Đề thi giữa học kì 1 Toán 11 - Đề số 6

Giải phương trình lượng giác cơ bản, và trong trường hợp đặc biệt $\cos x = - 1$.

Ta có: $\left. \cos x = - 1\Leftrightarrow x = \pi + k2\pi,k \in Z \right.$.

Sử dụng tính chất: $- 1 \leq \cos x \leq 1,\forall x \in R$.

Xét đáp án B:

Vì $\left. - 1 \leq \cos x \leq 1,\forall x \in R\Leftrightarrow 1 \leq 2 - \cos x \leq 3,\forall x \in R \right.$.

Do đó $2 - \cos x \neq 0,\forall x \in R$.

Vậy hàm số $y = \dfrac{1}{2 - \cos x}$ có TXĐ là R.

Sử dụng $- 1 \leq \sin x \leq 1$.

Ta có $\left. - 1 \leq \sin x \leq 1\Leftrightarrow - 3 \leq 3\sin x \leq 3\Leftrightarrow - 5 \leq 3\sin x - 2 \leq 1 \right.$

$\left. \Rightarrow - 5 \leq y \leq 1\Rightarrow$$\left\{ \begin{array}{l} {M = 1} \\ {m = - 5} \end{array} \right.$ \right..

Thay tọa độ điểm vào các đáp án và kiểm tra.

Ta thấy đồ thị đi qua các điểm $(0,1),(\pi,1),( - \pi,1)$ nên hàm $\left. y = 1 + \middle| \sin x \right|$ thỏa mãn.

Thay n = 1, 2, 3 vào công thức $u_{n} = \dfrac{n}{3^{n} - 1}$.

$u_{n} = \dfrac{n}{3^{n} - 1}$; $u_{1} = \dfrac{1}{3^{1} - 1} = \dfrac{1}{2}$; $u_{2} = \dfrac{2}{3^{2} - 1} = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4}$; $u_{3} = \dfrac{3}{3^{3} - 1} = \dfrac{3}{26}$.

Dãy số $(u_{n})$ là cấp số nhân nếu $u_{n + 1} = u_{n}.q$.

Xét đáp án A ta có: 1; -1; 1; -1 là 1 cấp số nhân với $u_{1} = 1,q = - 1$.

Xét đáp án B có $\dfrac{3}{- 3} = - 1 \neq \dfrac{9}{10}$, do đó 1; -3; 9; 10 không là cấp số nhân.

Xét đáp án C ta có: 1; 0; 0; 0 là 1 cấp số nhân với $u_{1} = 1,q = 0$.

Xét đáp án D ta có: 32; 16; 8; 4 là 1 cấp số nhân với $u_{1} = 32;q = \dfrac{1}{2}$.

Điều kiện xác định của phân thức: mẫu số khác 0.

Ta có: $\left. \cos 2x - 1 \neq 0\Leftrightarrow\cos 2x \neq 1 \right.$

$\left. \Leftrightarrow 2x \neq k2\pi\Leftrightarrow x \neq k\pi \right.$.

Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D.

- Hàm số y = f(x) là hàm số chẵn nếu $\left\{ \begin{array}{l} \left. \forall x \in D\Rightarrow - x \in D \right. \\ {f( - x) = f(x)} \end{array} \right.$.

- Hàm số y = f(x) là hàm số lẻ nếu $\left\{ \begin{array}{l} \left. \forall x \in D\Rightarrow - x \in D \right. \\ {f( - x) = - f(x)} \end{array} \right.$.

Xét đáp án A:

Hàm số $y = f(x) = x^{2019} + \cos x$ có TXĐ:

$\left. D = {\mathbb{R}}\Rightarrow\forall x \in D\Rightarrow - x \in D \right.$.

Ta có: $f( - x) = {( - x)}^{2019} + \cos( - x)$

$= - x^{2019} + \cos x \neq f(x)$.

$\Rightarrow$ Hàm số $y = f(x) = x^{2019} + \cos x$ không chẵn không lẻ.

Xét đáp án B:

Hàm số $y = f(x) = x^{2020} + \cos x$ có TXĐ:

$\left. D = {\mathbb{R}}\Rightarrow\forall x \in D\Rightarrow - x \in D \right.$.

Ta có: $f( - x) = {( - x)}^{2020} + \cos( - x)$

$= x^{2020} + \cos x = f(x)$.

