Đề thi giữa kì 2 Toán 12 năm 2025 - 2026 trường THPT Lê Quý Đôn - Hải Phòng

Sử dụng định nghĩa nguyên hàm của hàm số trên một khoảng.

Theo định nghĩa, hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng K nếu F’(x) = f(x) với mọi $x \in K$.

Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản ${\int x^{n}}dx = \dfrac{x^{n + 1}}{n + 1} + C$.

Ta có $f(x) = (x + 1)(x + 2) = x^{2} + 3x + 2$.

Khi đó $F(x) = {\int{(x^{2} + 3x + 2)dx}} = \dfrac{x^{3}}{3} + \dfrac{3}{2}x^{2} + 2x + C$.

Tìm họ nguyên hàm ${\int\sin}xdx = - \cos x + C$, sau đó thay x = 0 vào điều kiện F(0) = 1 để tìm hằng số C.

Ta có $F(x) = {\int\sin}xdx = - \cos x + C$.

Theo đề bài $\left. F(0) = 1\Leftrightarrow - \cos 0 + C = 1\Leftrightarrow - 1 + C = 1\Leftrightarrow C = 2 \right.$.

Do đó $F(x) = - \cos x + 2$.

Áp dụng tính chất cơ bản của tích phân.

Theo tính chất tích phân, ${\int_{a}^{a}f}(x)dx = 0$. Do đó mệnh đề ${\int_{a}^{a}f}(x)dx = 1$ là sai.

Áp dụng tính chất chèn điểm của tích phân: ${\int_{a}^{c}f}(x)dx = {\int_{a}^{b}f}(x)dx + {\int_{b}^{c}f}(x)dx$.

Ta có $I = {\int_{0}^{3}f}(x)dx = {\int_{0}^{1}f}(x)dx + {\int_{1}^{3}f}(x)dx = 2 + 6 = 8$.

Sử dụng tính chất của tích phân: ${\int_{a}^{b}{(f(}}x) + g(x))dx = {\int_{a}^{b}f}(x)dx + {\int_{a}^{b}g}(x)dx$.

Ta có ${\int_{0}^{2}{(f(}}x) + 1)dx = {\int_{0}^{2}f}(x)dx + {\int_{0}^{2}1}dx = 3 + x\left|$$\begin{matrix} {}^{2} \\ {}_{0} \end{matrix}$ \right. = 3 + (2 - 0) = 5.

Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng $S = {\int_{a}^{b}{\left| {f(x)} \right|dx}}$.

Vì $y = \sqrt[3]{x} \geq 0$ trên đoạn [1; 8] nên diện tích hình phẳng là:

$S = {\int_{1}^{8}\sqrt[3]{x}}dx = {\int_{1}^{8}x^{\dfrac{1}{3}}}dx = \left. {\dfrac{3}{4}x^{\dfrac{4}{3}}} \right|_{1}^{8} = \dfrac{3}{4}\left( {8^{\dfrac{4}{3}} - 1^{\dfrac{4}{3}}} \right) = \dfrac{45}{4}$.

Áp dụng công thức thể tích khối tròn xoay $V = \pi{\int_{a}^{b}f^{2}}(x)dx$.

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \sin x$, y = 0, x = 0, $x = \pi$ quay quanh trục Ox là $V = \pi{\int_{0}^{\pi}\sin^{2}}xdx$.

Quan sát đồ thị hàm số y = f(x) trên các khoảng [-2; 1] và [1; 3] để xét dấu của f(x) và phá dấu giá trị tuyệt đối trong công thức $\left. S = \left. \int_{- 2}^{3} \right|f(x) \middle| dx \right.$.

Dựa vào hình vẽ, trên khoảng (-2; 1) đồ thị nằm phía trên trục Ox nên $f(x) \geq 0$; trên khoảng (1; 3) đồ thị nằm phía dưới trục Ox nên $f(x) \leq 0$.

Do đó $S = \ \int_{- 2}^{3}|f(x)| dx$ $= {\int_{- 2}^{1}f}(x)dx + {\int_{1}^{3}{( - f(}}x))dx$ $= {\int_{- 2}^{1}f}(x)dx - {\int_{1}^{3}f}(x)dx$.

