Đề giữa kì 1 Toán 12 năm 2026 – 2027 trường THPT Việt Đức - Hà Nội

Tìm số nghiệm bội lẻ của phương trình f’(x) = 0.

Đạo hàm $f'(x) = (x + 2){(x - 1)}^{2}(x - 3) = 0$ có hai nghiệm bội lẻ là x = -2 và x = 3. Nghiệm x = 1 là nghiệm bội chẵn nên đạo hàm không đổi dấu khi đi qua điểm này. Do đó hàm số có 2 điểm cực trị.

Dựa vào dấu của đạo hàm.

Xét hàm số $y = - x^{3} - 3x + 2$, ta có $y' = - 3x^{2} - 3 = - 3(x^{2} + 1) < 0$ với mọi $x \in R$. Do đó hàm số nghịch biến trên R.

Hàm số nghịch biến trên khoảng đường cong đồ thị đi xuống.

Quan sát đồ thị hàm số bậc ba, trên khoảng (-1; 2) đồ thị đi xuống từ trái sang phải, do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (-1; 2).

Tìm GTLN của v(t) trên đoạn [0; 10].

Vận tốc của chuyển động là đạo hàm của hàm vị trí: $v(t) = s'(t) = - 3t^{2} + 10t + 4$.

Hàm số v(t) là tam thức bậc hai có hệ số a = -3 < 0, đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của parabol: $t = - \dfrac{10}{2.( - 3)} = \dfrac{5}{3}$.

Dựa vào hình dạng đồ thị hàm số và điểm đồ thị đi qua.

Đồ thị đi qua điểm cực đại (-1; 5) nên f(-1) = 5. Thay x = -1 vào bốn phương án, chỉ có phương án C thỏa mãn.

Dựa vào tiệm cận của đồ thị và giao điểm của đồ thị với trục tung để nhận dạng.

Đồ thị có đường tiệm cận đứng x = -4 và đường tiệm cận ngang y = 2, nên loại phương án A và B. Mặt khác $f(0) = \dfrac{1}{4} > 0$, đồ thị cắt trục tung tại điểm nằm phía trên gốc tọa độ O. Do đó chọn D.

Ứng dụng đạo hàm, khảo sát hàm số.

Với x > 0, đạo hàm $f'(x) = \dfrac{1}{x} - \dfrac{4}{x^{2}} = \dfrac{x - 4}{x^{2}}$. Ta có $\left. f'(x) = 0\Leftrightarrow x = 4 \right.$. Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua x = 4 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 4. Giá trị cực tiểu là $f(4) = 1 + \ln 4.$

Quan sát bảng biến thiên.

Từ bảng biến thiên, hàm số đạt cực đại tại x = -2 với giá trị cực đại y = 4. Do đó, điểm cực đại của đồ thị hàm số là (-2; 4).

Khảo sát hàm số.

Đồ thị hàm số $y = \dfrac{1 - x}{x + 2}$ có đường tiệm cận đứng là x = -2 và đường tiệm cận ngang là y = -1, tức là có đúng 2 đường tiệm cận.

Tìm khoảng đạo hàm dương.

Tập xác định của hàm số là R do $x^{2} - 2x + 5 = {(x - 1)}^{2} + 4 > 0$ với mọi $x \in R$. Đạo hàm $f'(x) = \dfrac{2x - 2}{x^{2} - 2x + 5}$. Ta có $\left. f'(x) > 0\Leftrightarrow 2x - 2 > 0\Leftrightarrow x > 1 \right.$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(1; + \infty)$.

Dựa vào định nghĩa các đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

Do $\lim\limits_{x\rightarrow + \infty}f(x) = 2$ nên y = 2 là đường tiệm cận ngang.

Do $\lim\limits_{x\rightarrow - \infty}f(x) = - 2$ nên y = -2 là đường tiệm cận ngang.

Do $\lim\limits_{x\rightarrow 1^{+}}f(x) = + \infty$ nên x = 1 là đường tiệm cận đứng.

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là 1 + 2 = 3.

Quan sát đồ thị.

Trên đoạn [0; 3], quan sát đồ thị hàm số ta thấy giá trị lớn nhất đạt được tại x = 1 là $\max_{\lbrack 0;3\rbrack}f(x) = 3$ và giá trị nhỏ nhất đạt được tại x = 3 là $\min_{\lbrack 0;3\rbrack}f(x) = - 1$. Tổng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất bằng 3 + (-1) = 2.