$\Rightarrow$ Hàm số $y = x^{2020} + \cos x$ là hàm số chẵn.

Xét đáp án C:

Hàm số $y = f(x) = \tan\left( {\dfrac{x}{2} - \pi} \right) = \tan\dfrac{x}{2}$ có TXĐ:

$\left. D = R\backslash\left\{ \pi + k2\pi \right\}\Rightarrow\forall x \in D\Rightarrow - x \in D \right.$.

Ta có: $f( - x) = \tan\left( {- \dfrac{x}{2}} \right) = - \tan\dfrac{x}{2} = - f(x)$.

$\Rightarrow$ Hàm số $y = \tan\left( {\dfrac{x}{2} - \pi} \right)$ là hàm số lẻ.

Thay n = 5 vào $(u_{n})$.

Số hạng thứ 5 ứng với n = 5 nên $u_{5} = \dfrac{{( - 1)}^{5 + 1}}{2^{5}} = \dfrac{1}{32}$.

Xác định cỡ mẫu, tính tần số tích lũy của các nhóm, từ đó tìm nhóm chứa tứ phân vị thứ ba.

Mẫu số liệu có 42 số liệu nên $Q_{3}$ là nhóm chứa số liệu thứ $x_{32} \in \lbrack 60,80)$.

Đếm số nhóm và tính tổng tần số của các nhóm.

Mẫu số liệu trên có 145 số liệu, 6 nhóm.

Áp dụng công thức tính số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm.

$\overline{x} = \dfrac{6.2 + 8.7 + 10.7 + 12.3 + 14.1}{20} = 9,4 \in \lbrack 9,11)$.

Biến đổi phương trình về dạng phương trình lượng giác cơ bản và áp dụng công thức nghiệm.

a) Sai. $\left. 2\sin\left( {x - \dfrac{\pi}{12}} \right) + \sqrt{3} = 0\Leftrightarrow\sin\left( {x - \dfrac{\pi}{12}} \right) = - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow\sin\left( {x - \dfrac{\pi}{12}} \right) = \sin\left( {- \dfrac{\pi}{3}} \right) \right.$.

b) Sai. Phương trình tương đương $\left.$$\left\{ \begin{array}{l} {x - \dfrac{\pi}{12} = - \dfrac{\pi}{3} + k2\pi} \\ {x - \dfrac{\pi}{12} = \dfrac{4\pi}{3} + k2\pi} \end{array} \right.$Leftrightarrow$\left\{ \begin{array}{l} {x = - \dfrac{\pi}{4} + k2\pi} \\ {x = \dfrac{17\pi}{12} + k2\pi} \end{array} \right.$ \right. $(k \in Z)$.

c) Đúng. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình là $- \dfrac{\pi}{4}$.

d) Đúng. Trong khoảng $( - \pi;\pi)$ có 2 nghiệm là $- \dfrac{\pi}{4}$ và $\dfrac{7\pi}{12}$.

Áp dụng công thức số hạng tổng quát và tổng n số hạng đầu của cấp số cộng.

a) Sai. Ta có $\{\begin{array}{l}{u}_2-u_3+u_5=10\\ u_1+u_6=17\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {u_{2} - u_{3} + u_{5} = 10} \\ {u_{1} + u_{6} = 17} \end{array} \right.$

$\left. \Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l} {u_{1} + d - u_{1} - 2d + u_{1} + 4d = 10} \\ {u_{1} + u_{1} + 5d = 17} \end{array} \right.$ \right.

$\left. \Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l} {u_{1} + 3d = 10} \\ {2u_{1} + 5d = 17} \end{array} \right.$Leftrightarrow$\left\{ \begin{array}{l} {u_{1} = 1} \\ {d = 3} \end{array} \right.$ \right..

Vậy $u_{1} = 1$ và d = 3.

b) Sai. Ta có $u_{4} = u_{1} + 3d = 1 + 3.3 = 10$.

c) Đúng. Số hạng tổng quát:

$u_{n} = u_{1} + (n - 1)d = 1 + (n - 1).3 = 3n - 2$.

d) Đúng. Ta có $S_{15} = 15.1 + \dfrac{15(15 - 1).3}{2} = 330$.

Chia cả tử và mẫu của A cho $\sin\alpha$.

