Đề thi học kì 1 Toán 12 - Đề số 11

Dựa vào BBT.

+ Khoảng đồng biến: Có đạo hàm dương, đồ thị đi lên.

+ Khoảng nghịch biến: Có đạo hàm âm, đồ thị đi xuống.

Dựa vào BBT ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty;0),(2;+\infty)$, nghịch biến trên khoảng (0;2).

Quan sát và nhận xét BBT.

Từ BBT ta thấy hàm số đã cho có 3 điểm cực trị là x = 0, $x = \pm 2$.

Số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng bằng số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.

Phương trình hoành độ giao điểm:

$\left. x^{3} - 3x^{2} - 2 = 2x + 3\Leftrightarrow x^{3} - 3x^{2} - 2x - 5 = 0 \right.$.

Sử dụng MTBT có thể kiểm tra được phương trình trên có 1 nghiệm duy nhất.

Do đó đồ thị hàm số và đường thẳng đã cho có duy nhất 1 giao điểm.

Tìm TXĐ của hàm số.

Sử dụng định nghĩa đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

+ Đồ thị hàm số y = f(x) có TCN $y = y_{0}$ nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau: $\lim\limits_{x\rightarrow + \infty}y = y_{0}$ hoặc $\lim\limits_{x\rightarrow - \infty}y = y_{0}$.

+ Đồ thị hàm số y = f(x) có TCĐ $x = x_{0}$ nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau: $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}^{+}}y = + \infty$ hoặc $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}^{-}}y = - \infty$ hoặc $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}^{+}}y = + \infty$ hoặc $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}^{-}}y = - \infty$.

Sử dụng MTCT để tính giới hạn.

TXĐ: $D = R\backslash\left\{ 3 \right\}$.

+ $\lim\limits_{x\rightarrow + \infty}y = 0$ nên đồ thị hàm số có TCN y = 0.

+ $\lim\limits_{x\rightarrow 3^{+}}y = - \infty$ nên đồ thị hàm số có TCĐ x = 3.

Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.

Dựa vào BBT.

Dựa vào BBT ta thấy:

Đồ thị hàm số và trục hoành có 2 điểm chung nên A sai.

Cho $A(x_{A};y_{A};z_{A}),B(x_{B};y_{B};z_{B})$. Khi đó $\overset{\rightarrow}{AB} = (x_{B} - x_{A};y_{B} - y_{A};z_{B} - z_{A})$.

Ta có: $\overset{\rightarrow}{MN} = (4;2; - 4)$.

Tọa độ của $\overset{\rightarrow}{u} = a\overset{\rightarrow}{i} + b\overset{\rightarrow}{j} + c\overset{\rightarrow}{k}$ là (a; b; c).

Tọa độ của vectơ $\overset{\rightarrow}{u} = 2\overset{\rightarrow}{j} - \overset{\rightarrow}{k}$ là (0; 2; -1).

$S_{\Delta ABC} = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$.

$\left. \overset{\rightarrow}{AB} = ( - 2,3,0)\Rightarrow AB = \sqrt{13} \right.$.

$\left. \overset{\rightarrow}{AC} = ( - 2,0,4)\Rightarrow AC = \sqrt{20} \right.$.

$\left. \overset{\rightarrow}{BC} = (0, - 3,4)\Rightarrow BC = 5 \right.$.

$\left. \Rightarrow p = \dfrac{a + b + c}{2} = \dfrac{\sqrt{13} + \sqrt{20} + 5}{2} \right.$.

$\left. \Rightarrow S_{\Delta ABC} = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} = \sqrt{61} \right.$.

Xác định góc giữa hai vectơ $5\overset{\rightarrow}{u}, - 3\overset{\rightarrow}{v}$.

Sử dụng công thức $\overset{\rightarrow}{a}.\overset{\rightarrow}{b} = \left| \overset{\rightarrow}{a} \right|.\left| \overset{\rightarrow}{b} \right|.\cos(\overset{\rightarrow}{a},\overset{\rightarrow}{b})$.

Vì $\left. (\overset{\rightarrow}{u},\overset{\rightarrow}{v}) = 45^{o}\Rightarrow(5\overset{\rightarrow}{u}, - 3\overset{\rightarrow}{v}) = 135^{o} \right.$.

