Đề thi giữa học kì 2 Toán 8 - Đề số 4

Dựa vào tính chất của tam giác đồng dạng.

Dựa vào tính chất của tam giác đồng dạng ta có:

• Nếu $\Delta {A}'{B}'{C}'\backsim \Delta ABC$ thì $\Delta ABC\backsim \Delta {A}'{B}'{C}'$.
• Nếu $\Delta {A}''{B}''{C}''\backsim \Delta {A}'{B}'{C}'$ và $\Delta {A}'{B}'{C}'\backsim \Delta ABC$ thì $\widehat{A}=\widehat{A'},\widehat{B}=\widehat{B'},\widehat{C}=\widehat{C''}$.
• Nếu $\Delta ABC\backsim \Delta {A}'{B}'{C}'$ thì $\frac{AB}{{A}'{B}'}=\frac{BC}{{B}'{C}'}=\frac{CA}{{C}'{A}'}$.

Đáp án C.

Thay giá trị ${\rm{x}} = 3$ vào phương trình.

Thay ${\rm{x}} = 3$ vào $2{\rm{x}} - 6 = 0$ ta được $2.3 - 6 = 0$ (luôn đúng)

Vậy $x = 3$ là nghiệm của $2x - 6 = 0$

Đáp án A.

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho.

Vì ${\rm{MN}}//{\rm{AB}}$ suy ra $\Delta CMN$ đồng dạng với $\Delta CBA$ hay $\Delta {\rm{NMC}}$ đồng dạng với $\Delta {\rm{ABC}}$

Đáp án C.

- Từ dữ kiện đã có chứng minh được 2 tam giác đồng dạng theo trường hợp góc - góc.

- Từ đó ta rút ra được tỉ lệ thức phù hợp, tính ra giá trị của .

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta ACB$ có:

$\widehat A$ chung

$\widehat {ABD} = \widehat {BCA}\left( {gt} \right)$

Suy ra $\Delta ABD\backsim \Delta ACB\left( g-g \right)$

Suy ra $\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AD}}{{AB}}$

$\begin{array}{l}\frac{6}{9}=\frac{x}{6}\\ x=\frac{6.6}{9}=4\mathrm{c}\mathrm{m}\end{array}$$\begin{array}{l}\frac{6}{9} = \frac{x}{6}\\x = \frac{{6.6}}{9} = 4{\rm{\;cm}}\end{array}$

Đáp án C.

Gọi vận tốc dòng nước là ${\rm{x}}({\rm{km}}/{\rm{h}},0 < {\rm{x}} < 18)$

Quãng đường ${\rm{AB}}$ là như nhau.

Gọi vận tốc dòng nước là ${\rm{x}}({\rm{km}}/{\rm{h}},0 < {\rm{x}} < 18)$

Vận tốc ca nô xuôi dòng là: $18 + x\left( {{\rm{\;km}}/{\rm{h}}} \right)$

Vận tốc ca nô ngược dòng là: $18 - x\left( {{\rm{\;km}}} \right)$

Ca nô xuôi dòng mất 4 giờ, ngược dòng mất 5 giờ nên ta có:

$4\left( {18 + x} \right) = 5\left( {18 - x} \right)$

$72 + 4x = 90 - 5x$

$9x = 18$

$x = 2\left( {TM} \right)$

Vậy vận tốc dòng nước là $2{\rm{\;km}}/{\rm{h}}$

Đáp án B.

Trường hợp đồng dạng thứ nhất: cạnh - cạnh - cạnh: Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

Xét $\Delta ACB$ và $\Delta A'B'C'$, ta có: $\frac{{AC}}{{A'B'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{{AB}}{{A'C'}}$ vì $\frac{1}{{0,5}} = \frac{2}{1} = \frac{{1,5}}{{0,75}}$.

Suy ra $\Delta ACB\backsim \Delta {A}'{B}'{C}'$.

