Giải SBT đại số, hình học toán lớp 9 tập 1, tập 2 Bài 8. Vị trí tương đối của hai đường tròn (tiếp theo)

Bài 77* trang 169 SBT toán 9 tập 1


Giải bài 77* trang 169 sách bài tập toán 9. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. kẻ tiếp tuyến chung ngoài MN với M thuộc (O) và N thuộc (O’). Gọi P là điểm đối xứng với M qua OO’, Q là điểm đối xứng với N qua OO’. Chứng minh rằng:...

Đề bài

Cho hai đường tròn \((O)\) và \((O’)\) tiếp xúc ngoài tại \(A.\) Kẻ tiếp tuyến chung ngoài \(MN\) với \(M\) thuộc \((O)\) và \(N\) thuộc \((O’).\) Gọi \(P\) là điểm đối xứng với \(M\) qua \(OO’, Q\) là điểm đối xứng với \(N\) qua \(OO’.\) Chứng minh rằng:

\(a)\) \(MNQP\) là hình thang cân.

\(b)\) \(PQ\) là tiếp tuyến chung của hai đường tròn \((O)\) và \((O’).\)

\(c)\) \(MN + PQ = MP + NQ.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức:

+) Tứ giác có hai cạnh đối song song là hình thang.

+) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

+) Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.

+) Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

+) Đường trung bình của hình thang thì song song với hai cạnh đáy và bằng nửa tổng hai đáy.

Lời giải chi tiết

\(a)\) Vì \(M\) và \(P\) đối xứng qua trục \(OO’\) nên \(OO’\) là đường trung trực của \(MP.\)

Suy ra: \(OP = OM\)

Khi đó \(P\) thuộc \((O)\) và \(MP ⊥ OO’\;\;             (1)\)

Vì \(N\) và \(Q\) đối xứng qua trục \(OO’\) nên \(OO’\) là đường trung trực của \(NQ\)

Suy ra: \(O’N = O’Q\)

Khi đó \(Q\) thuộc \((O’)\) và \(NQ ⊥ OO’\;\;            (2)\)

Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \( MP // NQ\)

Tứ giác \(MNQP\) là hình thang.

Vì \(OO’\) là đường trung trực của \(MP\) và \(NQ\) nên \(OO’\) đi qua trung điểm hai đáy hình thang \(MNQP,\) \(OO’\) đồng thời cũng là trục đối xứng của hình thang \(MNQP\) nên \(MNQP\) là hình thang cân.

\(b)\) Ta có: \(MN ⊥ OM\) ( tính chất tiếp tuyến)

Suy ra:  \(\widehat {OMN} = 90^\circ \) hay \(\widehat {OMP} + \widehat {PMN} = 90^\circ \)    (3)

Vì \(OM = OP\) (= bán kính đường tròn (O)) nên tam giác \(OMP\) cân tại \(O\)

Suy ra: \(\widehat {OPM} = \widehat {OMP}\)                    \( (4)\)

Lại có \(MNQP\) là hình thang cân nên \(\widehat {PMN} = \widehat {QPM}\) \( (5)\)

Từ \((3),\) \((4)\) và \((5)\) suy ra: \(\widehat {OPM} + \widehat {QPM} = 90^\circ \)

Suy ra: \(QP ⊥ OP\) tại \(P\)

Vậy \(PQ\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O).\)

Ta có: \(MN ⊥ O’N\) ( tính chất tiếp tuyến)

Suy ra: \(\widehat {O'NM} = 90^\circ \)

Mà \(\widehat {O'NM} = \widehat {MNQ} - \widehat {O'NQ} = 90^\circ \)   \((6)\)

Vì \(O’N = O’Q \) (= bán kính đường tròn (O')) nên tam giác \(O’NQ\) cân tại \(O’\)

Suy ra: \(\widehat {O'NQ} = \widehat {O'QN}\)   \((7)\)

Lại có \(MNQP\) là hình thang cân nên \(\widehat {MNQ} = \widehat {PQN}\)  \((8)\)

Từ \((6), (7)\) và \((8)\) suy ra: \(\widehat {PQN} - \widehat {O'QN} = 90^\circ \) hay \(\widehat {O'QP} = 90^\circ \)

Suy ra:   \(QP ⊥ O’Q\) tại \(Q\)

Vậy \(PQ\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O’).\)

\(c)\) Kẻ tiếp tuyến chung tại \(A\) cắt \(MN\) tại \(E\) và \(PQ\) tại \(F\)

Trong đường tròn \((O),\) theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

\( EM = EA\) và \(FP = FA\)

Trong đường tròn \((O’),\) theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:    

   \(EN = EA\) và \(FQ = FA\)

Suy ra:   \(EM = EA = EN = \displaystyle {1 \over 2}MN\)

\(FP = FA = FQ = \displaystyle {1 \over 2}PQ\)

Suy ra: \(MN +PQ = 2EA + 2FA \)\(= 2(EA + FA) = 2EF  \;\;    (9)\)

Vì \(EF\) là đường trung bình của hình thang \(MNQP\) nên:

\(EF = \displaystyle {{MP + NQ} \over 2}\) hay \(MP + NQ = 2EF    \;\;    (10)\)

Từ \((9)\) và \((10)\) suy ra: \( MN + PQ = MP + NQ.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.5 trên 8 phiếu
Bài tiếp theo
  • Bài 78 trang 170 SBT toán 9 Tập 1

    Giải bài 78 trang 170 sách bài tập toán 9. Cho đường tròn (O ; 2cm) và (O’ ; 3cm), OO’ = 6cm...

  • Bài 79 trang 170 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 79 trang 170 sách bài tâp toán 9. Cho đường tròn (O ; R), điểm A nằm bên ngoài đường tròn (R < OA < 3R). Vẽ đường tròn (A ; 2R)...

  • Bài 80 trang 170 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 80 trang 170 sách bài tập toán 9. Cho đường tròn (O ; 2cm) tiếp xúc với đường thẳng d. Dựng đường tròn (O’ ; 1cm) tiếp xúc với đường thẳng d và tiếp xúc ngoài đường tròn (O).

  • Bài 8.1 phần bài tập bổ sung trang 170 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 8.1 phần bài tập bổ sung trang 170 sách bài tập toán 9. Cho hai đường tròn (O ; R) và (O' ; r). Điền vào chỗ trống của bảng sau:...

  • Bài 8.2 phần bài tập bổ sung trang 170 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 8.2 phần bài tập bổ sung trang 170 sách bài tập toán 9. Cho hai đường tròn (O;3cm) và (O';4cm) có OO' = 5cm...

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 9 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

2K9 Tham Gia Group Giải Đề Thi Vào 10 Các Tỉnh

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua