Đề thi học kì 1 Toán 10 - Đề số 1

Phủ định của mệnh đề “$\forall x \in \mathbb{R}:$ A” là “$\exists x \in \mathbb{R}:$ Không phải A”.

Phủ định của mệnh đề “$\forall x \in \mathbb{R}:{x^2} + 1 > 0$” là “$\exists x \in \mathbb{R}:{x^2} + 1 \le 0$”.

Áp dụng lý thuyết về hợp, giao, phần bù, hiêu của hai tập hợp.

Sơ đồ Ven phần bị gạch mô tả tập hợp $A \cup B$.

Thay tọa độ từng điểm vào hệ đã cho, nếu thỏa mãn thì điểm đó thuộc miền nghiệm của hệ đó.

Ta thấy $\{\begin{array}{l}-1+3.1-2=0\ge 0\\ 2.(-1)+1+1=0\le 0\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} - 1 + 3.1 - 2 = 0 \ge 0\\2.( - 1) + 1 + 1 = 0 \le 0\end{array} \right.$ (thỏa mãn) nên N(-1;1) thuộc miền nghiệm của hệ.

Lập bất phương trình thể hiện số tiền Hoa ủng hộ dựa theo giả thiết.

Với x tờ 10 nghìn đồng, Hoa ủng hộ được 10x nghìn đồng.

Với y tờ 20 nghìn đồng, Hoa ủng hộ được 20y nghìn đồng.

Vì Hoa tiết kiệm được 420 nghìn đồng nên số tiền ủng hộ không vượt quá 420 nghìn đồng.

Do đó, ta có bất phương trình $10x + 20y \le 420$ hay $x + 2y \le 42$.

Áp dụng định lí cosin: $AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2} - 2AB.BC.\cos ABC}$.

$AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2} - 2AB.BC.\cos ABC}$

$= \sqrt {{5^2} + {8^2} - 2.5.8.\cos {{60}^o}} = 7$.

Áp dụng công thức Heron: $S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)}$.

$p = \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{{4 + 6 + 8}}{2} = 9$.

$S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)}$

$= \sqrt {9(9 - 4)(9 - 6)(9 - 8)} = 3\sqrt {15}$.

Quan sát hình vẽ và trả lời.

$\overset{\rightarrow}{c}$ và $\overset{\rightarrow}{b}$ là hai vectơ ngược hướng nên mệnh đề ở đáp án B sai.

Áp dụng quy tắc ba điểm.

$\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {CD} - \overrightarrow {ED} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DE} = \overrightarrow {AE}$.

$I = \left( {\frac{{x_A + x_B}}{2};\frac{{ y_A + y_B}}{2}} \right)$.

I là trung điểm của AB thì $I = \left( {\frac{{x_A + x_B}}{2};\frac{{ y_A + y_B}}{2}} \right)$.

Áp dụng biểu thức tọa độ tích vô hướng của hai vecto.

$\overrightarrow u = (1;3)$, $\overrightarrow v = (2; - 1)$.

$\overrightarrow u .\overrightarrow v = 1.2 + 3.( - 1) = - 1$.

Áp dụng công thức ${\Delta _a} = \left| {\overline a - a} \right|$.

${\Delta _a} = \left| {\frac{8}{{17}} - 0,47} \right| \approx 0,0006 \approx 0,001$.

Áp dụng công thức: $\overline x = \frac{{{x_1} + {x_2} + {x_3} + ... + {x_n}}}{n}$.

Số ghế trống trung bình trong 9 ngày của rạp là:

$\overline x = \frac{{9 + 8 + 22 + 20 + 18 + 15 + 19 + 13 + 11}}{9} = 15$.

