Giải toán 9, giải bài tập toán lớp 9 đầy đủ đại số và hình học Bài 2. Liên hệ giữa cung và dây

Bài 13 trang 72 SGK Toán 9 tập 2


Chứng minh rằng trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.

Đề bài

 Chứng minh rằng trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Dựa vào tính chất tam giác cân và tính chất hai đường thẳng song song để chỉ ra các cung có số đo bằng nhau.

+ Sử dụng : “ Hai cung bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau”

Lời giải chi tiết

TH1:  Tâm đường tròn nằm trong hai dây song song

 

Giả sử \(AB\) và \(CD\) là các dây song song của đường tròn \((O)\). Ta chứng minh \(\overparen{AC}\)= \(\overparen{BD}\).

Kẻ \(OI \bot AB\) \((I \in AB)\) và \(OK \bot CD (K\in CD)\).

Do \(AB //CD\) nên \(OI \bot CD\) (Đường thẳng vuông góc với 1 trong 2 đường thẳng song song thì cũng vuông góc với đường thẳng kia )

Do đó, OI trùng với OK (Qua O chỉ có 1 đường thẳng vuông góc với CD) hay \(I,O,K\) thẳng hàng.

Do các tam giác \(OAB, OCD\) là các tam giác cân đỉnh \(O\) nên các đường cao kẻ từ đỉnh đồng thời là phân giác.

Vì vậy ta có: \(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}} \) và \( \widehat {{O_3}} = \widehat {{O_4}}\)

Ta có: \(\widehat {AOC} = {180^0} - \widehat {{O_1}} - \widehat {{O_3}} = {180^0} - \widehat {{O_2}} - \widehat {{O_4}} = \widehat {BOD}\)

Suy ra  \(\overparen{AC}\)= \(\overparen{BD}\).

TH2: Tâm đường tròn nằm ngoài hai dây song song

Giả sử đường tròn \(\left( O \right)\) có hai dây song song \(AB//CD.\) Ta chứng minh cung \(\overparen{AC}\)  = \(\overparen{BD}\) .

Qua \(O\) kẻ đường kính \(EG//CD \Rightarrow EG//AB\) .

Nối \(OA,OC,OB,OD \Rightarrow OA = OB = OC = OD\) (= bán kính)

+ Xét tam giác \(OAB\) cân tại \(O\left( {{\rm{do}}\,OA = OB} \right)\) nên \(\widehat {OAB} = \widehat {OBA}\) (1)

Lại có \(EG//AB \Rightarrow \) \(\widehat {OAB} = \widehat {AOE};\,\widehat {OBA} = \widehat {BOG}\)  (so le trong)  (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow \) \(\widehat {EOA} = \widehat {BOG}\)  (*)

+  Xét tam giác \(OCD\) cân tại \(O\left( {{\rm{do}}\,OC = OD} \right)\) nên \(\widehat {OCD} = \widehat {ODC}\) (3)

Lại có \(EG//CD \Rightarrow \) \(\widehat {OCD} = \widehat {COE};\,\widehat {ODC} = \widehat {DOG}\)  (so le trong)  (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(\widehat {EOC} = \widehat {DOG}\) (**)

Từ (*) và (**) suy ra \(\widehat {EOA} - \widehat {EOC} = \widehat {BOG} - \widehat {DOG} \Leftrightarrow \widehat {AOC} = \widehat {BOD}  \) \( \Rightarrow \overparen{AC}\)\(=\overparen{BD}\) (đpcm) 


Bình chọn:
4.2 trên 137 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 9 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua