{xy} = 2$(vì $xy > 0$)

Biểu thức $\sqrt{A}$ xác định khi và chỉ khi $A \geq 0$.

Biểu thức $\sqrt{1 - 2x}$ xác định khi

$\begin{array}{l}1-2x\ge 0\\ 2x\le 1\\ x\le {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$\begin{array}{l} {1 - 2x \geq 0} \\ {2x \leq 1} \\ {x \leq \dfrac{1}{2}} \end{array}$.

Thay $(x;y) = ( - 1;2)$ vào hệ phương trình để tìm $a$ và $b$, từ đó tính giá trị biểu thức $2a + b$

Thay $x = - 1,y = 2$ vào hệ:

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {a( - 1) - b.2 = - 2} \\ {a( - 1) + b.2 = 10} \end{array} \right. \\$$\left\{ \begin{array}{l} {- a - 2b = - 2} \\ {- a + 2b = 10} \end{array} \right.$ \end{array}

Cộng hai phương trình vế theo vế ta được:

$( - a - 2b) + ( - a + 2b) = - 2 + 10$

$\begin{array}{l}-2a=8\\ a=-4\end{array}$$\begin{array}{l} {- 2a = 8} \\ {a = - 4} \end{array}$

Thay $a = - 4$ vào phương trình thứ hai, ta được:

$\begin{array}{l}-(-4)+2b=10\\ 2b=6\\ b=3\end{array}$$\begin{array}{l} {- ( - 4) + 2b = 10} \\ {2b = 6} \\ {b = 3} \end{array}$

Khi đó: $2a + b = 2( - 4) + 3 = - 8 + 3 = - 5$

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.

+) Xét $\Delta MNQ$ vuông tại $Q$ ta có:

$\cot N = \dfrac{NQ}{MQ}$ (Tỉ số lượng giác)

+) Xét $\Delta MPQ$ vuông tại $Q$ ta có:

$\cot P = \dfrac{PQ}{MQ}$ (Tỉ số lượng giác)

Do đó, $\dfrac{\cot P}{\cot N} = \dfrac{\dfrac{PQ}{MQ}}{\dfrac{NQ}{MQ}} = \dfrac{PQ}{NQ} = \dfrac{6}{3} = 2$

Trục căn thức ở mẫu bằng cách nhân cả tử và mẫu với $(\sqrt{3} - 2)$.

$M = \dfrac{\sqrt{3} - 2}{\sqrt{3} + 2} = \dfrac{{(\sqrt{3} - 2)}^{2}}{(\sqrt{3} + 2)(\sqrt{3} - 2)} = \dfrac{3 - 4\sqrt{3} + 4}{3 - 4} = \dfrac{7 - 4\sqrt{3}}{- 1} = - 7 + 4\sqrt{3}$

Suy ra $a = 4,b = - 7$

Do đó: $a - b = 4 - ( - 7) = 11$

Áp dụng $\left. \sqrt{A^{2}} = \middle| A \right|$. Nếu $a \leq 0$ thì $\left| a \middle| = - a \right.$

$\left. \sqrt{49a^{2}} + 3a = \sqrt{{(7a)}^{2}} + 3a = \middle| 7a \middle| + 3a = - 7a + 3a = - 4a \right.$ (vì $a \leq 0$)

Chuyển vế đổi dấu và chia hai vế cho số dương.

$\begin{array}{l}2x-2>2\\ 2x>4\\ x>2\end{array}$$\begin{array}{l} {2x - 2 > 2} \\ {2x > 4} \\ {x > 2} \end{array}$

Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {x - 2y = 4} \\ {4x + 3y = 5} \end{array} \right. \\$$\left\{ \begin{array}{l} {x = 2y + 4} \\ {4(2y + 4) + 3y = 5} \end{array} \right.$ \\ $\left\{ \begin{array}{l} {x = 2y + 4} \\ {11y = - 11} \end{array} \right.$ \\ $\left\{ \begin{array}{l} {y = - 1} \\ {x = 2( - 1) + 4 = 2} \end{array} \right.$ \end{array}

Hệ có nghiệm $(x;y) = (2; - 1)$

So sánh khoảng cách nối tâm $OO'$ với hiệu và tổng bán kính $R - r$ và $R + r$.