Xét $\Delta DEF$ và ${\rm{\Delta }}D'F'E'$, ta có: $\frac{{DE}}{{D'F'}} = \frac{{DF}}{{D'E'}} = \frac{{EF}}{{E'F'}}$ vì $\frac{{0,4}}{{0,9}} = \frac{{0,8}}{{1,8}} = \frac{{0,6}}{{1,35}}$

Suy ra $\Delta DEF\backsim \Delta {D}'{F}'{E}'$.

Đáp án B.

Sử dụng tính chất chất hai phân thức bằng nhau: $\frac{A}{B} = \frac{C}{D} \Rightarrow A \cdot D = B \cdot C$

$\frac{{{x^3} + 8}}{{x + 2}} = \frac{ \ldots }{2} \Rightarrow  \ldots  = \frac{{\left( {{x^3} + 8} \right) \cdot 2}}{{x + 2}} = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right) \cdot 2}}{{x + 2}} = 2{x^2} - 4x + 8$

Đáp án D.

Rút gọn phân thức để tìm mẫu thức sau khi thu gọn.

$\frac{{{x^2} - xy - x + y}}{{{x^2} + xy - x - y}} = \frac{{x\left( {x - y} \right) - \left( {x - y} \right)}}{{x\left( {x + y} \right) - \left( {x + y} \right)}} = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - y} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + y} \right)}} = \frac{{x - y}}{{x + y}}$

Đáp án C.

- Chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó (Quy tắc chuyển vế);

- Nhân cả hai vế với cùng một số khác 0 (Quy tắc nhân với một số);

- Chia hai vế cho cùng một số khác 0 (Quy tắc chia cho một số).

$\frac{{x + 5}}{2} - \frac{1}{3} = \frac{{3 - 2x}}{6}$

$\frac{{3\left( {x + 5} \right)}}{{2.3}} - \frac{{1.2}}{{3.2}} = \frac{{3 - 2x}}{6}$

$3x + 15 - 2 = 3 - 2x$

$3x + 2x = 3 - 15 + 2$

$5x =  - 10$

$x =  - 2$

Đáp án A.

Muốn trừ hai phân thức khác mẫu, ta quy đồng mẫu thức rồi trừ hai phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được

$A = \frac{{2x - 1}}{{6{x^2} - 6x}} - \frac{3}{{4{x^2} - 4}} = \frac{{2x - 1}}{{6x\left( {x - 1} \right)}} - \frac{3}{{4\left( {{x^2} - 1} \right)}}$

$= \frac{{2x - 1}}{{6x\left( {x - 1} \right)}} - \frac{3}{{4\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{2\left( {2x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) - 3.3x}}{{12x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$

$= \frac{{\left( {4x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) - 9x}}{{12x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{4{x^2} + 4x - 2x - 2 - 9x}}{{12\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$

$= \frac{{4{x^2} - 7x - 2}}{{12\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$

Đáp án C.

Thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân, chia phân thức.

Áp dụng linh hoạt các tính chất của phép toán.

a) $\frac{{2x + 5}}{{5{x^2}{y^2}}} + \frac{8}{{5x{y^2}}} + \frac{{2x - 1}}{{{x^2}{y^2}}} = \frac{{2x + 5 + 8x + 10x - 5}}{{5{x^2}{y^2}}} = \frac{{20x}}{{5{x^2}{y^2}}} = \frac{4}{{x{y^2}}}$
b) $\frac{{4{x^2} - 3x + 5}}{{{x^3} - 1}} - \frac{{1 - 2x}}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{6}{{x - 1}}$

$= \frac{{4{x^2} - 3x + 5 - \left( {1 - 2x} \right)\left( {x - 1} \right) - 6\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}$

