Đề thi học kì 2 Toán 11 năm 2024 - 2025 trường THPT Trần Quang Khải - Bà Rịa Vũng Tàu

Dựa vào lý thuyết về biến cố độc lập.

A và B độc lập thì $P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right).P(B)$.

Áp dụng tính chất của logarit.

${\log _b}x = {\log _b}a.{\log _a}x$ là mệnh đề đúng.

Đầu mút trái của nhóm [a; b) là a.

Đầu mút trái của nhóm [156; 158) là 156.

Áp dụng định nghĩa cổ điển của xác suất.

Số phần tử của không gian mẫu: 6.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố “mặt chẵn xuất hiện”: 3.

Xác suất để mặt chẵn xuất hiện là $I = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Áp dụng tính chất của căn bậc n và lũy thừa.

$P = {x^{\frac{2}{5}}}.\sqrt[3]{x} = {x^{\frac{2}{5}}}.{x^{\frac{1}{3}}} = {x^{\frac{2}{5} + \frac{1}{3}}} = {x^{\frac{{11}}{{15}}}}$.

Hàm số mũ có dạng $y = {a^x}$ với a > 0.

Vì $- \sqrt 3 < 0$ nên $y = {( - \sqrt 3 )^x}$ không phải hàm số mũ.

Tần số tích lũy của một nhóm là số số liệu trong mẫu số liệu có giá trị nhỏ hơn giá trị đầu mút phải của nhóm đó.

Tần số tích lũy của nhóm [55; 60) là: 2 + 14 + 11 = 27.

Quan sát các đặc điểm của đồ thị và điểm thuộc đồ thị.

Quan sát đồ thị, thấy:

- Hàm số xác định trên $\mathbb{R}$, do đó loại đáp án D.

- Đồ thị đi qua điểm (1; 3), tức khi x = 1 thì y = 3. Chỉ có hàm số $y = {\left( 3 \right)^x}$ thỏa mãn.

Áp dụng định lí $\{\begin{array}{l}b\mathrm{/}\mathrm{/}c\\ a\mathrm{\perp }c\end{array}\Rightarrow a\mathrm{\perp }b$$\left\{ \begin{array}{l}b//c\\a \bot c\end{array} \right.$ \Rightarrow a \bot b.

Ta có AB // A’B’, mà $A'B' \bot B'C'$ nên $AB \bot B'C'$.

Áp dụng công thức cộng và nhân xác suất của hai biến cố độc lập.

A và B độc lập thì $P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right).P(B)$.

Ta có $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

$\Leftrightarrow P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A).P(B)$

$\Leftrightarrow 0,725 = 0,45 + P(B) - 0,45.P(B)$

$\Leftrightarrow P(B) = 0,5$.

Áp dụng tính chất của căn bậc n.

$\sqrt[m]{{{a^n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}$ là khẳng định sai.

Áp dụng tính chất của logarit.

$I = {\log _{\frac{a}{2}}}\left( {\frac{{{a^3}}}{8}} \right) = {\log _{\frac{a}{2}}}{\left( {\frac{a}{2}} \right)^3} = 3$.

Áp dụng các điều kiện, tính chất của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hình chiếu vuông góc, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

c) Đúng. $SA \bot (ABCD) \Rightarrow SA \bot AB$.

b) Đúng. $\left.$$\begin{array}{l}SA \bot (ABCD) \Rightarrow SA \bot BD\\AC \bot BD\end{array}$ \right\} \Rightarrow BD \bot (SAC).

d) Đúng. H là hình chiếu của A lên SB, do đó $AH \bot SB$ (1)

Ta có $\left. \begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}SA \bot (ABCD) \Rightarrow SA \bot BC\\AB \bot BC\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot (SAB)\\AH \subset (SAB)\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot AH$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AH \bot (SBC) \Rightarrow AH \bot BC$.

a) Sai. Vì $\left.$$\begin{array}{l}AH \bot (SBC)\\H \in (SBC)\end{array}$ \right\} \Rightarrow H là hình chiếu của A lên (SBC).

Suy ra HC là hình chiếu của AC lên (SBC).

Ta có $\left( {AC,(SBC)} \right) = \left( {AC,HC} \right) = \widehat {ACH}$.

Xét tam giác SAB vuông tại A, đường cao AH:

$\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {2a\sqrt 3 } \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {2a} \right)}^2}}} \Rightarrow AH = a\sqrt 3$.

$AH \bot (SBC) \Rightarrow AH \bot HC \Rightarrow \Delta AHC$ vuông tại H. Ta có:

$\sin \widehat {ACH} = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{\sqrt 3 a}}{{2\sqrt 2 a}} = \frac{{\sqrt 6 }}{4} \Rightarrow \widehat {ACH} \approx {38^o}$.

