Đề cuối kỳ 1 Toán 9 năm 2025 – 2026 trường THCS Trần Quý Cáp – Đà Nẵng

Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là phương trình có dạng $ax + by = c$, trong đó a, b, c là các số đã cho ($a \neq 0$ hoặc $b \neq 0$) và bậc của cả $x$ và $y$ đều là 1.

Ta thấy $2x + 5y = 9$ có dạng $ax + by = c$ với $a = 2,b = 5,c = 9$.

Áp dụng tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân: Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương, ta được bất đẳng thức mới cùng chiều.

Vì $a > b$ và $3 > 0$, nhân cả hai vế của bất đẳng thức với $3$ ta được $3a > 3b$.

Căn bậc hai của một số thực dương $a$ là số $x$ sao cho $x^{2} = a$. Mỗi số thực dương $a$ đều có đúng hai căn bậc hai đối nhau là $\sqrt{a}$ và $- \sqrt{a}$.

Vì $2^{2} = 4$ và ${( - 2)}^{2} = 4$ nên căn bậc hai của 4 là $2$ và $- 2$.

Sử dụng quy tắc đưa thừa số ra ngoài dấu căn: $\left. \sqrt{A^{2} \cdot B} = \middle| A \middle| \sqrt{B} = A\sqrt{B} \right.$ (với $A \geq 0,B \geq 0$).

Ta có: $\left. \sqrt{50} = \sqrt{25.2} = \sqrt{5^{2}.2} = \middle| 5 \middle| \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \right.$

Sử dụng quy tắc đưa thừa số vào trong dấu căn: Với $a \geq 0,b \geq 0$ thì $a\sqrt{b} = \sqrt{a^{2}b}$.

Với $a \geq 0,b \geq 0$, ta có $a\sqrt{b} = \sqrt{a^{2} \cdot b} = \sqrt{a^{2}b}$.

Trong tam giác vuông, cosin của một góc nhọn bằng tỷ số giữa cạnh kề và cạnh huyền.

Xét tam giác ABC vuông tại $B$, với góc $\alpha = \widehat{C}$:

Cạnh kề góc $C$ là BC.

Cạnh huyền là AC.

Do đó, $\cos\alpha = \dfrac{BC}{AC}$.

Sử dụng bảng giá trị tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt ($30^{{^\circ}},45^{{^\circ}},60^{{^\circ}}$)

Ta có: $\sin 60^{{^\circ}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Sử dụng máy tính sau đó làm tròn kết quả đến đơn vị độ

Ta có: $\sin A = 0,57$

Suy ra $\widehat{A} \approx 34,748^{{^\circ}} \approx 35^{{^\circ}}$

Trong tam giác vuông, sin của một góc nhọn bằng tỷ số giữa cạnh đối và cạnh huyền.

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$, ta có:

Cạnh đối của góc $B$ là $AC$.

Cạnh huyền là $BC$.

Do đó, $\sin B = \dfrac{AC}{BC}$.

Nắm vững tính chất đối xứng của đường tròn: Đường tròn có tâm đối xứng là tâm của đường tròn và mọi đường thẳng đi qua tâm đều là trục đối xứng.

Vì có vô số đường thẳng đi qua tâm của đường tròn nên đường tròn có vô số trục đối xứng.

Số đo của góc ở tâm bằng số đo của cung bị chắn.

Góc $\widehat{AOB}$ là góc ở tâm chắn cung nhỏ $\overset{\frown}{AB}$.

Vì sđ $\overset{\frown}{AB} = 120^{{^\circ}}$ nên $\widehat{AOB} = \text{sd~}\overset{\frown}{\text{AB}} = 120^{{^\circ}}$

Sử dụng công thức tính độ dài cung tròn $n^{{^\circ}}$ của đường tròn bán kính $R$: $l = \dfrac{\pi Rn}{180}$

Công thức chuẩn tính độ dài cung tròn là $l = \dfrac{n}{180}\pi R$.

a) Căn thức $\sqrt{A}$ xác định khi và chỉ khi $A \geq 0$.

b) Chuyển biến về một vế, số về một tế và đổi dấu các hạng tử.

c) Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu:

- Tìm ĐKXĐ của phương trình.

- Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu.

- Giải phương trình vừa tìm được.

- Đối chiếu nghiệm với ĐKXĐ và kết luận.

a) Điều kiện xác định:

$\begin{array}{l}2x-1\ge 0\\ 2x\ge 1\\ x\ge {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$\begin{array}{l} {2x - 1 \geq 0} \\ {2x \geq 1} \\ {x \geq \dfrac{1}{2}} \end{array}$

b) Ta có: $4x + 7 < - 3x - 14$

$\begin{array}{l}4x+3x<-14-7\\ 7x<-21\\ x<-3\end{array}$$\begin{array}{l} {4x + 3x < - 14 - 7} \\ {7x < - 21} \\ {x < - 3} \end{array}$

Vậy nghiệm của bất phương trình là x < - 3

c) $\dfrac{2}{x + 1} + \dfrac{1}{x - 2} = \dfrac{3}{(x + 1)(x - 2)}$; ĐK: $x \neq - 1;x \neq 2$

Quy đồng mẫu: $\dfrac{2(x - 2)}{(x + 1)(x - 2)} + \dfrac{1(x + 1)}{(x - 2)(x + 1)} = \dfrac{3}{(x + 1)(x - 2)}$

Khử mẫu ta được: $2(x - 2) + 1(x + 1) = 3$

$\begin{array}{l}2x-4+x+1=3\\ 3x-3=3\\ 3x=6\\ x=2(KTM)\end{array}$$\begin{array}{l} {2x - 4 + x + 1 = 3} \\ {3x - 3 = 3} \\ {3x = 6} \\ {x = 2\ (KTM)} \end{array}$

Vậy phương trình vô nghiệm.

a) Dùng hằng đẳng thức $(A - B)(A + B) = A^{2} - B^{2}$ để trục căn thức ở mẫu dạng $\dfrac{C}{\sqrt{A} - \sqrt{B}}$.

b) Đưa thừa số ra ngoài dấu căn $\left. \sqrt{A^{2}B} = \middle| A \middle| \sqrt{B} \right.$ và khai căn $\left. \sqrt{A^{2}} = \middle| A \right|$.

c) Rút gọn biểu thức chứa căn: Quy đồng mẫu thức chung $x - 1 = (\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)$, sau đó thu gọn tử thức.

a) $\dfrac{4}{\sqrt{5} - 1} = \dfrac{4(\sqrt{5} + 1)}{(\sqrt{5} - 1).(\sqrt{5} + 1)} = \dfrac{4(\sqrt{5} + 1)}{{(\sqrt{5})}^{2} - 1^{2}} = \dfrac{4(\sqrt{5} + 1)}{4} = \sqrt{5} + 1$

b) $4\sqrt{27} - \sqrt{75} - \sqrt{25} + \sqrt{{(5 - \sqrt{3})}^{2}}$

$\begin{array}{l}=4.3\sqrt{3}-5\sqrt{3}-5+\mid 5-\sqrt{3}\mid \\ =12\sqrt{3}-5\sqrt{3}-5+5-\sqrt{3}=6\sqrt{3}\end{array}$$\begin{array}{l} {= 4.3\sqrt{3} - 5\sqrt{3} - 5 + \left| {5 - \sqrt{3}} \right|} \\ {= 12\sqrt{3} - 5\sqrt{3} - 5 + 5 - \sqrt{3} = 6\sqrt{3}} \end{array}$

c) $\dfrac{3}{\sqrt{x} + 1} - \dfrac{1}{\sqrt{x} - 1} - \dfrac{\sqrt{x} - 3}{x - 1}$ với $x \geq 0;x \neq 1.$

$\begin{array}{l}={\displaystyle \frac{3.\left(\sqrt{x}-1\right)}{x-1}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{x}+1}{x-1}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{x}-3}{x-1}}\\ ={\displaystyle \frac{3\sqrt{x}-3-\sqrt{x}-1-\sqrt{x}+3}{x-1}}\\ ={\displaystyle \frac{\sqrt{x}-1}{x-1}}=\sqrt{x}+1\end{array}$$\begin{array}{l} {= \dfrac{3.\left( {\sqrt{x} - 1} \right)}{x - 1} - \dfrac{\sqrt{x} + 1}{x - 1} - \dfrac{\sqrt{x} - 3}{x - 1}} \\ {= \dfrac{3\sqrt{x} - 3 - \sqrt{x} - 1 - \sqrt{x} + 3}{x - 1}} \\ {= \dfrac{\sqrt{x} - 1}{x - 1} = \sqrt{x} + 1} \end{array}$

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.

$\begin{array}{l}\sin E={\displaystyle \frac{DF}{EF}};\cos E={\displaystyle \frac{DE}{EF}}\\ \tan E={\displaystyle \frac{DF}{DE}};\cot E={\displaystyle \frac{DE}{DF}}\end{array}$$\begin{array}{l} {\sin E = \dfrac{DF}{EF};\cos E = \dfrac{DE}{EF}} \\ {\tan E = \dfrac{DF}{DE};\cot E = \dfrac{DE}{DF}} \end{array}$

a) Số đo cung nhỏ bằng góc ở tâm chắn cung đó. Số đo cung lớn bằng $360^{{^\circ}}$ trừ đi số đo cung nhỏ. Công thức độ dài cung: $l = \dfrac{\pi Rn}{180}$.

b) Công thức diện tích hình quạt tròn: $S_{q} = \dfrac{\pi R^{2}n}{360}$ hoặc $S_{q} = \dfrac{l \cdot R}{2}$.

a) Ta có:

sđ $\overset{\frown}{AB}$=$\widehat{AOB}$=$60^{0}$

sđ $\overset{\frown}{AmB}$=$360^{0} -$ sđ $\overset{\frown}{AB}$=$360^{0} -$$60^{0}$=$300^{0}$

$l_{\overset{\frown}{AB}} = \dfrac{\pi.R.n}{180} = \dfrac{\pi.6.60}{180} = 2\pi(cm)$.

b) Diện tích hình quạt tròn là:

$S_{q} = \dfrac{l.R}{2} = \dfrac{2\pi.6}{2} = 6\pi(cm^{2})$

Áp dụng tỉ số lượng giác $\tan$ vào hai tam giác vuông $\Delta ACH$ và $\Delta BCH$ để tính hai đoạn $AH, BH$ theo độ cao $CH$.

Sử dụng mối liên hệ $AB = AH + BH = 2500\text{m}$ để lập phương trình giải tìm $CH$.

Xét tam giác BCH vuông tại H có: $\tan B = \dfrac{CH}{BH}$ hay $BH = \dfrac{CH}{\tan 30^{0}}$

Xét tam giác ACH vuông tại H có: $\tan A = \dfrac{CH}{AH}$ hay $AH = \dfrac{CH}{\tan 37^{0}}$

Ta có: AB = AH + BH = $\dfrac{CH}{\tan 37^{0}} + \dfrac{CH}{\tan 30^{0}}$ = CH. $\left( {\dfrac{1}{\tan 37^{0}} + \dfrac{1}{\tan 30^{0}}} \right)$

Mà AB = 2500

Suy ra: $CH = \dfrac{2500}{\dfrac{1}{\tan 37^{0}} + \dfrac{1}{\tan 30^{0}}} \approx 817m$