Ta có: $5\overset{\rightarrow}{u}.( - 3\overset{\rightarrow}{v}) = \left| {5\overset{\rightarrow}{u}} \right|.\left| {- 3\overset{\rightarrow}{v}} \right|.\cos(5\overset{\rightarrow}{u}, - 3\overset{\rightarrow}{v})$ $= 5\sqrt{2}.9.\cos 135^{o} = - 45$.

Dựa vào định nghĩa phương sai và độ lệch chuẩn.

Mẫu số liệu ghép nhóm có phương sai bằng 16 thì có độ lệch chuẩn bằng $\sqrt{16} = 4$.

Dựa vào định nghĩa các số đặc trưng của mẫu số liệu ghép nhóm.

Nếu thay tất cả các tần số trong mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng 4 thì số đặc trưng không đổi là khoảng biến thiên.

Áp dụng công thức tính phương sai và độ lệch chuẩn: $s^{2} = \dfrac{m_{1}{(x_{1} - \overline{x})}^{2} + \ldots + m_{k}{(x_{k} - \overline{x})}^{2}}{n}$; $s = \sqrt{s^{2}}$.

Cỡ mẫu n = 3 + 6 + 3 + 5 + 3 = 20.

$\overline{x} = \dfrac{1}{20}\lbrack 3.89 + 6.107 + 3.125 + 5.143 + 3.161\rbrack = 124,1$.

Phương sai của mẫu số liệu là:

$s^{2} = \dfrac{1}{20}\lbrack 3.89^{2} + 6.107^{2} + 3.125^{2} + 5.143^{2} + 3.161^{2}\rbrack - 124,1^{2} = 566,19$.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu: $s = \sqrt{s^{2}} = \sqrt{566,19} \approx 23,79$.

Quan sát đồ thị hàm số.

a) Sai. Dựa vào đồ thị, ta có hàm số y = g(x) đạt cực tiểu tại điểm $0 < x_{0} < 1$.

b) Sai. Có hàm số y = g(x) có đúng một điểm cực trị.

c) Sai. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = f(x) là điểm (1; -3).

d) Đúng. Ta có giá trị cực đại của hàm số y = f(x) là $y_{0} = 1$.

Áp dụng biểu thức tọa độ các phép toán vecto trong không gian.

a) Sai. Trong không gian Oxyz, gốc tọa độ O(0; 0; 0).

b) Đúng. Điểm A(1; 2; 3), suy ra $\overset{\rightarrow}{OA} = 1.\overset{\rightarrow}{i} + 2.\overset{\rightarrow}{j} + 3.\overset{\rightarrow}{k} = (1;2;3)$.

c) Đúng. Có B(5; 0; -1). Suy ra vectơ $\overset{\rightarrow}{OB} = 5.\overset{\rightarrow}{i} - 1.\overset{\rightarrow}{k}$.

d) Đúng. Ta có $\overset{\rightarrow}{OA} = 1.\overset{\rightarrow}{i} + 2.\overset{\rightarrow}{j} + 3.\overset{\rightarrow}{k} = (1;2;3)$, $\left. C(a;b;c)\Rightarrow\overset{\rightarrow}{OC} = a\overset{\rightarrow}{i} + b\overset{\rightarrow}{j} + c\overset{\rightarrow}{k} \right.$.

$\overset{\rightarrow}{CB} = \overset{\rightarrow}{OB} - \overset{\rightarrow}{OC} = (5.\overset{\rightarrow}{i} - 1.\overset{\rightarrow}{k}) - (a.\overset{\rightarrow}{i} + b.\overset{\rightarrow}{j} + c.\overset{\rightarrow}{k}) = (5 - a;b; - 1 - c)$.

OABC hình bình hành, thì $\left.$$\left\{ \begin{array}{l} {5 - a = 1} \\ {b = 2} \\ {- 1 - c = 3} \end{array} \right.$Leftrightarrow$\left\{ \begin{array}{l} {a = 4} \\ {b = 2} \\ {c = - 4} \end{array} \right.$ \right.. Khi đó a + b + c = 2.

Áp dụng công thức tính các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm

a) Sai. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ở Nha Trang bằng 310 - 130 = 180.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ở Quy Nhơn bằng 310 - 160 = 150.

Vậy hai trạm đều có khoảng biến thiên khác nhau.

b) Đúng. Cỡ mẫu: n = 20.