Mặt phẳng (Oxz) có phương trình y = 0, từ đó xác định vectơ pháp tuyến $\overset{\rightarrow}{n} = (0;1;0) = \overset{\rightarrow}{j}$.

Mặt phẳng (Oxz) vuông góc với trục Oy nên vectơ đơn vị của trục Oy là $\overset{\rightarrow}{j} = (0;1;0)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxz).

Mặt phẳng trung trực của AB đi qua trung điểm I của AB và nhận $\overset{\rightarrow}{AB}$ làm vectơ pháp tuyến.

Trung điểm I của đoạn thẳng AB có tọa độ $I\left( {\dfrac{1 + 1}{2};\dfrac{2 + ( - 2)}{2};\dfrac{- 3 + 1}{2}} \right) = (1;0; - 1)$.

Vectơ $\overset{\rightarrow}{AB} = (0; - 4;4)$, chọn một vectơ pháp tuyến cùng phương là $\overset{\rightarrow}{n} = (0;1; - 1)$.

Phương trình mặt phẳng trung trực của AB là: $0(x - 1) + 1(y - 0) - 1(z + 1) = 0$ $\left. \Leftrightarrow y - z - 1 = 0 \right.$.

Xác định tọa độ các hình chiếu A, B, C, lập phương trình mặt phẳng (ABC) theo phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, từ đó tìm mặt phẳng song song.

Tọa độ hình chiếu của M trên Ox, Oy, Oz lần lượt là A(-1; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 2).

Phương trình mặt phẳng (ABC) theo đoạn chắn là: $\left. \dfrac{x}{- 1} + \dfrac{y}{3} + \dfrac{z}{2} = 1\Leftrightarrow 6x - 2y - 3z + 6 = 0 \right.$.

Mặt phẳng song song với (ABC) có dạng 6x - 2y - 3z + D = 0 với $D \neq 6$. Đối chiếu với các phương án ta thấy mặt phẳng 6x - 2y - 3z + 12 = 0 thỏa mãn.

Tìm họ nguyên hàm $F(x) = {\int{\left( {x - \dfrac{1}{x}} \right)dx}} = \dfrac{x^{2}}{2} - \ln x + C$ (do x > 0), sau đó lần lượt kiểm tra từng phát biểu.

a) Sai. Họ nguyên hàm của f(x) trên $(0; + \infty)$ là $F(x) = {\int{\dfrac{x^{2} - 1}{x}dx}} = {\int{\left( {x - \dfrac{1}{x}} \right)dx}} = \dfrac{x^{2}}{2} - \ln x + C$.

b) Đúng. Ta có $\left. F(1) = \dfrac{3}{2}\Rightarrow\dfrac{1^{2}}{2} - \ln 1 + C = \dfrac{3}{2}\Rightarrow C = 1 \right.$.

Khi đó $\left. F(x) = \dfrac{x^{2}}{2} - \ln x + 1\Rightarrow F(e) = \dfrac{e^{2}}{2} - \ln e + 1 = \dfrac{e^{2}}{2} \right.$.

c) Đúng. Theo định nghĩa nguyên hàm, F’(x) = f(x), $\forall x \in (0; + \infty)$.

d) Đúng. Đồ thị đi qua $\left. M\left( {e;\dfrac{e^{2}}{2}} \right)\Rightarrow F(e) = \dfrac{e^{2}}{2} \right.$ $\left. \Rightarrow\dfrac{e^{2}}{2} - \ln e + C = \dfrac{e^{2}}{2} \right.$ $\left. \Rightarrow C = 1 \right.$.

Do đó $F(1) = \dfrac{1^{2}}{2} - \ln 1 + 1 = \dfrac{3}{2}$.

Áp dụng định nghĩa và tính chất của tích phân.

a) Đúng. $I = {\int_{- 2}^{3}f}(x)dx = F(3) - F( - 2) = 5 - 1 = 4$.

b) Đúng. Ta có ${\int_{- 2}^{4}f}(x)dx = {\int_{- 2}^{3}f}(x)dx + {\int_{3}^{4}f}(x)dx = 4 + 2 = 6$.

Khi đó $K = {\int_{- 2}^{4}f}(x)dx + {\int_{- 2}^{4}2}xdx = 6 + \left. x^{2} \right|_{- 2}^{4} = 6 + (16 - 4) = 18$.

c) Sai. Vì f(x) > 0 nên $e^{\ln f(x) + 1} = e.e^{\ln f(x)} = e.f(x)$.

Do đó $H = {\int_{- 2}^{3}{(e.f(x) + 4)dx}}$ $= e{\int_{- 2}^{3}{f(x)dx}} + {\int_{- 2}^{3}{4dx}}$ $= e.4 + 4(3 - ( - 2))$ $= 4e + 20$.

d) Sai. ${\int_{- 2}^{4}f}(x)dx = 6$ $\left. \Rightarrow M = {\int_{4}^{- 2}f}(x)dx = - {\int_{- 2}^{4}f}(x)dx = - 6 \right.$.

Xét dấu $y = x^{2} - 3x$ trên [0; 3] và [3; a] để tính diện tích hình phẳng và tích phân xác định.

a) Đúng. Trên [0; 3], $x^{2} - 3x \leq 0$ $\left. \Rightarrow S_{A} = {\int_{0}^{3}{\left| {x^{2} - 3x} \right|dx}} \right.$ $= {\int_{0}^{3}{(3x - x^{2})dx}}$ $= \left. \left( {\dfrac{3}{2}x^{2} - \dfrac{x^{3}}{3}} \right) \right|_{0}^{3}$ $= \dfrac{27}{2} - 9 = \dfrac{9}{2}$.

b) Đúng. Với a>3, trên đoạn [3; a] ta có $\left. x^{2} - 3x \geq 0\Rightarrow S_{B} = {\int_{3}^{a}{(x^{2} - 3x)}}dx \right.$.

c) Sai. Với a = 4, $S_{B} = {\int_{3}^{4}{(x^{2} - 3x)dx}}$ $= \left. \left( {\dfrac{x^{3}}{3} - \dfrac{3x^{2}}{2}} \right) \right|_{3}^{4}$ $= \left( {\dfrac{64}{3} - 24} \right) - \left( {9 - \dfrac{27}{2}} \right)$ $= \dfrac{11}{6}$.

Khi đó $2S_{B} = \dfrac{11}{3} \neq S_{A} = \dfrac{9}{2}$.

d) Đúng. Ta có $\int_{0}^{a}{(x^{2} - 3x)dx}$ $= {\int_{0}^{3}{(x^{2} - 3x)dx}} + {\int_{3}^{a}{(x^{2} - 3x)dx}}$ $= - S_{A} + S_{B}$ $= S_{B} - S_{A}$.

Sử dụng các công thức liên quan đến mặt phẳng: vectơ pháp tuyến, mặt phẳng song song, góc giữa hai mặt phẳng $\cos\varphi = \dfrac{\left| {{\overset{\rightarrow}{n}}_{1}.{\overset{\rightarrow}{n}}_{2}} \right|}{\left| {\overset{\rightarrow}{n}}_{1} \right|.\left| {\overset{\rightarrow}{n}}_{2} \right|}$ và khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng $d(N,(R)) = \dfrac{\left| 3x_{N} - 2y_{N} + z_{N} + D \right|}{\sqrt{3^{2} + {( - 2)}^{2} + 1^{2}}}$.

a) Đúng. Mặt phẳng (P): 3x-2y + z + 1 = 0 có $\overset{\rightarrow}{n} = (3; - 2;1)$.

b) Đúng. Mặt phẳng (Q) song song (P) nên có dạng 3x - 2y + z + D = 0 ($D \neq 1$).

M đi qua (Q) $\left. \Rightarrow 3(2) - 2( - 1) + 4 + D = 0\Leftrightarrow D = - 12 \right.$.

Do đó phương trình (Q): 3x - 2y + z - 12 = 0.

c) Đúng. Mặt phẳng (Oxy) có $\overset{\rightarrow}{k} = (0;0;1)$. Góc $\varphi$ giữa (P) và (Oxy) thỏa mãn:

$\left. \cos\varphi = \dfrac{\left| {3.0 + ( - 2).0 + 1.1} \right|}{\sqrt{3^{2} + {( - 2)}^{2} + 1^{2}}.1} = \dfrac{1}{\sqrt{14}}\Rightarrow\varphi \approx 74,5^{o} > 50^{o} \right.$.

d) Sai. Mặt phẳng (R) song song với (P) có dạng (R): 3x - 2y + z + D = 0 ($D \neq 1$).

$\left. d(N,(R)) = \dfrac{\left| {3.1 - 2( - 1) + 5 + D} \right|}{\sqrt{14}} = \dfrac{11}{\sqrt{14}}\Leftrightarrow D = 1 \right.$ (loại) hoặc D = -21.

Do đó phương trình đúng của mặt phẳng (R) là 3x - 2y + z - 21 = 0.

Tìm $F(x) = {\int{(e^{x} - 2x + 1)dx}}$, tìm C từ F(0) = 2, sau đó tính F(1).

$F(x) = {\int{(e^{x} - 2x + 1)dx}} = e^{x} - x^{2} + x + C$.

$\left. F(0) = 2\Leftrightarrow e^{0} - 0 + 0 + C = 2\Leftrightarrow C = 1 \right.$.

Suy ra $F(x) = e^{x} - x^{2} + x + 1$.

$F(1) = e^{1} - 1^{2} + 1 + 1 \approx 3,72$.

Giải phương trình hoành độ giao điểm $x^{3} - 2x = x^{2}$ để tìm các nghiệm, sau đó tính diện tích bằng công thức $S = {\int_{x_{1}}^{x_{2}}{\left| {f(x) - g(x)} \right|dx}}$.

Phương trình hoành độ giao điểm: $\left. x^{3} - 2x = x^{2}\Leftrightarrow x^{3} - x^{2} - 2x = 0\Leftrightarrow x = - 1 \right.$, x = 0, x = 2.

Diện tích hình phẳng là: $S = {\int_{- 1}^{2}{\left| {\left( {x^{3} - 2x} \right) - x^{2}} \right|dx}}$

$= {\int_{- 1}^{0}{(x^{3} - 2x - x^{2})dx}} + {\int_{0}^{2}{(x^{2} - x^{3} + 2x)dx}} \approx 3,08$.

Vận tốc là nguyên hàm của gia tốc $v(t) = {\int{a(t)dt}}$, với v(0) = 10. Tính quãng đường $s = {\int_{0}^{10}v}(t)dt$.

Vận tốc $v(t) = {\int{(3t + t^{2})}}dt = \dfrac{3}{2}t^{2} + \dfrac{t^{3}}{3} + C$.

Tại t = 0, $\left. v(0) = 10\Rightarrow C = 10\Rightarrow v(t) = \dfrac{t^{3}}{3} + \dfrac{3}{2}t^{2} + 10 \right.$.

Quãng đường đi được sau 10 giây là:

$s = {\int_{0}^{10}{\left( {\dfrac{t^{3}}{3} + \dfrac{3}{2}t^{2} + 10} \right)dt}}$ $= \left. \left( {\dfrac{t^{4}}{12} + \dfrac{t^{3}}{2} + 10t} \right) \right|_{0}^{10} = \dfrac{4300}{3}$.

Phân số tối giản là $\left. \dfrac{a}{b} = \dfrac{4300}{3}\Rightarrow a = 4300 \right.$, $b = 3$.

Vậy a + b = 4300 + 3 = 4303.

Chọn hệ trục tọa độ Oxy với gốc O tại tâm viên gạch. Lập phương trình parabol và tính diện tích của 4 cánh hoa, từ đó tính diện tích phần còn lại và tổng chi phí.

Đổi kích thước viên gạch 4 dm = 0,4 m. Diện tích cả viên gạch là $S_{d} = 0,4.0,4 = 0,16$ $(\text{m}^{2})$.

Xét hệ trục Oxy với gốc O tại tâm viên gạch. Viên gạch là hình vuông giới hạn bởi $x = \pm 0,2$ và $y = \pm 0,2$.

Mỗi cánh hoa được tạo bởi 2 parabol đỉnh O.