Vì $\cot\alpha = \dfrac{1}{3}$ nên $\sin\alpha \neq 0$. Chia cả tử và mẫu của A cho $\sin\alpha$ ta được:

$A = \dfrac{3 + 4.\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}}{2 - 5.\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}} = \dfrac{3 + 4.\tan\alpha}{2 - 5.\tan\alpha} = \dfrac{3 + 4.\dfrac{1}{3}}{2 - 5.\dfrac{1}{3}} = 13$.

Giải phương trình lượng giác h(t) = 40 và tìm nghiệm dương nhỏ nhất.

Xét $30 + 20\sin\left( {\dfrac{\pi}{25}t + \dfrac{\pi}{3}} \right) = 40$.

$\left. \Leftrightarrow\sin\left( {\dfrac{\pi}{25}t + \dfrac{\pi}{3}} \right) = \dfrac{1}{2}\Leftrightarrow\left\lbrack$$\begin{array}{l} {\dfrac{\pi}{25}t + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{6} + k2\pi} \\ {\dfrac{\pi}{25}t + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{5\pi}{6} + k2\pi} \end{array}$ \right. \right.

$\left. \Leftrightarrow\left\lbrack$$\begin{array}{l} {t = - \dfrac{25}{6} + 50k} \\ {t = \dfrac{25}{2} + 50k} \end{array}$ \right.\Rightarrow t_{\text{min}} = \dfrac{25}{2} = 12,5 \right..

Vậy thời điểm đầu tiên mà cabin đạt độ cao 40 m là 12,5 giây.

Áp dụng công thức tính tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm.

Mẫu số liệu có tất cả 42 số liệu.

Tứ phân vị $Q_{3}$ nằm ở số liệu thứ $x_{32} \in \lbrack 60,80)$.

$\left. \Rightarrow Q_{3} = 60 + \dfrac{\dfrac{3.42}{4} - 26}{10}.(80 - 60) = 71 \right.$.

Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân $u_{n} = u_{1}q^{n - 1}$.

$\left.$$\left\{ \begin{array}{l} {u_{1} - u_{3} + u_{5} = 65} \\ {u_{1} + u_{7} = 325} \end{array} \right.$Leftrightarrow$\left\{ \begin{array}{l} {u_{1} - u_{1}q^{2} + u_{1}q^{4} = 65} \\ {u_{1} + u_{1}q^{6} = 325} \end{array} \right.$ \right.

$\left. \Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l} {u_{1}(1 - q^{2} + q^{4}) = 65} \\ {u_{1}(1 + q^{6}) = 325} \end{array} \right.$Leftrightarrow$\left\{ \begin{array}{l} {u_{1}(1 - q^{2} + q^{4}) = 65} \\ {u_{1}(1 + q^{2})(1 - q^{2} + q^{4}) = 325} \end{array} \right.$ \right.

$\left. \Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l} {u_{1}(1 - q^{2} + q^{4}) = 65} \\ {1 + q^{2} = 5} \end{array} \right.$Leftrightarrow$\left\{ \begin{array}{l} {u_{1}(1 - q^{2} + q^{4}) = 65} \\ {q^{2} = 4} \end{array} \right.$ \right.

$\left. \Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l} {u_{1}(1 - 4 + 16) = 65} \\ {q = \pm 2} \end{array} \right.$Leftrightarrow$\left\{ \begin{array}{l} {u_{1} = 5} \\ {q = \pm 2} \end{array} \right.$ \right..

$\left. \Rightarrow u_{3} = u_{1}q^{2} = 5.4 = 20 \right.$.

$\left. \sin x = m\Leftrightarrow\left\lbrack$$\begin{array}{l} {x = \arcsin m + k2\pi} \\ {x = \pi - \arcsin m + k2\pi} \end{array}$ \right. \right. $(k \in Z)$.

$\left. \cos x = m\Leftrightarrow\left\lbrack$$\begin{array}{l} {x = \arccos m + k2\pi} \\ {x = - \arccos m + k2\pi} \end{array}$ \right. \right. $(k \in Z)$.

$\left. \tan x = m\Leftrightarrow x = \arctan m + k\pi \right.$ $(k \in Z)$.