Ứng dụng đạo hàm, khảo sát hàm số.

a) Đúng. Đạo hàm $f'(x) = (x + 2\cos x)' = 1 - 2\sin x$.

b) Đúng. Trong khoảng $(0;2\pi)$, phương trình $\left. 1 - 2\sin x = 0\Leftrightarrow\sin x = \dfrac{1}{2} \right.$ có đúng hai nghiệm là $x = \dfrac{\pi}{6}$ và $x = \dfrac{5\pi}{6}$.

c) Sai. Khi đi qua điểm $x = \dfrac{5\pi}{6}$, đạo hàm f’(x) đổi dấu từ âm sang dương, nên hàm số đạt cực tiểu tại điểm này. Mệnh đề sai.

d) Đúng. Với $x \in \left( {\dfrac{\pi}{6};\dfrac{5\pi}{6}} \right)$ thì $\left. \sin x > \dfrac{1}{2}\Rightarrow f'(x) < 0 \right.$, do đó hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {\dfrac{\pi}{6};\dfrac{5\pi}{6}} \right)$.

Ứng dụng đạo hàm.

a) Đúng. Do số lượng vi khuẩn phát triển liên tục nên tại thời điểm chuyển giai đoạn t = 3 ta có:

$N(3) = M(3)\Leftrightarrow 40e^{2,4} = A - \dfrac{160}{3}e^{2,4}$

$\Leftrightarrow A = \dfrac{280}{3}e^{2,4} \approx 1028,83 > 1000$.

b) Sai. Vì $t = 3$ là thời điểm chuyển giai đoạn, tốc độ tăng trưởng của vi khuẩn tại thời điểm này được xác định bởi cả hai phía: $N'(3) = 32e^{2,4}$ và $M'(3) = - \dfrac{160}{3}( - 0,6)e^{4,2 - 0,6.3} = 32e^{2,4} \approx 352,74 < 500$ triệu cá thể/giờ.

c) Đúng. Tại thời điểm bắt đầu t = 0, số lượng vi khuẩn là $N(0) = 40e^{0} = 40$ triệu cá thể.

d) Đúng. Trong giai đoạn 1, hàm số N(t) đồng biến nên $N(t) \leq N(3) = 40e^{2,4} \approx 440,93 < 1320$. Trong giai đoạn 2, hàm số M(t) tăng và tiệm cận đến $A \approx 1028,83 < 1320$. Do đó, số lượng vi khuẩn không vượt quá 1320 triệu cá thể trên toàn bộ quá trình nuôi cấy.

Ứng dụng đạo hàm.

a) Đúng. Ta có $\left. f'(x) = 3x^{2} - 12x + 9 = 0\Leftrightarrow x = 1 \right.$ hoặc $x = 3$. Tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là (1; 6) và (3; 2). Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có hệ số góc $k = \dfrac{2 - 6}{3 - 1} = - 2$.

b) Sai. Đạo hàm $f'(x) = 3(x - 1)(x - 3)$ đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua x = 1, nên điểm (1; 6) là điểm cực đại của đồ thị hàm số, không phải điểm cực tiểu.

c) Đúng. Phân tích thành nhân tử: $f'(x) = 3(x^{2} - 4x + 3) = 3(x - 1)(x - 3)$.

d) Sai. Xét hàm số trên đoạn [0; 2], ta có f(0) = 2, f(1) = 6, f(2) = 4. Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0; 2] bằng 2, không phải bằng 4.

Ứng dụng khảo sát hàm số

a) Sai. Thực hiện phép chia đa thức: $y = - x + 3 - \dfrac{8}{x + 2}$. Đồ thị (C) có đường tiệm cận đứng là x = -2 và đường tiệm cận xiên là y = -x + 3. Giao điểm của hai đường tiệm cận, đồng thời là tâm đối xứng của (C), là điểm I(-2; 5).

b) Đúng. Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng $\Delta$ và (C): $\left. \dfrac{- x^{2} + x - 2}{x + 2} = \dfrac{- x - 2}{2}\Leftrightarrow x^{2} - 6x = 0 \right.$, có hai nghiệm là x = 0 và x = 6. Tọa độ hai giao điểm là A(0; -1) và B(6; -4). Đoạn thẳng OA nằm trên trục tung Oy và OA = 1. Khoảng cách từ điểm B đến trục tung bằng 6. Do đó diện tích tam giác OAB là $S_{\bigtriangleup OAB} = \dfrac{1}{2}.1.6 = 3$.

c) Đúng. Đường tiệm cận xiên của đồ thị (C) là đường thẳng y = -x + 3.

d) Sai. Đường thẳng AB đi qua hai điểm A(0; -1) và B(6; -4) có phương trình là x + 2y + 2 = 0.

