Đề học kỳ 1 Toán 9 năm 2025 – 2026 trường THCS Nghĩa An – Nghệ An

Biểu thức $\sqrt{A}$ xác định (có nghĩa) khi và chỉ khi $A \geq 0$.

Biểu thức $\sqrt{x - 2}$ xác định khi và chỉ khi:

$\begin{array}{l}x-2\ge 0\\ x\ge 2\end{array}$$\begin{array}{l} {x - 2 \geq 0} \\ {x \geq 2} \end{array}$

Trong tam giác vuông, tỉ số lượng giác $\cos$ của một góc nhọn bằng tỉ số cạnh kề trên cạnh huyền.

$\cos\alpha = \dfrac{3}{5}$

Phương trình bậc nhất hai ẩn $x$ và $y$ là phương trình có dạng $ax + by = c$, trong đó $a$ và $b$ không đồng thời bằng $0$ ($a^{2} + b^{2} \neq 0$).

Xét đáp án A: $0x - 0y = 4$ có $a = 0$ và $b = 0$ (đồng thời bằng $0$)

Do đó, đây không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn.

Cho hai đường tròn $(O;R)$ và $(O';r)$ với $R > r$

+ Nếu $OO' = R + r$ thì hai đường tròn tiếp xúc ngoài

+ Nếu $OO' = R - r$ thì hai đường tròn tiếp xúc trong

+ Nếu $R - r < OO' < R + r$ thì hai đường tròn cắt nhau

Ta có $R = 4\text{~cm}$, $r = 3\text{~cm}$, khoảng cách tâm $OO' = 7\text{~cm}$

Nhận thấy $R + r = 4 + 3 = 7 = OO'$

Vậy hai đường tròn tiếp xúc ngoài

Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

Đường thẳng $AB$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $B$, với $OB$ là bán kính đi qua tiếp điểm $B$

Do đó, $AB\bot OB$.

Sử dụng phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp thế để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}2x+y=5(1)\\ 3x-y=5(2)\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {2x + y = 5\quad(1)} \\ {3x - y = 5\quad(2)} \end{array} \right.$

Cộng từng vế của $(1)$ và $(2)$ ta được:

$5x = 10$

$x = 2$

Thế $x = 2$ vào phương trình $(1)$, ta được:

$\begin{array}{l}2.2+y=5\\ 4+y=5\\ y=1\end{array}$$\begin{array}{l} {2.2 + y = 5} \\ {4 + y = 5} \\ {y = 1} \end{array}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm là $(x;y) = (2;1)$

Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương $x - 1 = (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)$ với $x \geq 0$ để rút gọn biểu thức.

Với $x \geq 0,x \neq 1$, ta có:

$\dfrac{\sqrt{x} - 1}{x - 1} = \dfrac{\sqrt{x} - 1}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} = \dfrac{1}{\sqrt{x} + 1}$

Khái niệm căn bậc hai số học: với $a \geq 0$, $\sqrt{a^{2}} = a$.

$\sqrt{64} - \sqrt{16} = \sqrt{8^{2}} - \sqrt{4^{2}} = 8 - 4 = 4$

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông

Gọi độ cao của máy bay so với mặt đất theo phương thẳng đứng là $BC = h$ ($\text{km}$).

Khi đó, quãng đường máy bay bay được là $AB = 10$ (km)

Đường bay lên tạo với phương nằm ngang là $\widehat{BAC} = 20^{{^\circ}}$

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $C$ có:

$\sin\widehat{BAC} = \dfrac{BC}{AB}$ (Tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông)

Hay $\sin 20{^\circ} = \dfrac{h}{10}$

Suy ra $h = 10 \cdot \sin 20{^\circ} \approx 3,4\text{~km}$

Vậy máy bay cách mặt đất khoảng 3,4 km theo phương thẳng đứng

Một vòng tròn đồng hồ tương ứng với $360^{{^\circ}}$ và chia làm 12 khoảng giờ bằng nhau. Mỗi khoảng giờ tương ứng với góc ở tâm là $\dfrac{360^{{^\circ}}}{12} = 30^{{^\circ}}$.

