Đề cuối học kỳ 1 Toán 9 năm 2025 – 2026 sở GD&ĐT Hưng Yên

Phương trình bậc nhất hai ẩn $x, y$ có dạng $ax + by = c$, trong đó $a, b, c$ là các số đã biết và $a, b$ không đồng thời bằng $0$ ($a^{2} + b^{2} \neq 0$).

Dạng $3x + 2y = 6$ thỏa mãn $a = 3 \neq 0,b = 2 \neq 0$.

Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số hoặc thế để tìm $(x_{0};y_{0})$.

Thay $x_{0},y_{0}$ vào biểu thức $2026y_{0}^{2} - x_{0}$ để tính giá trị.

Ta có: $\{\begin{array}{l}3x+2y=5\\ x-2y=-1\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {3x + 2y = 5} \\ {x - 2y = - 1} \end{array} \right.$

Cộng từng vế của hai phương trình ta được:

$(3x + 2y) + (x - 2y) = 5 + ( - 1)$

$\begin{array}{l}3x+2y+x-2y=4\\ (3x+x)+(2y-2y)=4\\ 4x=4\\ x=1\end{array}$$\begin{array}{l} {3x + 2y + x - 2y = 4} \\ {(3x + x) + (2y - 2y) = 4} \\ {4x = 4} \\ {x = 1} \end{array}$

Thay $x = 1$ vào phương trình thứ hai ta được:

$\begin{array}{l}1-2y=-1\\ -2y=-1-1\\ -2y=-2\\ y=1\end{array}$$\begin{array}{l} {1 - 2y = - 1} \\ {- 2y = - 1 - 1} \\ {- 2y = - 2} \\ {y = 1} \end{array}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x_{0};y_{0}} \right) = (1;1)$.

Khi đó, $2026y_{0}^{2} - x_{0} = 2026.1^{2} - 1 = 2025$

Phân thức $\dfrac{A}{B}$ xác định khi và chỉ khi mẫu thức $B \neq 0$.

Phương trình $\dfrac{1 - 2x}{x} = \dfrac{1}{x - 2}$ có các mẫu thức là $x$ và $x - 2$.

ĐKXĐ: $\left.$$\left\{ \begin{array}{l} {x \neq 0} \\ {x - 2 \neq 0} \end{array} \right.$Leftrightarrow$\left\{ \begin{array}{l} {x \neq 0} \\ {x \neq 2} \end{array} \right.$ \right. (hay $x \neq 2$ và $x \neq 0$).

Diện tích hình quạt tròn bán kính $R$, cung $n^{{^\circ}}$ được tính theo công thức: $S = \dfrac{\pi R^{2}n}{360}$.

Thay $R = 4\text{~cm}$ và $n = 30^{{^\circ}}$ vào công thức: $S = \dfrac{\pi \cdot 4^{2} \cdot 30}{360} = \dfrac{16\pi \cdot 30}{360} = \dfrac{4\pi}{3}\text{~(cm}^{2}\text{)}$.

Cho hai đường tròn $(O;R)$ và $(O';r)$ với $R > r$, khoảng cách tâm $OO' = d$.

+ Tiếp xúc ngoài: $d = R + r$.

+ Tiếp xúc trong: $d = R - r$.

Hai đường tròn tiếp xúc trong khi $d = R - r$.

Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: $MA = MB$, $MO$ là tia phân giác của $\widehat{AMB}$, $\bigtriangleup OAM$ vuông tại $A$.

Sử dụng tỉ số lượng giác $\tan\widehat{AOM} = \dfrac{MA}{OA}$ để tìm góc $\widehat{AOM}$, từ đó suy ra $\widehat{AOB} = 2\widehat{AOM}$.

Xét $\bigtriangleup OAM$ vuông tại $A$ ta có:

$\left. \tan\widehat{AOM} = \dfrac{MA}{OA} = \dfrac{R\sqrt{3}}{R} = \sqrt{3}\Rightarrow\widehat{AOM} = 60^{{^\circ}} \right.$

Vì $OM$ là phân giác của $\widehat{AOB}$ nên $\widehat{AOB} = 2 \cdot \widehat{AOM} = 2 \cdot 60^{{^\circ}} = 120^{{^\circ}}$.

Căn bậc ba của số $a$ là số $x$ sao cho $x^{3} = a$.

Ta có $\left. {( - 5)}^{3} = - 125\Rightarrow\sqrt[3]{- 125} = - 5 \right.$.