Vì ABCD là hình bình hành nên đường thẳng CD song song với AB, có dạng x + 2y + m = 0 với điều kiện $m \neq 2$, hay $y = \dfrac{- x - m}{2}$.

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng CD và đồ thị (C) là:

$\left. \dfrac{- x^{2} + x - 2}{x + 2} = \dfrac{- x - m}{2}\Leftrightarrow x^{2} - (m + 4)x + (4 - 2m) = 0 \right.$.

Theo định lý Viète: $x_{C} + x_{D} = m + 4$ và $x_{C}.x_{D} = 4 - 2m$.

Vì $\overset{\rightarrow}{DC} = \overset{\rightarrow}{AB} = (6; - 3)$ nên $x_{C} - x_{D} = 6$.

Ta có hệ thức: ${(x_{C} - x_{D})}^{2} = {(x_{C} + x_{D})}^{2} - 4x_{C}x_{D}$

$\left. \Leftrightarrow 36 = {(m + 4)}^{2} - 4(4 - 2m)\Leftrightarrow m^{2} + 16m - 36 = 0 \right.$.

Phương trình có hai nghiệm là m = 2 (loại do trùng với đường thẳng AB) và m = -18 (thỏa mãn).

Do đó đường thẳng CD có phương trình là x + 2y – 18 = 0.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song AB và CD là:

$d(AB,CD) = \dfrac{\left| 2 - ( - 18) \right|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2}}} = \dfrac{20}{\sqrt{5}} = 4\sqrt{5}$.

Hàm số g(x) đồng biến khi g’(x) > 0. Tìm m thỏa mãn.

Ta có $f'(u) = 3u^{2} - 3 = 3(u - 1)(u + 1)$.

Đạo hàm $g'(x) = (x^{2} - 2x)'.f'(x^{2} - 2x)$

$= 2(x - 1).3\left( {(x^{2} - 2x) - 1} \right)\left( {(x^{2} - 2x) + 1} \right)$

$= 6{(x - 1)}^{3}(x^{2} - 2x - 1)$.

Phương trình $g'(x) = 0$ có ba nghiệm là $x = 1 - \sqrt{2}$, $x = 1$, $x = 1 + \sqrt{2}$.

Xét dấu của $g'(x)$, ta thấy $g'(x) < 0$ trên khoảng $(1;1 + \sqrt{2})$ và $g'(x) > 0$ trên khoảng $(1 + \sqrt{2}; + \infty)$.

Vì $g'(x) < 0$ trên $(1;1 + \sqrt{2})$ nên để hàm số $g(x)$ đồng biến trên $(m; + \infty)$ thì $(m; + \infty) \subset \lbrack 1 + \sqrt{2}; + \infty)$, suy ra $m \geq 1 + \sqrt{2}$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $m$ là $m_{\min} = 1 + \sqrt{2} \approx 2,41$.

Tìm v sao cho hàm số E(v) = P(v).t đạt GTNN.

Thời gian di chuyển hết quãng đường là $t = \dfrac{120}{v}$ giờ.

Điện năng tiêu thụ trên cả quãng đường là:

$E(v) = P(v).t = \left( {12 + \dfrac{v^{2}}{300}} \right)\dfrac{120}{v} = \dfrac{1440}{v} + \dfrac{2v}{5}$ (kWh).

Ta có $\left. E'(v) = - \dfrac{1440}{v^{2}} + \dfrac{2}{5} = 0\Rightarrow v = 60 \right.$ (vì v > 0).

Lập bảng biến thiên, thấy hàm số đạt GTNN tại v = 60.

Vậy để điện năng tiêu thụ trên cả quãng đường là nhỏ nhất, xe cần chạy với vận tốc 60 km trên giờ.

Lập hàm số biểu diễn thể tích của chiếc hộp, tìm x để hàm số đạt GTLN.

Sau khi cắt bốn góc và gấp thành chiếc hộp không nắp, chiều dài và chiều rộng của đáy hộp lần lượt là $30 - 2x$ và $20 - 2x$, chiều cao của hộp là $x$, với điều kiện $0 < x < 10$.