Ta có $R = 15\text{~cm},r = 9\text{~cm},OO' = 10\text{~cm}$

Nhận thấy: $R - r = 15 - 9 = 6\text{~cm}$ và $R + r = 15 + 9 = 24\text{~cm}$

Vì $6 < 10 < 24$ hay $R - r < OO' < R + r$ nên hai đường tròn cắt nhau

Áp dụng tính chất của bất đẳng thức: Nếu $a > b$ thì $a + c > b + c$ với mọi $c$.

Theo đề bài: $a \geq 10$ (do $a$ là số tự nhiên có 2 chữ số) và $b = 9$ (do $b$ là số tự nhiên lớn nhất có 1 chữ số)

Vì $a \geq 10$ và $b = 9$ nên $a > b$.

Cộng 3 vào cả hai vế ta được: $a + 3 > b + 3$

Căn bậc hai số học của số $a \geq 0$ không âm là $\sqrt{a}$.

Căn bậc hai số học của số $a \geq 0$ không âm là $\sqrt{a}$.

Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax + by = c$ với $a,b$ không đồng thời bằng $0$.

Phương trình $2x - 3y = 4$ có dạng $ax + by = c$ với $a = 2,b = - 3,c = 4$

Áp dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.

Xét tam giác $DEF$ vuông tại $D$, ta có $\cos F = \dfrac{DF}{EF}$

Điểm $M$ thuộc đường tròn $(I;R)$ khi và chỉ khi khoảng cách $IM = R$

Điểm $M$ thuộc đường tròn tâm $I$ bán kính $5\text{~cm}$ khi $IM = d = 5\text{~cm}$

Với hai số không âm $a,b \geq 0$, ta có khai phương một tích: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$

Khẳng định đúng là $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ với $a,b \geq 0$

- Sử dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông để tính đoạn ngọn cây bị gãy và phần thân còn đứng.

- Chiều cao ban đầu của cây bằng tổng hai đoạn trên.

Gọi phần thân cây còn đứng là $h_{1}$, phần bị gãy gập là $h_{2}$

Tam giác vuông tạo bởi thân cây, ngọn cây và mặt đất.

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông ta có:

$\left. \tan 45^{{^\circ}} = \dfrac{h_{1}}{4,5}\Rightarrow h_{1} = 4,5 \cdot \tan 45^{{^\circ}} = 4,5\text{~m} \right.$

$\left. \cos 45^{{^\circ}} = \dfrac{4,5}{h_{2}}\Rightarrow h_{2} = \dfrac{4,5}{\cos 45^{{^\circ}}} \approx 6,36\text{~m} \right.$

Chiều cao ban đầu của cây là: $h_{1} + h_{2} = 4,5 + 6,36 = 10,86 \approx 10,9\text{~m}$.

a) Phương trình tích $\left. A \cdot B = 0\Leftrightarrow A = 0 \right.$ hoặc $B = 0$

b) Chuyển vế đổi dấu, chia hai vế cho $- 12$ (chú ý đổi chiều bất đẳng thức)

c) Quy đồng mẫu thức với mẫu thức chung là $x - 4 = (\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)$

a) $\left( {x\, + \, 1} \right)\left( {2\, - \, x} \right)\, = \, 0$

$x\, + \, 1 = 0$ hoặc $2 - x = 0$

TH1: $x\, + \, 1 = 0$ hay $x\, = - 1$

TH2: $2 - x = 0$ hay $x\, = 2$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x\, = 2$ và $x\, = - 1$.