Số đo góc ở tâm tạo bởi hai kim là:

$2.30^{{^\circ}} = 60^{{^\circ}}$

Biểu thức $\dfrac{A}{B}$ xác định khi $B \neq 0$ và căn thức $\sqrt{x}$ xác định khi $x \geq 0$

Phân tích tử thức $x - 4 = (\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)$ để rút gọn $A$

Thay $x$ vào biểu thức đã rút gọn hoặc cho $A = 2$ để giải tìm $x$

a) $A = \dfrac{x - 4}{\sqrt{x} - 2}$ xác định khi

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {x \geq 0} \\ {\sqrt{x} - 2 \neq 0} \end{array} \right. \\$$\left\{ \begin{array}{l} {x \geq 0} \\ {x \neq 4} \end{array} \right.$ \end{array}

$\Rightarrow$ Đúng

b) Với $x \geq 0,x \neq 4$, ta có:

$A = \dfrac{x - 4}{\sqrt{x} - 2} = \dfrac{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)}{\sqrt{x} - 2} = \sqrt{x} + 2$

$\Rightarrow$ Đúng

c) Thay $x = 9$ (thỏa mãn ĐKXĐ) vào biểu thức $A = \sqrt{x} + 2$ ta được:

$A = \sqrt{9} + 2 = 3 + 2 = 5 \neq 11$

$\Rightarrow$ Sai

d) Để $A = 2$:

$\begin{array}{l}\sqrt{x}+2=2\\ \sqrt{x}=0\end{array}$$\begin{array}{l} {\sqrt{x} + 2 = 2} \\ {\sqrt{x} = 0} \end{array}$

$x = 0$ (TM)

$\Rightarrow$ Đúng

Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu.

Điều kiện: $x \neq \pm 1$

$\dfrac{1}{x + 1} + \dfrac{1}{x - 1} = \dfrac{x}{x^{2} - 1}$

$\dfrac{(x - 1) + (x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \dfrac{x}{(x - 1)(x + 1)}$

$x - 1 + x + 1 = x$

$2x = x$

$x = 0$ (TM ĐKXĐ)

a) Áp dụng quy tắc đưa thừa số ra ngoài dấu căn: $\left. \sqrt{a^{2}b} = \middle| a \middle| \sqrt{b} \right.$

b) Quy đồng mẫu thức trong ngoặc rồi thực hiện phép tính nhân, rút gọn tử và mẫu

c) Áp dụng các quy tắc biến đổi tương đương bất phương trình bậc nhất một ẩn

a) $3\sqrt{2} + \sqrt{8} - \sqrt{18} = 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

b) Với $x > 0,x \neq 1$, ta có:

$\begin{array}{l}P=\left({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}-1}}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}+1}}\right)\mathrm{.}{\displaystyle \frac{x-1}{\sqrt{x}}}\\ ={\displaystyle \frac{\sqrt{x}+1+\sqrt{x}-1}{x-1}}\mathrm{.}{\displaystyle \frac{x-1}{\sqrt{x}}}\\ ={\displaystyle \frac{2\sqrt{x}}{x-1}}\mathrm{.}{\displaystyle \frac{x-1}{\sqrt{x}}}=2\end{array}$$\begin{array}{l} {P = \left( {\dfrac{1}{\sqrt{x} - 1} + \dfrac{1}{\sqrt{x} + 1}} \right).\dfrac{x - 1}{\sqrt{x}}} \\ {= \dfrac{\sqrt{x} + 1 + \sqrt{x} - 1}{x - 1}.\dfrac{x - 1}{\sqrt{x}}} \\ {= \dfrac{2\sqrt{x}}{x - 1}.\dfrac{x - 1}{\sqrt{x}} = 2} \end{array}$

Vậy $P = 2$

c) $2x + 5 \leq 3$

$2x \leq 3 - 5$

$2x \leq - 2$

$x \leq - 1$

- Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn.

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

- Lập hệ phương trình và giải hệ phương trình.

