Đề thi học kì 1 Toán 9 - Đề số 4

Cho $A = \left( {1 - \frac{{\sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right):\left( {\frac{{\sqrt x {\rm{;}} + 3}}{{\sqrt x {\rm{;}} - 2}} + \frac{{\sqrt x {\rm{;}} + 2}}{{3 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x {\rm{;}} + 2}}{{x - 5\sqrt x {\rm{;}} + 6}}} \right)$ với $x \ge 0,x \ne 4,x \ne 9.$

a) Rút gọn A. 

b) Tìm $x \in \mathbb{Z}$ để $A \in \mathbb{Z}$.

c) Tìm x để $A < 0.$

Hôm qua mẹ của bạn An qua tiệm tạp hóa gần nhà mua $37$ quả trứng gồm $24$ quả trứng gà và $13$ quả trứng vịt hết $91200$ đồng. Hôm nay mẹ của bạn An cũng qua tiệm tạp hóa gần nhà mua $84$ quả trứng gồm $48$ quả trứng gà và $36$ quả trứng vịt hết $206400$ đồng. Hỏi nếu ngày mai mẹ bạn An nhờ bạn An qua tiệm tạp hóa trên mua $62$ quả trứng gồm $22$ quả trứng gà và $40$ quả trứng vịt thì mẹ bạn An phải đưa cho bạn An số tiền vừa đủ là bao nhiêu? (biết giá trứng không thay đổi)

Nhà thiết kế muốn thiết kế một chiếc nhẫn có dạng như hai vòng tròn đồng tâm (hình bên dưới). Cần thiết kế nhẫn cho người đeo cỡ 7 (đường kính vào khoảng 15mm). Em hãy tính diện tích một bề mặt của chiếc nhẫn biết rằng khi sử dụng thước cặp pan-me để đo thì đường kính mà thước đo được là 17mm. (Lấy $\pi \approx 3,14$)

Cho đường tròn (O;R) đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn (O) (C khác A và B). Kẻ CH vuông góc với AB tại H.

a) Chứng minh $\Delta ABC$ vuông tại C và $C{H^2} = AC.BC.\sin A.\cos A$.

b) Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt tia BC ở D. Gọi I là trung điểm của AD. Chứng minh đường thẳng IC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

c) Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) cắt IC ở K. Xác định vị trí điểm C trên đường tròn (O) để diện tích tứ giác ABKI nhỏ nhất.

Tính giá trị của $A = \frac{1}{{2\sqrt 1 + 1\sqrt 2 }} + \frac{1}{{3\sqrt 2 + 2\sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{2025\sqrt {2024} + 2024\sqrt {2025} }}$.