Áp dụng công thức tính các số đặc trưng của mẫu số liệu ghép nhóm.

d) Đúng. Đầu mút phải của nhóm [40; 60) bằng 60.

a) Sai. Cỡ mẫu: n = 5 + 9 + 12 + 10 + 6 = 42.

Do đó ${Q_2} = {M_e} = \frac{{{x_{21}} + {x_{22}}}}{2}$, mặt khác 5 + 9 < 21,5 < 5 + 9 + 12 nên nhóm chứa tứ phân vị thứ hai là [40; 60).

b) Đúng. Trung vị của mẫu số liệu là:

${Q_2} = {M_e} = 40 + \frac{{\frac{{42}}{2} - (5 + 9)}}{{12}}(60 - 40) = \frac{{155}}{3}$.

c) Đúng. Mốt của mẫu số liệu là:

${M_o} = 40 + \frac{{12 - 9}}{{(12 - 9) + (12 - 10)}}(60 - 40) = 52$.

Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc giữa d và hình chiếu d’ của nó lên (P). Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông và định lí Pythagore để tính.

Xét tam giác ABC vuông tại B:

$AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}} = 2a$.

Vì $SA \bot \left( {ABC} \right)$ nên AB là hình chiếu của SB lên (ABC), do đó $\left( {SB,(ABC)} \right) = \widehat {SBA}$.

Xét tam giác SAB vuông tại A:

$\tan \widehat {SBA} = \frac{{SA}}{{AB}} \Rightarrow SA = a.\tan {60^o} = a\sqrt 3$.

Vì $SA \bot \left( {ABC} \right)$ nên AC là hình chiếu của SC lên (ABC), do đó $\left( {SC,(ABC)} \right) = \widehat {SCA}$.

Xét tam giác SAC vuông tại C:

$SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}} = a\sqrt 7$.

$\cos \widehat {SCA} = \frac{{AC}}{{SC}} = \frac{{2a}}{{a\sqrt 7 }} \approx 0,76$.

Thay số vào công thức đề bài cho.

Tuổi của cây rừng trên là:

$A = k.D^{b} = 2,5.30^{1,3} \approx 208$ (tuổi).

Áp dụng công thức nhân xác suất có hai biến cố độc lập.

Xác suất cả 2 bạn cùng ném bóng vào rổ là:

$P(A) = \dfrac{3}{7}.\dfrac{4}{5} = \dfrac{12}{35}$.

$Q = a + 2b = 12 + 2.35 = 82$.

Áp dụng công thức tính số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm.

Lương trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:

$\overline x = \frac{{12,5.5 + 17,5.8 + 22,5.12 + 27,5.10 + 32,5.2 + 37,5.3}}{{5 + 8 + 12 + 10 + 2 + 3}} \approx 23,1$ (triệu đồng).

Áp dụng phương pháp tổ hợp.

Có $n(\Omega) = C_{12}^5 = 792$.

Xét biến cố $A$: "Trong 5 viên bi được chọn không có viên bi màu vàng nào".

$\Rightarrow n(A) = C_7^5 = 21$.

Xét biến cố $B$: "Trong 5 viên bi được chọn có 1 viên bi màu vàng, 4 viên bi màu xanh".

$\Rightarrow n(B) = C_5^1 C_4^4 = 175$.

Xét biến cố $M$: "Trong 5 viên bi được chọn có ít nhất 2 viên bi màu vàng".

Xét biến cố $\bar{M}$: "Trong 5 viên bi được chọn có nhiều nhất 1 viên bi màu vàng".

Có $P(\bar{M}) = \frac{21 + 175}{792} = \frac{49}{198}$.

$\Rightarrow P(M) = 1 - P(\bar{M}) = 1 - \frac{49}{198} = \frac{149}{198}$.

Tìm ĐKXĐ của hàm số rồi kết luận TXĐ.

Hàm số xác định khi $9 - 5x > 0 \Leftrightarrow x < \frac{9}{5}$.

Vậy TXĐ: $D = \left( -\infty; \frac{9}{5} \right)$.

Áp dụng công thức lãi kép.

3 năm = 12 quý.

Số tiền anh An nhận được sau 1 quý:

$P_1 = 50(1+1,85\%)$ triệu đồng.

Số tiền anh An nhận được sau 2 quý:

$P_2 = 50(1+1,85\%)(1+1,85\%) = 50(1+1,85\%)^2$ triệu đồng.

Số tiền anh An nhận được sau 3 quý:

$P_3 = 50(1+1,85\%)^2(1+1,85\%) = 50(1+1,85\%)^3$ triệu đồng.

.....

Số tiền anh An nhận được sau $n$ quý:

$P_n = 50(1+1,85\%)^n$ triệu đồng.

Số tiền lãi anh An nhận được sau 3 năm:

$P_{12} - 50 = 50(1+1,85\%)^{12} - 50 \approx 12,3$ triệu đồng.