$\left. \cot x = m\Leftrightarrow x = {arccot}m + k\pi \right.$ $(k \in Z)$.

a) $\left. \sin x = \dfrac{1}{4}\Leftrightarrow\left\lbrack$$\begin{array}{l} {x = \arcsin\dfrac{1}{4} + k2\pi} \\ {x = \pi - \arcsin\dfrac{1}{4} + k2\pi} \end{array}$ \right. \right. $(k \in Z)$.

b) $\left. \cos^{2}x = \dfrac{2}{5}\Leftrightarrow\left\lbrack$$\begin{array}{l} {\cos x = \sqrt{\dfrac{2}{5}}} \\ {\cos x = - \sqrt{\dfrac{2}{5}}} \end{array}$ \right.\Leftrightarrow\left\lbrack $\begin{array}{l} {x = \arccos\sqrt{\dfrac{2}{5}} + k2\pi} \\ {x = - \arccos\sqrt{\dfrac{2}{5}} + k2\pi} \\ {x = \arccos\left( {- \sqrt{\dfrac{2}{5}}} \right) + k2\pi} \\ {x = - \arccos\left( {- \sqrt{\dfrac{2}{5}}} \right) + k2\pi} \end{array}$ \right. \right. $(k \in Z)$.

c) ĐKXĐ: $x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ $(k \in Z)$.

$\left. 3\tan x + 1 = 0\Leftrightarrow\tan x = - \dfrac{1}{3}\Leftrightarrow x = \arctan\left( {- \dfrac{1}{3}} \right) + k\pi \right.$ $(k \in Z)$.

Áp dụng công thức tính tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm.

a) Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm ta được: 39; 43; 71; 81; 85; 85; 85; 89; 117; 122; 142; 148; 162; 167; 168; 175; 187; 187; 193; 195; 198; 205; 223; 224; 233; 234; 253; 277; 280; 298.

Cỡ mẫu n = 30 là số chẵn nên trung vị của mẫu số liệu là $Q_{2} = \dfrac{1}{2}(x_{15} + x_{16}) = \dfrac{1}{2}(168 + 175) = 171,5$. Tứ phân vị thứ nhất là $Q_{1} = x_{8} = 89$. Tứ phân vị thứ ba là $Q_{3} = x_{23} = 223$.

b) Bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu như sau:

Gọi $x_{1},x_{2},\ldots,x_{30}$ là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: $x_{1},x_{2} \in \lbrack 0;60)$; $x_{3},\ldots,x_{9} \in \lbrack 60;120)$; $x_{10},\ldots,x_{16} \in \lbrack 120;180)$; $x_{17},\ldots,x_{26} \in \lbrack 180;240)$; $x_{27},\ldots,x_{30} \in \lbrack 240;300)$.

Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm là $\dfrac{1}{2}(x_{15} + x_{16})$.

Do $x_{15}$ và $x_{16}$ thuộc nhóm [120; 180) nên tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm là

$Q_{2} = 120 + \dfrac{\dfrac{30}{2} - (2 + 7)}{7}.(180 - 120) = \dfrac{1200}{7} \approx 171,43$.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu là $x_{8} \in \lbrack 60;120)$. Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là $Q_{1} = 60 + \dfrac{\dfrac{30}{4} - 2}{7}.(120 - 60) = \dfrac{750}{7} \approx 107,14$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là $x_{23} \in \lbrack 180;240)$. Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là $Q_{3} = 180 + \dfrac{\dfrac{3.30}{4} - (2 + 7 + 7)}{10}.(240 - 180) = 219$.

Xác định $u_{1},d,S_{n}$, tính n bằng cách áp dụng công thức $S_{n} = \dfrac{n\lbrack 2u_{1} + (n - 1)d\rbrack}{2}$.

Số cây trồng trong mỗi hàng lập thành cấp số cộng $(u_{n})$ với $\{\begin{array}{l}{u}_1=1\\ d=1\\ S_n=3003\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {u_{1} = 1} \\ {d = 1} \\ {S_{n} = 3003} \end{array} \right.$.

$S_{n} = \dfrac{n(2u_{1} + (n - 1)d)}{2}$

$\left. \Leftrightarrow 3003 = \dfrac{n(2.1 + (n - 1).1)}{2} \right.$

$\left. \Leftrightarrow 6006 = n(2 + n - 1) \right.$

$\left. \Leftrightarrow n^{2} + n - 6006 = 0\Leftrightarrow n = 77 \right.$ (vì n là số hàng cây nên n là số tự nhiên).

Vậy có tất cả 77 hàng cây.