Áp dụng biểu thức tọa độ của các phép toán vecto.

a) Sai. $\frac{1}{{ - 3}} \ne \frac{2}{1}$ nên a, b là hai vecto không cùng phương.

b) Đúng. $2a = (2.1;2.2) = (2;4)$.

c) Sai. $a + 2b - 3c = (4; - 8)$.

d) Đúng. $\overrightarrow c = m\overrightarrow a + n\overrightarrow b \Leftrightarrow$$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{m - 3n = - 3}\\{2m + n = 4}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow$$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{m = \frac{9}{7}}\\{n = \frac{{10}}{7}}\end{array}} \right.$ \Rightarrow m + n = \frac{{19}}{7}.

a) Mốt của mẫu số liệu là giá trị xuất hiện với tần số lớn nhất, kí hiệu: ${M_o}$.

b) Trong một mẫu số liệu, khoảng biến thiên là hiệu số giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu đó.

c) Số trung bình (hay TB cộng) của mẫu số liệu kí hiệu là $\overline x$, được tính bằng công thức: $\overline x = \frac{{{x_1} + {x_2} + {x_3} + ... + {x_n}}}{n}$.

d) Sắp thứ tự mẫu số liệu gồm n số liệu thành một dãy không giảm (hoặc không tăng).

- Nếu n là số lẻ thì số liệu đứng ở vị trí thứ $\frac{n+1}{2}$ (số đứng chính giữa) gọi là trung vị.

- Nếu n là số chẵn thì số trung bình cộng của hai số liệu đứng ở vị trí thứ $\frac{n}{2}$ và $\frac{n}{2}+1$ gọi là trung vị.

a) Đúng. Vì số 29 xuất hiện nhiều nhất trong mẫu số liệu nên mốt của mẫu số liệu là 29.

b) Sai. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là 29 - 17 = 12.

c) Đúng. Số trung bình của mẫu số liệu là $x = \frac{17 + 18 + 21 + 24 + 27 + 29 + 29 + 28 + 25 + 22 + 18}{12} \approx 23,92$.

d) Đúng. Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm:

17, 18, 18, 21, 22, 24, 25, 27, 28, 29, 29, 29.

Trung vị của mẫu số liệu là $\frac{1}{2}(24 + 25) = 24,5$.

Giải bất phương trình rồi tìm giao (phần chung) của hai tập hợp.

Do ${x^2} + 1 > 0$, $\forall x \in \mathbb{R}$ nên bất phương trình: $\left( {\frac{6}{5}x - 31} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) \le 0 \Leftrightarrow \frac{6}{5}x - 31 \le 0 \Leftrightarrow x \le \frac{{155}}{6}$.

Do đó $A = \left( { - \infty ;\frac{{155}}{6}} \right] \Rightarrow A \cap \mathbb{N} = \left\{ {0;1;2;...;25} \right\}$.

Vậy $A \cap \mathbb{N}$ có 26 phần tử.

Áp dụng định lí cosin.

Ta coi đáy cọc là điểm B, chân dốc là điểm A, cột điện được chôn tại điểm C như hình vẽ dưới đây.

Ta có $\widehat{ACD} = 90^o + 17^o = 107^o$.

Trong tam giác ABC vuông tại B có $AC = \frac{AB}{\cos 17^o} \approx 75,3$ m.

Áp dụng định lý cosin trong tam giác $ACD$, ta có:

$AD^2 = AC^2 + CD^2 - 2 . AC . CD . \cos ACD$

$\approx 75,3^2 + 20^2 - 2 . 75,3 . 20 . \cos 107^o \approx 6950,7$.

$\Rightarrow AD \approx 83,4$ (m).

Ứng dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải.

Gọi x, y (tấn) lần lượt là số tấn cacbon loại 1 và loại 2 sử dụng mỗi tháng,

Số viên kim cương loại to là 5x + 2y.

Số viên kim cương loại nhỏ là 3x + 3y.

Tổng số tiền mua cacbon là 100x + 40y.

Số tiền thu vào từ bán kim cương là 20(5x + 2y) + 10(3x + 3y) = 130x + 70y.

Ta có hệ bất phương trình: $\{\begin{array}{l}x,y\ge 0\\ x\le 4\\ y\le 4\\ 100x+40y\le 500\\ 5x+2y\ge 12\\ 3x+3y\ge 9\end{array}$$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x,y \ge 0}\\{x \le 4}\\{y \le 4}\\{100x + 40y \le 500}\\{5x + 2y \ge 12}\\{3x + 3y \ge 9}\end{array}} \right.$

Miền nghiệm của bất phương trình là ngũ giác ABCDEG, trong đó tọa độ các đỉnh là A(3; 0), B(2; 1), $C\left( {\frac{4}{5};4} \right)$, $D\left( {\frac{{17}}{5};4} \right)$, $E\left( {4;\frac{5}{2}} \right)$, G(4; 0).