b) $24 - 12x \leq 2025$

$\begin{array}{l}-12x\le 2001\\ x\ge -{\displaystyle \frac{667}{4}}\end{array}$$\begin{array}{l} {- 12x \leq 2001} \\ {x \geq - \dfrac{667}{4}} \end{array}$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x \geq - \dfrac{667}{4}$

c) Với $x \geq 0,x \neq 4$,

$\begin{array}{l}A={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}-2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}}-{\displaystyle \frac{x}{x-4}}\\ ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}-2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}}-{\displaystyle \frac{x}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}}\\ ={\displaystyle \frac{\sqrt{x}+2+\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)-x}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}}\end{array}$$\begin{array}{l} {A = \dfrac{1}{\sqrt{x} - 2} + \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} - \dfrac{x}{x - 4}} \\ {= \dfrac{1}{\sqrt{x} - 2} + \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} - \dfrac{x}{\left( {\sqrt{x} - 2} \right)\left( {\sqrt{x} + 2} \right)}} \\ {= \dfrac{\sqrt{x} + 2 + \sqrt{x}\left( {\sqrt{x} - 2} \right) - x}{\left( {\sqrt{x} - 2} \right)\left( {\sqrt{x} + 2} \right)}} \end{array}$

$= \dfrac{\sqrt{x} + 2 + x - 2\sqrt{x} - x}{\left( {\sqrt{x} - 2} \right)\left( {\sqrt{x} + 2} \right)}$

$= \dfrac{2 - \sqrt{x}}{\left( {\sqrt{x} - 2} \right)\left( {\sqrt{x} + 2} \right)}$

$= \dfrac{- 1}{\sqrt{x} + 2}$

Vậy với $x \geq 0,x \neq 4$ thì $A = - \dfrac{1}{\sqrt{x} + 2}$.

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Gọi $x$ là số học sinh làm bài kiểm tra bằng $2$ tờ giấy,

$y$ là số học sinh làm bài kiểm tra bằng $1$ tờ giấy. $\left( {x,y \in {\mathbb{N}}^{*},\,\, x,y < 24} \right)$

Do phòng kiểm tra có $24$ học sinh nên ta có phương trình: $x + y = 24\,\,(1)$

Do mỗi bạn dùng một hoặc hai tờ giấy kiểm tra để làm bài và có tất cả $40$ tờ nên ta có phương trình: $2x + y = 40\,\,(2)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}x+y=24\\ 2x+y=40\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {x + y = 24} \\ {2x + y = 40} \end{array} \right.$ hay $\{\begin{array}{l}x=16\\ y=8\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {x = 16} \\ {y = 8} \end{array} \right.$ (thỏa mãn)

Vậy có $16$ học sinh làm bài kiểm tra bằng hai tờ giấy

a) Chứng minh các góc $\widehat{MAO} = \widehat{MCO} = 90^{{^\circ}}$, từ đó $A$ và $C$ cùng thuộc đường tròn đường kính $MO$.

b) Chứng minh $\Delta COF = \Delta DOF$ để suy ra $\widehat{ODF} = \widehat{OCF} = 90^{{^\circ}}$.

c) Kéo dài $CB$ cắt $AM$ tại $K$, dùng định lý Thales chứng minh $M$ là trung điểm của $AK$, từ đó suy ra $I$ là trung điểm $CH$

a) Xét $(O)$ có: $MA$ và $MC$ là hai tiếp tuyến tại $A$ và $C$ của $(O)$

suy ra \(OA\bot AM,\mspace{6mu} OC\bot CM\) nên $\widehat{MAO} = \widehat{MCO} = 90{^\circ}$

Gọi $E$ là trung điểm của $MO$.

Xét $\Delta MAO$ vuông tại $A$ có $AE$ là đường trung tuyến nên $AE = \dfrac{MO}{2} = EM = EO$

Do đó ba điểm \(M,\mspace{6mu} A,\mspace{6mu} O\) cùng thuộc đường tròn đường kính $OM$

Tương tự ba điểm \(M,\mspace{6mu} C,\mspace{6mu} O\) cùng thuộc đường tròn đường kính $OM$

Vậy bốn điểm \(M,\mspace{6mu} A,\mspace{6mu} O,\mspace{6mu} C\) cùng thuộc đường tròn đường kính $OM$

b) Xét $\Delta OCD$ có: $OC = OD = R$ nên $\Delta OCD$ cân tại $O$.

Mà $OH$ là đường cao nên $OH$ là đường phân giác của $\Delta OCD$

Do đó $\widehat{COF} = \widehat{DOF}$.

minh được $\Delta COF = \Delta DOF$ (c.g.c)

Suy ra $\widehat{OCF} = \widehat{ODF}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat{OCF} = 90{^\circ}$ (do $OC\bot MF$) nên $\widehat{ODF} = 90{^\circ}$ $\left. \Rightarrow OD\bot DF \right.$ tại $D$.

