Đề thi giữa học kì 1 Toán 12 - Đề số 6

Quan sát BBT và nhận xét.

Từ BBT ta thấy hàm số có giá trị cực tiểu bằng -3.

Giải phương trình mẫu số bằng 0.

$y = \dfrac{2x + 1}{x + 1}$ có TCĐ là x = -1.

Giải phương trình y = 0 tìm x.

$\left. y = \dfrac{x + 2022}{x + 2023} = 0\Rightarrow x = - 2022 \right.$.

Vậy đồ thị hàm số $y = \dfrac{x + 2022}{x + 2023}$ cắt trục hoành tại điểm (-2022; 0).

Hàm số đồng biến khi f'(x) > 0.

Do $y = x^{3} + x$ có $y' = 3x^{2} + 1 > 0$ trên R nên luôn đồng biến trên R.

Sử dụng định nghĩa tìm TCX.

$y = x + \dfrac{1}{x + 2}$ có 1 TCX là y = x.

Hàm số đồng biến khi f'(x) > 0.

Ta thấy $\left. f'(x) > 0\Leftrightarrow x \in ( - 3, - 1) \cup (1, + \infty) \right.$ nên hàm số đồng biến trên (-3; -1).

Quan sát đồ thị và nhận xét.

Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-2; 4] là 7.

Dựa vào hình dạng đồ thị, tính đơn điệu và các điểm mà đồ thị đi qua để tìm hàm số.

Từ đồ thị ta thấy hàm số là hàm bậc ba có hệ số a > 0 nên $y = 2x^{3} - x + 4$.

Tính đạo hàm và khảo sát trên đoạn [-2; 2].

Ta có $f(x) = x^{3} - 3x^{2} - 9x + 10$.

$\left. \Rightarrow f'(x) = 3x^{2} - 6x - 9 = 0\Leftrightarrow\left\lbrack$$\begin{array}{l} {x = 3 \notin \lbrack - 2,2\rbrack} \\ {x = - 1 \in \lbrack - 2,2\rbrack} \end{array}$ \right. \right..

Ta có f(-2) = 8; f(-1) = 15; f(2) = -12.

Vậy hàm số đạt GTLN bằng 15.

Điểm cực trị là là giá trị x mà f'(x) đi qua và đổi dấu.

Từ bảng xét dấu ta thấy f'(x) đổi dấu khi qua các điểm x = -2; x = 0; x = 1; x = 4.

Vậy hàm số có tất cả 4 điểm cực trị.

Tương giao đồ thị.

Ta có: y = f(x) và y = 1 có 3 giao điểm, suy ra f(x)=1 có 3 nghiệm.

Đồ thị của hàm số y = f(x) cắt trục tung khi x = 0.

Đồ thị của hàm số $y = - x^{4} - 2x^{2} + 3$ cắt trục tung khi $\left. x = 0\Rightarrow y = 3 \right.$.

Tính đạo hàm, giải phương trình y' = 0 và tìm các đường tiệm cận của hàm số.

a) Đúng. Hàm số $y = \dfrac{x^{2} + 6x + 11}{x + 2}$ có TCĐ: x = -2.

b) Đúng. Ta có $y' = \dfrac{(2x + 6)(x + 2) - (x^{2} + 6x + 11)}{{(x + 2)}^{2}} = \dfrac{x^{2} + 4x + 1}{{(x + 2)}^{2}}$.

c) Đúng. Xét $\left. y' = 0\Leftrightarrow x^{2} + 4x + 1 = 0\Leftrightarrow x = - 2 \pm \sqrt{3} \right.$ nên phương trình y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt.

d) Đúng. Ta có $y = \dfrac{x^{2} + 6x + 11}{x + 2} = x + 4 + \dfrac{3}{x + 2}$ nên hàm số có TCX là y = x + 4.

a) Lập hàm tổng chi phí C(x).

b) Tính C(100).

c) Xây dựng hàm chi phí trung bình.

d) Ứng dụng đạo hàm, khảo sát hàm chi phí trung bình.