Xét một nửa cánh hoa nằm ở góc phần tư thứ nhất, giới hạn bởi parabol đi qua điểm (0,2; 0,2) có dạng $\left. y = kx^{2}\Rightarrow 0,2 = k{(0,2)}^{2}\Rightarrow k = 5\Rightarrow y = 5x^{2} \right.$ và đường $\left. x = 5y^{2}\Leftrightarrow y = \sqrt{\dfrac{x}{5}} \right.$.

Diện tích 1 cánh hoa là: $S_{1} = {\int_{0}^{0,2}{\left( {\sqrt{\dfrac{x}{5}} - 5x^{2}} \right)dx}}$ $= \left. \left( {\dfrac{1}{\sqrt{5}}.\dfrac{2}{3}x^{\dfrac{3}{2}} - \dfrac{5}{3}x^{3}} \right) \right|_{0}^{0,2}$ $= \left( {\dfrac{2}{3\sqrt{5}}.{(0,2)}^{\dfrac{3}{2}} - \dfrac{5}{3}{(0,2)}^{3}} \right) = \dfrac{1}{75}$ $(\text{m}^{2})$.

Tổng diện tích 4 cánh hoa (màu đen) là: $S_{den} = 4.S_{1} = 4.\dfrac{1}{75} = \dfrac{4}{75}$ $(\text{m}^{2})$.

Diện tích phần màu trắng là: $S_{trang} = 0,16 - \dfrac{4}{75} = \dfrac{8}{75}$ $\text{(m}^{2})$.

Tổng chi phí sơn viên gạch là: $T = S_{den}.300 + S_{trang}.400 = \dfrac{4}{75}.300 + \dfrac{8}{75}.400 = \dfrac{176}{3} \approx 59$ (nghìn đồng).

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là tích có hướng của hai vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) và (R).

Vectơ pháp tuyến của (Q) là ${\overset{\rightarrow}{n}}_{Q} = (1;1;3)$, của (R) là ${\overset{\rightarrow}{n}}_{R} = (2; - 1;1)$.

Mặt phẳng (P) vuông góc với (Q) và (R) nên nhận ${\overset{\rightarrow}{n}}_{P} = \lbrack{\overset{\rightarrow}{n}}_{Q},{\overset{\rightarrow}{n}}_{R}\rbrack$ làm vectơ pháp tuyến.

${\overset{\rightarrow}{n}}_{P} = \left( {1.1 - 3( - 1);3.2 - 1.1;1( - 1) - 1.2} \right) = (4;5; - 3)$.

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua B(2; 1; -3) có vectơ pháp tuyến ${\overset{\rightarrow}{n}}_{P} = (4;5; - 3)$ là:

$4(x - 2) + 5(y - 1) - 3(z + 3) = 0$ $\left. \Leftrightarrow 4x + 5y - 3z - 22 = 0 \right.$.

So sánh với dạng Ax + By - 3z + D = 0, ta có A = 4, B = 5, D = -22.

Vậy A + B + D = 4 + 5 + (-22) = -13.

Xác định tọa độ các điểm O, G, B, D, lập phương trình mặt phẳng (OBED) rồi áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (OBED).

Mặt sân OAGD là hình chữ nhật thuộc mặt phẳng (Oxy) có OA = 80 m trên trục Ox, OD = 50 m trên trục Oy. Do đó O(0; 0; 0), A(80; 0; 0), D(0; 50; 0), G(80; 50; 0).

Ta có $\overset{\rightarrow}{OB} = (10;10;8)$, $\overset{\rightarrow}{OD} = (0;50;0)$.

$\lbrack\overset{\rightarrow}{OB},\overset{\rightarrow}{OD}\rbrack = (10.0 - 8.50;8.0 - 10.0;10.50 - 10.0) = ( - 400;0;500)$.

Suy ra một vectơ pháp tuyến của (OBED) là $\overset{\rightarrow}{n} = (4;0; - 5)$.

Phương trình mặt phẳng (OBED) đi qua O(0; 0; 0) là: 4x - 5z = 0.

Khoảng cách từ điểm G(80; 50; 0) đến mặt phẳng (OBED) là:

$d(G,(OBED)) = \dfrac{\left| {4.80 - 5.0} \right|}{\sqrt{4^{2} + 0^{2} + {( - 5)}^{2}}} = \dfrac{320}{\sqrt{41}} \approx 50$ (m).