$= \frac{{4{x^2} - 3x + 5 - x + 1 + 2{x^2} - 2x - 6{x^2} - 6x - 6}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{{ - 12x}}{{{x^3} - 1}}$
c) $\frac{{{x^4} + 4{x^2} + 5}}{{5{x^3} + 5}} \cdot \frac{{2x}}{{{x^2} + 4}} \cdot \frac{{3{x^3} + 3}}{{{x^4} + 4{x^2} + 5}}$ $= \frac{{{x^4} + 4{x^2} + 5}}{{5\left( {{x^3} + 1} \right)}} \cdot \frac{{2x}}{{{x^2} + 4}} \cdot \frac{{3\left( {{x^3} + 1} \right)}}{{{x^4} + 4{x^2} + 5}}$ $= \frac{{6x}}{{5\left( {{x^2} + 4} \right)}}$
d) $\frac{{5x + 1}}{{2x - 3}} \cdot \frac{{x + 2}}{{25{x^2} - 1}} - \frac{{8 - 3x}}{{25{x^2} - 1}} \cdot \frac{{5x + 1}}{{2x - 3}}$ $= \frac{{5x + 1}}{{2x - 3}} \cdot \left( {\frac{{x + 2}}{{25{x^2} - 1}} - \frac{{8 - 3x}}{{25{x^2} - 1}}} \right)$ $= \frac{{5x + 1}}{{2x - 3}} \cdot \frac{{4x - 6}}{{25{x^2} - 1}}$ $= \frac{{\left( {5x + 1} \right) \cdot 2\left( {2x - 3} \right)}}{{\left( {2x - 3} \right)\left( {5x - 1} \right)\left( {5x + 1} \right)}}$ $= \frac{2}{{5x - 1}}$

Điều kiện xác định của phân thức là mẫu thức khác 0 .

Rút gọn biểu thức bằng cách thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân, chia phân thức.

a) ĐКXĐ: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x + 3 \ne 0}\\{x - 3 \ne 0}\\{{x^2} - 9 \ne 0}\\{x + 2 \ne 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x \ne \pm 3}\\{x \ne - 2}\end{array}} \right.} \right.$

$A = \left( {\frac{{2x - 1}}{{x + 3}} + \frac{x}{{x - 3}} - \frac{{3 - 10x}}{{{x^2} - 9}}} \right):\frac{{x + 2}}{{x - 3}}$

$A = \frac{{\left( {2x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) + x\left( {x + 3} \right) - \left( {3 - 10x} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} \cdot \frac{{x - 3}}{{x + 2}}$

$A = \frac{{2{x^2} - 6x - x + 3 + {x^2} + 3x - 3 + 10x}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} \cdot \frac{{x - 3}}{{x + 2}}$

$A = \frac{{3{x^2} + 6x}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} \cdot \frac{{x - 3}}{{x + 2}}$

$A = \frac{{3x\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} \cdot \frac{{x - 3}}{{x + 2}}$

$A = \frac{{3x}}{{x + 3}}$
b) $A = \frac{{3x}}{{x + 3}} = \frac{{3\left( {x + 3} \right) - 9}}{{x + 3}} = 3 - \frac{9}{{x + 3}}$

Để nhận giá trị nguyên thì $\frac{9}{{x + 3}}$ nguyên $\Rightarrow 9:\left( {x + 3} \right) \Rightarrow x + 3 \in U\left( 9 \right)$

Ta có bảng sau:

Đối chiếu ĐKXĐ ta được $x \in \left\{ { - 12, - 6, - 4,0,6} \right\}$

Vậy $x \in \left\{ { - 12, - 6, - 4,0,6} \right\}$ thì $A$ nhận giá trị nguyên.

Bước 1. Lập phương trình.

- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và theo các đại lượng đã biết.

- Lập phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2. Giải phương trình.

Bước 3. Trả lời.

- Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không.

- Kết luận.

Gọi số học sinh lớp $8A$ là ${\rm{x}}$ (học sinh). Điều kiện: ${\rm{x}} \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}$.