Gọi $x_{1};x_{2};\ldots;x_{20}$ là mẫu số liệu gốc về số giờ nắng trong tháng 6 trong 20 năm của Nha Trang được xếp theo thứ tự không giảm.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\dfrac{1}{2}(x_{5} + x_{6}) \in \lbrack 220;250)$.

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$Q_{1} = 220 + \dfrac{\dfrac{20}{4} - (1 + 1 + 1)}{8}(250 - 220) = 227,5$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\dfrac{1}{2}(x_{15} + x_{16}) \in \lbrack 250;280)$.

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$Q_{3} = 250 + \dfrac{\dfrac{3.20}{4} - (1 + 1 + 1 + 8)}{7}(280 - 250) = \dfrac{1870}{7}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: $\Delta_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = 39,64$.

c) Đúng. Gọi $y_{1};y_{2};\ldots;y_{20}$ là mẫu số liệu gốc về số giờ nắng trong tháng 6 trong 20 năm của Quy Nhơn được xếp theo thứ tự không giảm.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\dfrac{1}{2}(y_{5} + y_{6}) \in \lbrack 220;250)$.

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$Q_{1'} = 220 + \dfrac{\dfrac{20}{4} - (1 + 2)}{4}(250 - 220) = 235$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\dfrac{1}{2}(y_{15} + y_{16}) \in \lbrack 250;280)$.

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$Q_{3'} = 250 + \dfrac{\dfrac{3.20}{4} - (1 + 2 + 4)}{10}(280 - 250) = 274$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: $\Delta_{Q'} = Q_{3'} - Q_{1'} = 39$.

Vậy nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì số giờ nắng trong tháng 6 của Quy Nhơn đồng đều hơn.

d) Sai. Xét số liệu của Nha Trang:

Số trung bình: ${\overline{x}}_{x} = \dfrac{1.145 + 1.175 + 1.205 + 8.235 + 7.265 + 2.295}{20} = 242,5$.

Độ lệch chuẩn: $\sigma_{x} = \sqrt{\dfrac{1.145^{2} + 1.175^{2} + 1.205^{2} + 8.235^{2} + 7.265^{2} + 2.295^{2}}{20} - 242,5^{2}} \approx 35,34$.

Xét số liệu của Quy Nhơn:

Số trung bình: ${\overline{x}}_{y} = \dfrac{1.175^{2} + 2.205^{2} + 4.235^{2} + 10.265^{2} + 3.295^{2}}{20} = 253$.

Độ lệch chuẩn: $\sigma_{y} = \sqrt{\dfrac{1.175^{2} + 2.205^{2} + 4.235^{2} + 10.265^{2} + 3.295^{2}}{20} - 253^{2}} \approx 30,59$.

Vậy nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì số giờ nắng trong tháng 6 của Quy Nhơn đồng đều hơn.

Khảo sát hàm số, sử dụng kiến thức về giới hạn của hàm số.

a) Đúng. Sau t phút, khối lượng muối trong bể là: 25.30t = 750t (gam).

b) Sai. Thể tích của lượng nước trong bể là 5000 + 25t (lít).

Vậy nồng độ muối sau t phút là $f(t) = \dfrac{750t}{5000 + 25t} = \dfrac{30t}{200 + t}$ (gam/lít).

c) Đúng. Ta có $\lim\limits_{t\rightarrow + \infty}f(t) = \lim\limits_{t\rightarrow + \infty}\dfrac{30t}{200 + t} = \lim\limits_{t\rightarrow + \infty}\left( {30 - \dfrac{6000}{200 + t}} \right) = 30$.

Vậy đường thẳng y = 30 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số f(t).

d) Đúng. Ta có đồ thị hàm số y = f(t) nhận đường thẳng y = 30 làm đường tiệm cận ngang, tức là khi t càng lớn thì nồng độ muối trong bể sẽ tiến gần đến mức 30 (gam/lít). Lúc đó, nồng độ muối trong bể sẽ gần như bằng nồng độ nước muối bơm vào bể.

Dựa vào hình dạng đồ thị và định lý Viete.

Ta có $\left. \lim\limits_{x\rightarrow + \infty}y = + \infty\Rightarrow a < 0 \right.$.

Gọi $x_{1},x_{2}$ là hoành độ hai điểm cực trị của hàm số suy ra $x_{1},x_{2}$ nghiệm phương trình $y' = 3ax^{2} + 2bx + c = 0$ nên theo định lý Viete:

+) Tổng hai nghiệm $\left. x_{1} + x_{2} = - \dfrac{2b}{3a} > 0\Rightarrow\dfrac{b}{a} < 0\Rightarrow b > 0 \right.$.