Quy đồng mẫu số hai vế với mẫu chung là $6$, khử mẫu và giải bất phương trình bậc nhất một ẩn.

$\dfrac{x + 2}{3} + 3x + 1 > \dfrac{x + 2}{2}$

$\dfrac{2(x + 2) + 6(3x + 1)}{6} > \dfrac{3(x + 2)}{6}$

$2x + 4 + 18x + 6 > 3x + 6$

$20x + 10 > 3x + 6$

$\begin{array}{l}17x>-4\\ x>-{\displaystyle \frac{4}{17}}\end{array}$$\begin{array}{l} {17x > - 4} \\ {x > - \dfrac{4}{17}} \end{array}$.

Xét $\Delta ABH$ và $\Delta CAH$ ta có:

$\widehat{AHB} = \widehat{AHC} = 90{^\circ}$

$\widehat{ABH} = \widehat{CAH}$ (cùng phụ với $\widehat{BAH}$)

Do đó $\Delta ABH \sim \Delta CAH$ (g.g)

Suy ra $\dfrac{AH}{CH} = \dfrac{BH}{AH}$ (hai cạnh tương ứng)

$\begin{array}{l}A{H}^2=HB\cdot HC=3\cdot 12=36\\ AH=\sqrt{36}=6\text{ cm}\end{array}$$\begin{array}{l} {AH^{2} = HB \cdot HC = 3 \cdot 12 = 36} \\ {AH = \sqrt{36} = 6\text{~cm}} \end{array}$

Mặt đồng hồ được chia thành 12 phần bằng nhau, mỗi phần ứng với góc $360^{{^\circ}}:12 = 30^{{^\circ}}$.

Thời điểm 3 giờ, kim phút chỉ số 12, kim giờ chỉ số 3, khoảng cách giữa 2 kim là 3 phần chia.

Số đo góc tạo bởi hai kim là: $3.30{^\circ} = 90{^\circ}$

Cụm từ "đủ 16 tuổi trở lên" biểu diễn dạng bất đẳng thức toán học là $x \geq 16$.

Khẳng định $x < 16$ (chưa đủ 16 tuổi) là khẳng định sai.

Đưa phương trình về dạng tích $A(x) \cdot B(x) = 0$, tìm hai nghiệm $a, b$, sau đó tính $2ab$.

Ta có: ${(2x - 3)}^{2} = 6x - 9$

${(2x - 3)}^{2} - 6x + 9 = 0$

${(2x - 3)}^{2} - 3(2x - 3) = 0$

$(2x - 3)(2x - 3 - 3) = 0$

$(2x - 3)(2x - 6) = 0$

TH1: $2x - 3 = 0$

$2x = 3$

$x = \dfrac{3}{2}$

Suy ra $a = \dfrac{3}{2}$

TH2: $2x - 6 = 0$

$2x = 6$

$x = 3$

Suy ra $b = 3$

Ta có: $2ab = 2.\dfrac{3}{2}.3 = 9$

Giải phương trình tích $\left. A \cdot B = 0\Leftrightarrow A = 0 \right.$ hoặc $B = 0$.

Ta có $\left( {x - 2026} \right)\left( {x + 2025} \right) = 0$

TH1: $x - 2026 = 0$

$x = 2026$

TH2: $x + 2025 = 0$

$x = - 2025$

Trong $\bigtriangleup ABC$ vuông tại $A$, hai góc $B$ và $C$ phụ nhau ($\widehat{B} + \widehat{C} = 90^{{^\circ}}$)

Do đó: $\sin B = \cos C$, $\cos B = \sin C$, $\tan B = \cot C$, $\cot B = \tan C$.

$\sin B = \tan C$ là phát biểu sai (vì $\sin B = \cos C$).

.

Khai phương biểu thức chứa biến dưới căn và trục căn thức ở mẫu: $\sqrt{\dfrac{A}{B}} = \dfrac{\sqrt{AB}}{|B|}$.

Xét khẳng định A với $a < 0$: $\sqrt{\dfrac{4a}{- 3}} = \sqrt{\dfrac{- 4a}{3}} = \dfrac{\sqrt{- 12a}}{3} = \dfrac{2\sqrt{- 3a}}{3}$.

Khẳng định A viết $\dfrac{- 2\sqrt{3a}}{3}$ là sai (vừa sai dấu, vừa chứa $\sqrt{3a}$ với $a < 0$ không xác định).