Số học sinh giỏi lớp 8A trong học kì I là: $\frac{{\rm{x}}}{8}$ (học sinh).

Số học sinh giỏi lớp 8A trong học kì II là: $\frac{{\rm{x}}}{8} + 3$ (học sinh).

Vì số học sinh giỏi trong học kì II bằng $20{\rm{\% }}$ số học sinh cả lớp nên ta có ${\rm{PT}}$ :

$\frac{x}{8} + 3 = 20{\rm{\% }}.x$

$\frac{x}{8} + 3 = \frac{x}{5}$

$\frac{x}{5} - \frac{x}{8} = 3$

$\frac{{3x}}{{40}} = 3$

$x = 40\left( {TM} \right)$

Vậy lớp 8A có 40 học sinh.

a) Sử dụng hệ quả định lí Thales, kết hợp với giả thiết suy ra cặp tương ứng tỉ lệ.

Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

b) TH đồng dạng thứ hai (c-g-c): Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng.

c) Suy ra góc tương ứng bằng nhau.

a) Vì $AB//CD \Rightarrow \frac{{BG}}{{AG}} = \frac{{GD}}{{GC}}$ (hệ quả định lí Thales)

Mặt khác $AG = CE,BG = DF$ nên $\frac{{DF}}{{CE}} = \frac{{GD}}{{GC}}$.

Mà $\widehat {GDF} = \widehat {GCE} = {90^0}$ nên $\Delta FDG\backsim \Delta ECG\left( \text{dpcm} \right)$

b) Vì $\Delta FDG\backsim \Delta ECG\Rightarrow$$\left\{ \begin{array}{lllllllllllllllllllllllllllllllllll} \widehat{DGF}=\widehat{CGE}\\ \frac{DG}{GF}=\frac{GC}{GE}  \end{array} \right.$

$\widehat {DGF} = \widehat {CGE}$

Suy ra $\widehat {DGF} + \widehat {FGC} = \widehat {CGE} + \widehat {FGC}$

Suy ra $\widehat {DGC} = \widehat {FGE}$

Từ đó, ta có $\Delta GDC\backsim \Delta GFE$ vì $\frac{{DG}}{{GF}} = \frac{{GC}}{{GE}}$ và $\widehat {DGC} = \widehat {FGE}$.

c) Vì $\Delta GDC\backsim \Delta GFE$ nên $\widehat {GFE} = \widehat {GDC} = {90^0}$.

- Biến đổi các biểu thức hữu tỉ

- Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau. Từ đó đưa bài toán ban đầu về bài toán đơn giản hơn

- Thực hiện tính toán

Ta có

$\frac{{x - y - z}}{x} = \frac{{y - z - x}}{y} = \frac{{z - x - y}}{z}$

$1 - \frac{{y + z}}{x} = 1 - \frac{{z + x}}{y} = 1 - \frac{{x + y}}{z}$

$- \frac{{y + z}}{x} =  - \frac{{z + x}}{y} =  - \frac{{x + y}}{z}$

$\frac{{y + z}}{x} = \frac{{z + x}}{y} = \frac{{x + y}}{z} = \frac{{y + z + z + x + x + y}}{{x + y + z}} = 2$

$\{\begin{array}{l}y+z=2x\\ z+x=2y\\ x+y=2z\end{array}$$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{y + z = 2x}\\{z + x = 2y}\\{x + y = 2z}\end{array}} \right.$

$S = \left( {1 + \frac{y}{x}} \right)\left( {1 + \frac{z}{y}} \right)\left( {1 + \frac{x}{z}} \right) = \left( {\frac{{x + y}}{x}} \right)\left( {\frac{{y + z}}{y}} \right)\left( {\frac{{z + x}}{z}} \right) = \frac{{2z}}{x} \cdot \frac{{2x}}{y} \cdot \frac{{2y}}{z} = 8$

Vậy $S = 8$.