+) Tích hai nghiệm $\left. x_{1}x_{2} = \dfrac{c}{3a} > 0\Rightarrow c < 0 \right.$.

Lại có đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên d > 0.

Vậy có 2 số dương trong các số a, b, c, d.

Dựa vào lý thuyết tọa độ điểm trong không gian.

Ta có H $\in$ (Oyz) và hình chiếu của H lên Oy trùng với C nên H(0; 8; 7).

P = 50x + 75y + 1000z = 50.0 + 75.8 + 1000.7 = 7600.

Vậy P = 7600.

Áp dụng công thức tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm.

Cỡ mẫu: n = 100.

Số trung bình:

$\overline{x} = \dfrac{13.19,25 + 45.19,75 + 24.20,25 + 12.20,75 + 6.21,25}{100} = 20,015$.

Phương sai:

$S^{2} = \dfrac{13.19,25^{2} + 45.19,75^{2} + 24.20,25^{2} + 12.20,75^{2} + 6.21,25^{2}}{100} - 20,015^{2} \approx 0,28$.

Độ lệch chuẩn: $\sigma = \sqrt{0,28} \approx 0,53$.

Áp dụng công thức tính tích vô hướng của hai vecto trong không gian.

Ta có: $(\overset{\rightarrow}{a} + 3\overset{\rightarrow}{b}).(\overset{\rightarrow}{a} - 2\overset{\rightarrow}{b})$ $= {\overset{\rightarrow}{a}}^{2} - 6{\overset{\rightarrow}{b}}^{2} + \overset{\rightarrow}{a}.\overset{\rightarrow}{b}$ $= 1^{2} - 6.1^{2} + 1.1.\cos 45^{o}$ $\approx - 4,3$.

Áp dụng công thức tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm.

Số trung bình của mẫu số liệu là

$\overline{x} = \dfrac{18,3.2 + 21,3.3 + 24,3.2 + 27,3.1 + 30,3.4}{12} = 24,8$.

Phương sai của mẫu số liệu là:

$s^{2} = \dfrac{1}{12}\lbrack 2.{(18,3 - 24,8)}^{2} + 3.{(21,3 - 24,8)}^{2} + 2.{(24,3 - 24,8)}^{2} + 1.{(27,3 - 24,8)}^{2} + 4{(30,3 - 24,8)}^{2}\rbrack = 20,8$.

Ứng dụng đạo hàm, khảo sát hàm số.

Xét điểm M(x; f(x)) thuộc đồ thị hàm số $y = f(x) = \dfrac{1}{10}( - x^{3} + 9x^{2} - 15x + 56)$ với $0 \leq x \leq 8$.

Khoảng cách từ điểm M(x; f(x)) đến đường thẳng $\left. y = - 1,5x + 18\Leftrightarrow - 1,5x - y + 18 = 0 \right.$ là

$MH = \dfrac{\left| {- 1,5x - \dfrac{1}{10}( - x^{3} + 9x^{2} - 15x + 56) + 18} \right|}{\sqrt{{( - 1,5)}^{2} + 1}} = \dfrac{\left| x^{3} - 9x^{2} + 124 \right|}{10\sqrt{3,25}}$.

Ta khảo sát hàm số $h(x) = x^{3} - 9x^{2} + 124$ với $0 \leq x \leq 8$.

$h'(x) = 3x^{2} - 18x$.

$\left. h'(x) = 0\Leftrightarrow 3x^{2} - 18x = 0\Leftrightarrow x = 0 \right.$ hoặc x = 6.

Bảng biến thiên:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta có: h(x) > 0 với $0 \leq x \leq 8$; $\min_{\lbrack 0;8\rbrack}h(x) = h(6) = 16$ tại x = 6.

Do đó $\min MH = \min_{\lbrack 0;8\rbrack}\dfrac{\left| x^{3} - 9x^{2} + 124 \right|}{10\sqrt{3,25}}$ $= \dfrac{\min_{\lbrack 0;8\rbrack}h(x)}{10\sqrt{3,25}} = \dfrac{16}{10\sqrt{3,25}} \approx 0,8875$ và đạt được tại x = 6.