Xét $(O)$ có: $OD\bot DF$ tại $D \in (O)$ nên $DF$ là tiếp tuyến của \(\left( {O;\mspace{6mu} R} \right)\) tại $D$.

c)

Gọi $K$ là giao điểm của $CB$ và $AM$.

Ta có $\widehat{ACB} = 90^{{^\circ}}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Hay $AC\bot BK$.

Lại có $OM\bot AC$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

$OM//BK$ (quan hệ từ vuông góc tới song song)

Xét $\Delta AKB$ có $O$ là trung điểm của $AB$ và $OM//BK$

$M$ là trung điểm của $AK$, tức là $MA = MK$

Gọi $I$ là giao điểm của $BM$ và $CH$

Ta có $AM\text{//}CH$ (cùng vuông góc với $AB$) hay $IH\text{//}AM$ nên $\dfrac{IH}{AM} = \dfrac{BI}{BM}$ (định lý Thales).

Lại có $IC\text{//}MK$ nên $\dfrac{IC}{MK} = \dfrac{BI}{BM}$ (định lý Thales)

Do đó $\dfrac{IC}{MK} = \dfrac{IH}{AM}$.

Mà $MK = AM$ nên $IC = IH$ hay $I$ là trung điểm của $CH$.

Xét tam giác $AKB$ có $O$ là trung điểm của $AB$ và $OM\text{//}BK$ nên $M$ là trung điểm của $AK$. Do đó $MK = AM$

Lập biểu thức biểu diễn tổng doanh thu $A(x)$, biến đổi về dạng $A(x) = M - k{(x - x_{0})}^{2} \leq M$ hoặc sử dụng bất đẳng thức AM-GM để tìm giá trị lớn nhất.

Gọi số lần giảm giá mà mỗi lần giảm thêm $3$ nghìn đồng là $x$ (lần) ($x \in N^{*}$)

Giá tiền $1\, kg$ cam sau $x$ lần giảm giá là $\left( {45 - 3x} \right)$ (nghìn đồng)

Số cam đã bán sau $x$ lần giảm giá là $11 + x$ (tấn) hay $\left( {11 + x} \right).1000$ (kg)

Tổng số tiền thu được: $A = 1000\left( {45 - 3x} \right)\left( {11 + x} \right)$(nghìn đồng)

Để có doanh thu lớn nhất thì $A$ đạt giá trị lớn nhất

$A = 1000.\left( {45 - 3x} \right)\left( {11 + x} \right) = 3000.\left( {15 - x} \right)\left( {11 + x} \right)$

$= - 3000.(x^{2} - 4x + 4) + 507000 = - 3000\left( {x - 2} \right)^{2} + 507000$

Ta có:

$\begin{array}{l}-3000{\left(x-2\right)}^2\le 0\\ -3000{\left(x-2\right)}^2+507000\le 507000\\ A\le 507000\end{array}$$\begin{array}{l} {- 3000\left( {x - 2} \right)^{2} \leq 0} \\ {- 3000\left( {x - 2} \right)^{2} + 507000 \leq 507000} \\ {A \leq 507000} \end{array}$

$A$ đạt giá trị lớn nhất khi $x = 2$.

Vậy mức giá mới cho một kg cam là $45 - 2.3 = 39$ (nghìn đồng) thì hợp tác xã sẽ đạt doanh thu lớn nhất.

Cách khác: $A = 1000\left( {45 - 3x} \right)\left( {11 + x} \right) = 3000\left( {15 - x} \right)\left( {11 + x} \right)$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có

$\left( {\text{15-}x} \right)\left( {11 + x} \right) \leq \dfrac{\left( {\text{15} - x + 11 + x} \right)^{2}}{4} = 169$

Nên $A \leq 507000$

$A$ đạt giá trị lớn nhất khi $15 - x = 11 + x$ hay $x = 2$.

Vậy mức giá mới cho một kg cam là $45 - 2.3 = 39$ (nghìn đồng) thì hợp tác xã sẽ đạt doanh thu lớn nhất.