Áp dụng các tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau.

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau từ $M$ đến $(O)$:

$MA = MB$ (D đúng).

$MO$ là phân giác $\widehat{AMB}$ (C đúng).

$MO\bot AB$ (B đúng).

$MA + MB = 2MA \neq AB$ (A sai).

Sử dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông: $\tan\widehat{ACB} = \dfrac{AB}{BC}$ suy ra $BC = \dfrac{AB}{\tan\widehat{ACB}}$

Tổng chiều cao từ tầm mắt học sinh tới mặt đất là: $AB = 25 + 1,6 = 26,6\text{~m}$

Do góc nghiêng xuống là $38^{{^\circ}}$ nên góc $\widehat{ACB} = 38^{{^\circ}}$ (hai góc so le trong)

Khoảng cách từ xe đến căn nhà là $BC$: $BC = \dfrac{AB}{\tan 38^{{^\circ}}} = \dfrac{26,6}{\tan 38^{{^\circ}}} \approx 34,047\text{~m} \approx 34\text{~m}$

Biến đổi hệ phương trình về dạng chuẩn $ax + by = c$ rồi giải bằng phương pháp cộng đại số.

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {2(x + 2) - 3(y + 1) = 9} \\ {3(x + 1) + 2(y - 1) = 0} \end{array} \right. \\$$\left\{ \begin{array}{l} {2x + 4 - 3y - 3 = 9} \\ {3x + 3 + 2y - 2 = 0} \end{array} \right.$ \\ $\left\{ \begin{array}{l} {2x - 3y = 8} \\ {3x + 2y = - 1} \end{array} \right.$ \end{array}

$\{\begin{array}{l}6x-9y=24\\ 6x+4y=-2\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {6x - 9y = 24} \\ {6x + 4y = - 2} \end{array} \right.$

Trừ từng vế của hai phương trình, ta được:

$(6x - 9y) - (6x + 4y) = 24 - ( - 2)$

$6x - 9y - 6x - 4y = 26$

$\begin{array}{l}-13y=26\\ y=-2\end{array}$$\begin{array}{l} {- 13y = 26} \\ {y = - 2} \end{array}$

Suy ra $x = 1$

Vậy hệ phương trình có nghiệm là $(x;y) = (1; - 2)$

Lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn biểu diễn số tiền gửi tại hai ngân hàng.

Đổi 1 tỉ đồng = 1000 triệu đồng; 1,067 tỉ đồng = 1067 triệu đồng.

Tổng số tiền lãi thu được là $1067 - 1000 = 67$ triệu đồng.

Gọi $x, y$ (triệu đồng) lần lượt là số tiền gửi vào ngân hàng A và B ($0 < x,y < 1000$).

Ta có hệ phương trình:

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {x + y = 1000} \\ {6,5\% x + 7\% y = 67} \end{array} \right. \\$$\left\{ \begin{array}{l} {x + y = 1000} \\ {0,065x + 0,07y = 67} \end{array} \right.$ \end{array}

$\{\begin{array}{l}0,07x+0,07y=70\\ 0,065x+0,07y=67\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {0,07x + 0,07y = 70} \\ {0,065x + 0,07y = 67} \end{array} \right.$

Trừ từng vế của hai phương trình ta được:

$\begin{array}{l}(0,07x+0,07y)-(0,065x+0,07y)=70-67\\ 0,07x+0,07y-0,065x-0,07y=3\\ (0,07x-0,065x)+(0,07y-0,07y)=3\\ 0,005x=3\\ x=600\end{array}$$\begin{array}{l} {(0,07x + 0,07y) - (0,065x + 0,07y) = 70 - 67} \\ {0,07x + 0,07y - 0,065x - 0,07y = 3} \\ {(0,07x - 0,065x) + (0,07y - 0,07y) = 3} \\ {0,005x = 3} \\ {x = 600} \end{array}$

Thay $x = 600$ vào phương trình $x + y = 1000$ ta được:

$\begin{array}{l}600+y=1000\\ y=1000-600\\ y=400\end{array}$$\begin{array}{l} {600 + y = 1000} \\ {y = 1000 - 600} \\ {y = 400} \end{array}$

Ta thấy $x = 600$, $y = 400$ đều thoả mãn điều kiện.

Vậy bác An gửi vào ngân hàng A 600 triệu đồng.