Thể tích của chiếc hộp là:

$V(x) = x(30 - 2x)(20 - 2x)$

$= 4(x^{3} - 25x^{2} + 150x)$.

Đạo hàm \(\left. V'(x) = 4(3x^{2} - 50x + 150) = 0\)

\(\Leftrightarrow x = \dfrac{25 \pm 5\sqrt{7}}{3} \right.\).

Xét trên khoảng (0; 10), phương trình chỉ có một nghiệm là $x_{0} = \dfrac{25 - 5\sqrt{7}}{3}$.

Trên khoảng (0; 10), đạo hàm V’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua điểm $x_{0} = \dfrac{25 - 5\sqrt{7}}{3}$, do đó thể tích $V(x)$ đạt giá trị lớn nhất tại $x_{0} \approx 3,9$ cm.

Lập hàm lợi nhuận của cửa hàng theo x và tìm GTLN của hàm số đó.

Doanh thu bán hàng mỗi tháng là:

$R(x) = x.p(x) = x(600 - 0,5x) = - 0,5x^{2} + 600x$ (nghìn đồng).

Lợi nhuận mỗi tháng là:

$L(x) = R(x) - C(x) = ( - 0,5x^{2} + 600x) - (100x + 50000)$

$= - 0,5x^{2} + 500x - 50000$ (nghìn đồng).

Hàm số bậc hai $L(x)$ đạt giá trị lớn nhất tại $x = - \dfrac{500}{2.( - 0,5)} = 500$, giá trị này thỏa mãn $0 \leq x \leq 800$.

Lợi nhuận lớn nhất cửa hàng có thể đạt được là:

$L(500) = - 0,5{(500)}^{2} + 500(500) - 50000 = 75000$ nghìn đồng = 75 triệu đồng.

Dựa vào tiệm cận và giao của đồ thị với trục tung để xác định các hệ số.

Đồ thị hàm số $y = \dfrac{3x + b}{cx + d}$ có đường tiệm cận đứng là $\left. x = - 2\Rightarrow - \dfrac{d}{c} = - 2\Leftrightarrow d = 2c \right.$.

Đường tiệm cận ngang là $\left. y = 3\Rightarrow\dfrac{3}{c} = 3\Leftrightarrow c = 1 \right.$, suy ra $d = 2$.

Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0; 6) nên $\left. \dfrac{b}{d} = 6\Leftrightarrow b = 6d = 12 \right.$.

Kiểm tra lại giao điểm với trục hoành tại (-4; 0): $\dfrac{3( - 4) + 12}{1( - 4) + 2} = 0$, hoàn toàn phù hợp với đồ thị.

Giá trị của biểu thức là: T = 2b + 3c – 4d = 2.12 + 3.1 – 4.2 = 19.

Giả sử đồ thị hàm số y = f(x) có tiệm cận đứng là đường thẳng y = ax + b (a khác 0).

Khi đó $a = \lim\limits_{x\rightarrow + \infty}\dfrac{f(x)}{x}$ hoặc $a = \lim\limits_{x\rightarrow - \infty}\dfrac{f(x)}{x}$; $b = \lim\limits_{x\rightarrow + \infty}\left\lbrack {f(x) - ax} \right\rbrack$ hoặc $b = \lim\limits_{x\rightarrow - \infty}\left\lbrack {f(x) - ax} \right\rbrack$.

Đồ thị hàm số $y = \sqrt[3]{8x^{3} + 2x + 1}$ có đường tiệm cận xiên $y = ax + b$ xác định bởi:

$a = \lim\limits_{x\rightarrow \pm \infty}\dfrac{\sqrt[3]{8x^{3} + 2x + 1}}{x} = \lim\limits_{x\rightarrow \pm \infty}\sqrt[3]{8 + \dfrac{2}{x^{2}} + \dfrac{1}{x^{3}}} = 2$.

$b = \lim\limits_{x\rightarrow \pm \infty}\left( {\sqrt[3]{8x^{3} + 2x + 1} - 2x} \right)$

$= \lim\limits_{x\rightarrow \pm \infty}\dfrac{2x + 1}{\sqrt[3]{{(8x^{3} + 2x + 1)}^{2}} + 2x\sqrt[3]{8x^{3} + 2x + 1} + 4x^{2}} = 0$.

Suy ra a = 2 và b = 0.

Giá trị của biểu thức là: T = 2026a + 2027b = 2026.2 + 2027.0 = 4052.