Số tiền lãi mỗi tháng là f(x; y) = 30x + 30y.

Tại điểm $D\left( {\frac{{17}}{5};4} \right)$ ta có $f\left( {\frac{{17}}{5};4} \right) = 222$ là giá trị lớn nhất. Vậy mỗi tháng công ty lãi nhiều nhất là 222 triệu đồng.

Áp dụng quy tắc hình bình hành.

Gọi D là điểm để tứ giác MADB là hình vuông.

Theo bài ra ta có $\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right|$

$= \left| {\overrightarrow {MD} } \right| = 100\sqrt 2 .\sqrt 2 = 200$ N.

Tách vectơ và đưa về các vectơ chung gốc (gốc A).

Biến đổi vế trái (*) ta có:

$\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC}$

$= \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AC} } \right) + \overrightarrow {AC} .\left( {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD} } \right) + \overrightarrow {AD} .\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right)$

$= \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  = 0$ = VP (*) (ĐPCM)

Áp dụng các phép toán vecto trên mặt phẳng tọa độ.

a) $\Leftrightarrow ({x_N} - 1;{y_N} + 2) + 2({x_N};{y_N} - 4) - 4({x_N} - 3;{y_N} - 2) = (0;0)$ $\Leftrightarrow ( - {x_N} + 11; - {y_N} + 2) = (0;0) \Leftrightarrow$$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{x_N} = 11}\\{{y_N} = 2}\end{array}} \right.$ \Leftrightarrow N(11;2).

b)

Gọi $\overrightarrow {{v_1}}$ là vận tốc của máy bay khi chưa có gió, $\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right| = 750$ (km/h); $\overrightarrow {{v_2}}$ là vận tốc của gió, $\left| {\overrightarrow {{v_2}} } \right| = 40$ (km/h); $\overrightarrow v$ là vận tốc của máy bay khi gặp gió.

Ta có: $\overrightarrow v = \overrightarrow {{v_1}} + \overrightarrow {{v_2}}$ và $(\overrightarrow {{v_1}} ,\overrightarrow {{v_2}} ) = {45^o}$.

${\overrightarrow v^2} = {(\overrightarrow {{v_1}} + \overrightarrow {{v_2}} )^2} = {\overrightarrow {{v_1}} ^2} + {\overrightarrow {{v_2}} ^2} + 2\overrightarrow {{v_1}} .\overrightarrow {{v_2}} = |\overrightarrow {{v_1}} {|^2} + |\overrightarrow {{v_2}} {|^2} + 2|\overrightarrow {{v_1}} |.|\overrightarrow {{v_2}} |.\cos {45^o}$ $= {750^2} + {40^2} + 2.750.40.\frac{{\sqrt 2 }}{2} \approx 606526,4068$.

Vậy $\left| {\overrightarrow v} \right| \approx 778,8$ (km/h).

+ Viết mẫu số liệu theo thứ tự không tăng.

+ Dùng công thức tính số trung bình: $\overline x  = \frac{{{x_1} + {x_2} + ... + {x_n}}}{n}$.

+ Tìm phương sai theo công thức ${S^2} = \frac{1}{n}\left( {{n_1}{x_1}^2 + {n_2}{x_2}^2 + ... + {n_k}{x_k}^2} \right) - {\overline x ^2}$ và độ lệch chuẩn $S = \sqrt {{S^2}}$.

a) Viết mẫu số liệu theo thứ tự không tăng: 23; 25; 26; 27; 27; 27; 26; 21; 19; 18.

b)

+ Số trung bình của mẫu số liệu là: $\overline x  = \frac{{23 + 25 + 26 + 27 + 27 + 27 + 26 + 21 + 19 + 18}}{{10}} = 24$.

+ Phương sai: ${S^2} = \frac{1}{{10}}\left( {{{23}^2} + {{25}^2} + ... + {{18}^2}} \right) - {24^2} = 11,2$.

+ Độ lệch chuẩn: $S = \sqrt {{S^2}}  = \sqrt {11,2}  = \frac{{2\sqrt {70} }}{5}$.