Tìm ĐKXĐ, quy đồng khử mẫu và giải phương trình bậc nhất.

ĐKXĐ: $x \neq 1$ và $x \neq - 2$.

Ta có $\dfrac{1}{x - 1} - \dfrac{2}{x + 2} = 0$

$\dfrac{1}{x - 1} = \dfrac{2}{x + 2}$

$\begin{array}{l}x+2=2(x-1)\\ x+2=2x-2\end{array}$$\begin{array}{l} {x + 2 = 2(x - 1)} \\ {x + 2 = 2x - 2} \end{array}$

$x = 4$ (thỏa mãn ĐKXĐ).

Rút $y$ theo $x$ từ phương trình bậc nhất hai ẩn $ax + by = c$.

Ta có $- 2x + y = 4$.

Suy ra $y = 2x + 4$

Nghiệm tổng quát của phương trình là $(x;2x + 4)$ với $x \in {\mathbb{R}}$ tùy ý

Quy đồng mẫu thức biểu thức chứa căn để rút gọn về dạng phân số tối giản $\dfrac{a}{b}$, từ đó tính $a + b$.

Ta có: $\dfrac{2}{5 - \sqrt{3}} + \dfrac{2}{5 + \sqrt{3}} = \dfrac{2(5 + \sqrt{3}) + 2(5 - \sqrt{3})}{(5 - \sqrt{3})(5 + \sqrt{3})} = \dfrac{10 + 2\sqrt{3} + 10 - 2\sqrt{3}}{25 - 3} = \dfrac{20}{22} = \dfrac{10}{11}$.

Do $\dfrac{10}{11}$ là phân số tối giản nên $a = 10,b = 11$.

Khi đó, $a + b = 10 + 11 = 21$.

Sử dụng các tính chất cơ bản của bất đẳng thức: cộng/trừ hai vế với cùng một số, nhân hai vế với số dương/âm.

Ta có: $a > b$

Suy ra $2a > 2b$ (do $2 > 0$)

Suy ra $2a - 3 > 2b - 3$

Biểu diễn chu vi hình chữ nhật bằng công thức:

Chu vi = 2 x (Chiều dài + Chiều rộng)

Chiều dài mới sau khi tăng 3 lần là $3x$ (m).

Chiều rộng mới sau khi tăng 4 lần là $4y$ (m).

Biểu thức thể hiện chu vi khu vườn sau khi thay đổi là: $2(3x + 4y) = 162$

Áp dụng tính chất đường nối tâm của hai đường tròn bằng nhau và định lý Pythagore trong tam giác vuông.

Gọi $I$ là giao điểm của $OO'$ và $AB$

Suy ra $I$ là trung điểm của cả $OO'$ và $AB$, đồng thời $OO'\bot AB$.

Ta có $OI = \dfrac{OO'}{2} = \dfrac{8}{2} = 4\text{~cm}$.

Xét $\bigtriangleup OIA$ vuông tại $I$, ta có:

$OA^{2} = OI^{2} + IA^{2}$ (Định lý Pythagore)

Suy ra $IA = \sqrt{OA^{2} - OI^{2}} = \sqrt{5^{2} - 4^{2}} = 3\text{~cm}$.

Độ dài dây $AB = 2 \cdot IA = 2 \cdot 3 = 6\text{~cm}$.

Rút gọn biểu thức $A$ và kiểm tra tính đúng/sai của từng phát biểu a, b, c, d.

a) Đúng: ĐKXĐ là $x \geq 0$, $\left. \sqrt{x} - 2 \neq 0\Leftrightarrow x \neq 4 \right.$

b) Sai

Ta có: $A = \dfrac{2}{\sqrt{x} + 1} + \dfrac{1}{\sqrt{x} - 2} - \dfrac{\sqrt{x} - 5}{x - \sqrt{x} - 2}$

$\begin{array}{l}={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{x}+1}}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}-2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{x}-5}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-2)}}\\ ={\displaystyle \frac{2(\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-2)}}+{\displaystyle \frac{1(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-2)}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{x}-5}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-2)}}\end{array}$$\begin{array}{l} {= \dfrac{2}{\sqrt{x} + 1} + \dfrac{1}{\sqrt{x} - 2} - \dfrac{\sqrt{x} - 5}{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 2)}} \\ {= \dfrac{2(\sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 2)} + \dfrac{1(\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 2)} - \dfrac{\sqrt{x} - 5}{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 2)}} \end{array}$

$\begin{array}{l}={\displaystyle \frac{2(\sqrt{x}-2)+1(\sqrt{x}+1)-(\sqrt{x}-5)}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-2)}}\\ ={\displaystyle \frac{2\sqrt{x}-4+\sqrt{x}+1-\sqrt{x}+5}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-2)}}\\ ={\displaystyle \frac{2\sqrt{x}+2}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-2)}}\\ ={\displaystyle \frac{2(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-2)}}\\ ={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{x}-2}}\end{array}$$\begin{array}{l} {= \dfrac{2(\sqrt{x} - 2) + 1(\sqrt{x} + 1) - (\sqrt{x} - 5)}{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 2)}} \\ {= \dfrac{2\sqrt{x} - 4 + \sqrt{x} + 1 - \sqrt{x} + 5}{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 2)}} \\ {= \dfrac{2\sqrt{x} + 2}{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 2)}} \\ {= \dfrac{2(\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 2)}} \\ {= \dfrac{2}{\sqrt{x} - 2}} \end{array}$.

c) Sai

Thay $x = \dfrac{9}{4}$ vào biểu thức $A$, ta được:

$A = \dfrac{2}{\sqrt{\dfrac{9}{4}} - 2} = \dfrac{2}{\dfrac{3}{2} - 2} = \dfrac{2}{\dfrac{- 1}{2}} = - 4 \neq 4$

d) Đúng

Để $A = \sqrt{x}$ thì $\dfrac{2}{\sqrt{x} - 2} = \sqrt{x}$

Suy ra $(\sqrt{x} - 2).\sqrt{x} = 2$

$x - 2\sqrt{x} = 2$

$x - 2\sqrt{x} - 2 = 0$

$x - 2\sqrt{x} - 2 = 0$

Đặt $t = \sqrt{x} \geq 0$, khi đó phương trình trở thành:

$t^{2} - 2t - 2 = 0$

Ta có: $\Delta' = 1^{2} - 1.( - 2) = 3 > 0$

Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là

$t = 1 + \sqrt{3}$ (TM) hoặc $t = 1 - \sqrt{3}$ (KTM)

Suy ra $x = t^{2} = {(1 + \sqrt{3})}^{2} = 4 + 2\sqrt{3}$ suy ra $m = 4, n = 2$.

Khi đó, $m + n = 6$.

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $\bigtriangleup ABO$ và tính chất đối xứng của đường tròn.

a) Sai: Xét $\bigtriangleup ABO$ vuông tại $B$ có đường cao $BH$: $OH \cdot OA = OB^{2} = R^{2}$ (không phải $4R^{2}$).

b) Đúng: $AO\bot BC$ tại trung điểm $\left. H\Rightarrow\Delta ABC \right.$ cân tại $\left. A\Rightarrow\widehat{ACO} = \widehat{ABO} = 90^{{^\circ}}\Rightarrow AC \right.$ là tiếp tuyến.

c) Đúng: $B, C$ thuộc $(O)$ và thuộc đường tròn đường kính $AO$ (do $\widehat{ABO} = \widehat{ACO} = 90^{{^\circ}}$).

d) ĐÚNG: Trong $\bigtriangleup ABO$ vuông tại $B$: $\left. \sin\widehat{OAB} = \dfrac{OB}{OA} = \dfrac{R}{2R} = \dfrac{1}{2}\Rightarrow\widehat{OAB} = 30^{{^\circ}}\Rightarrow\widehat{BAC} = 2 \cdot 30^{{^\circ}} = 60^{{^\circ}} \right.$. Tam giác $ABC$ cân có một góc $60^{{^\circ}}$ nên là tam giác đều.

Khai triển biểu thức và đưa thừa số ra ngoài dấu căn: $\sqrt{45} = 3\sqrt{5}$.

Ta có: $A = 3(\sqrt{5} - 2) - \sqrt{45} = 3\sqrt{5} - 6 - 3\sqrt{5} = - 6$

+ ĐKXĐ: $x \geq 0,x \neq 4$.

+ Biến đổi $M = \dfrac{2(\sqrt{x} - 2) + 3}{\sqrt{x} - 2} = 2 + \dfrac{3}{\sqrt{x} - 2}$.

+ Để $M \in {\mathbb{Z}}$ thì $(\sqrt{x} - 2)$ phải là ước của $3$.