- Đối chiếu điều kiện và kết luận.

Gọi $x$ là số cuốn sách lớp 9A ủng hộ (cuốn)

Gọi $y$ là số cuốn sách lớp 9B ủng hộ (cuốn)

(ĐK: $x,y \in {\mathbb{N}}^{*}$)

Vì hai lớp ủng hộ 250 cuốn sách nên ta có phương trình:

$x + y = 250$ (1)

Vì lớp 9A ủng hộ nhiều hơn 9B 30 cuốn sách nên ta có phương trình:

$x - y = 30$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}x+y=250\\ x-y=30\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {x + y = 250} \\ {x - y = 30} \end{array} \right.$

Cộng từng vế của hai phương trình ta được:

$(x + y) + (x - y) = 250 + 30$

$2x = 280$

$x = 140$ (TM)

Suy ra $y = 110$ (TM)

Vậy lớp 9A ủng hộ 140 cuốn sách, 9B ủng hộ 110 cuốn sách.

a) Sử dụng tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ($AB = AC$) và tính chất đường trung trực.

b) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ($AB^{2} = AH \cdot AO$) và chứng minh hai tam giác đồng dạng ($\left. \Delta ABD \right.\sim\Delta AKB$) để suy ra đẳng thức cạnh.

a) Xét đường tròn $(O)$ có $AB,AC$ là hai đường tiếp tuyến

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: $AB = AC$

Suy ra $A$ thuộc đường trung trực của $BC$

Lại có $OB = OC = R$

nên $O$ thuộc đường trung trực của $BC$

Do đó, $AO$ là đường trung trực đoạn $BC$

Suy ra $AO$ vuông góc với $BC$

b) Xét tam giác $ABO$ và $AHB$ có

$\widehat{ABO} = \widehat{BHA} = 90^{0}$

$\widehat{BAO}$ chung

Do đó, $\Delta ABO \backsim \Delta AHB$ (g.g)

Suy ra $\dfrac{AB}{AH} = \dfrac{AO}{AB}$ (Hai cạnh tương ứng)

Hay $AH.AO = AB^{2}$ (1)

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta AKB$ ta có:

$\widehat{BAD}$ chung

$\widehat{ABD} = \widehat{AKB} = 90{^\circ}$

Do đó, $\Delta ABD \backsim \Delta AKB$ (g.g)

Suy ra $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AK}{AB}$ (hai cạnh tương ứng)

Hay $AD.AK = AB^{2}$ (2)

Từ (1) (2) suy ra $AH.AO = AD.AK$

- Biểu diễn tổng chi phí sản xuất $B$ theo biến $x$ (số lượng máy sử dụng)

- Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương $a + b \geq 2\sqrt{ab}$ để tìm giá trị nhỏ nhất của $B$

- Tìm điều kiện xảy ra dấu "=" để xác định $x$

Gọi số máy móc công ty nên sử dụng là $x$ (máy, $x \in {\mathbb{N}}^{*}$)

Trong một giờ, số quả bóng tennis sản xuất được là $30x$ (quả bóng)

Như vậy, số giờ để sản xuất $8000$ quả bóng là $\dfrac{8000}{30x}$ (giờ)

Mỗi giờ phải trả $192$ nghìn đồng cho người giám sát và chi phí thiết lập cho mỗi máy là $200$ nghìn đồng nên chi phí sản xuất là

$B = 200000x + \dfrac{8000}{30x}.192000 = 200000x + \dfrac{51200000}{x}$ (đồng)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương $200000x$ và $\dfrac{51200000}{x}$, ta được :

$200000x + \dfrac{51200000}{x} \geq 2\sqrt{200000x.\dfrac{51200000}{x}} = 6400000$.

Dấu "=" xảy ra khi $\left. 200000x = \dfrac{51200000}{x}\Leftrightarrow x^{2} = 256\Leftrightarrow x = 16 \right.$ (nhận) hoặc $x = - 16$ (loại).

Vậy số máy móc công ty nên sử dụng là $16$ máy để chi phí sản xuất là thấp nhất.