a) Đúng. Chi phí khi sản xuất $x(\text{m}^{3})$ nước là $C(x) = 5 + 0,15x + 0,0005x^{2}$.

b) Sai. Ta có $C(100) = 5 + 0,15.100 + 0,0005.100^{2} = 25$.

c) Đúng. Hàm chi phí trung bình khi sản xuất x mét khối là $\overline{C}(x) = \dfrac{5}{x} + 0,15 + 0,0005x$.

d) Đúng. $\left. {\overline{C}}'(x) = - \dfrac{5}{x^{2}} + 0,0005 = 0\Leftrightarrow x = \pm 100 \right.$.

Ta có bảng xét dấu:

Do ${\overline{C}}'(x) < 0$ khi $x \in (0;100)$ nên chi phí trung bình giảm xuống khi sản lượng nước tinh khiết trong ngày không vượt quá 100 $\text{m}^{3}$.

Tìm hai điểm cực trị của hàm số và lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó.

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.

TXĐ: D = R.

$y' = \dfrac{(4x + 5)(x + 1) - (2x^{2} + 5x + 5).1}{{(x + 1)}^{2}} = \dfrac{2x^{2} + 4x}{{(x + 1)}^{2}}$.

$\left. y' = 0\Leftrightarrow 2x^{2} + 4x = 0\Leftrightarrow\left\lbrack$$\begin{array}{l} \left. x = 0\Rightarrow y = 5 \right. \\ \left. x = - 2\Rightarrow y = - 3 \right. \end{array}$ \right. \right..

Ta được hai điểm cực trị là A(0; 5) và B(-2; -3).

Phương trình đường thẳng AB là $\Delta$: 4x – y + 5 = 0.

Khi đó $d(O,\Delta) = \dfrac{|4.0 - 0 + 5|}{\sqrt{4^{2} + {( - 1)}^{2}}} = \dfrac{5}{\sqrt{17}} \approx 1,21$.

Tính đạo hàm, giải phương trình y' = 0 và tính giá trị của hàm số trên [2; 3].

Ta có $y' = \dfrac{\dfrac{1}{x}x - \ln x.1}{x^{2}} = \dfrac{1 - \ln x}{x^{2}}$ $\left. \Rightarrow y' = 0\Leftrightarrow\ln x = 1\Leftrightarrow x = e \right.$.

Ta có trên [2; 3] thì $f(2) = \dfrac{\ln 2}{2}$; $f(e) = \dfrac{1}{e}$; $\left. f(3) = \dfrac{\ln 3}{3}\Rightarrow f(e) > f(3) > f(2) \right.$.

Vậy GTNN của hàm số trên [2; 3] là $\left. f(2) = \dfrac{\ln 2}{2}\Rightarrow$$\left\{ \begin{array}{l} {a = 1} \\ {b = 2} \end{array} \right.$Rightarrow a - 5b = - 9 \right..

Tính giới hạn hàm số tại vô cùng.

Khi quần thể sinh vật trên đạt trạng thái cân bằng:

$\lim\limits_{t\rightarrow + \infty}N(t) = \lim\limits_{t\rightarrow + \infty}\dfrac{16398e^{0,5(t - 9,19)}}{0,12 + e^{0,5(t - 9,19)}} = \dfrac{16398}{0,12} \approx 16,4$ (nghìn con).

Gọi chiều rộng lưới thép là x (mét, 0 < x < 15).

Biểu diện chiều dài và tổng độ dài lưới thép theo x từ đó áp dụng bất đẳng thức (hoặc khảo sát hàm số) tìm GTNN.

Gọi chiều rộng lưới thép là x (mét, 0 < x < 15).

Tổng độ dài lưới thép là $f(x) = 2x + \dfrac{200}{x} \geq 2\sqrt{2x.\dfrac{200}{x}} = 40$ (bất đẳng thức Cauchy).

Vậy độ dài lưới thép ngắn nhất bằng 40 mét khi $\left. 2x = \dfrac{200}{x}\Leftrightarrow x = 10 \right.$.

Vậy tổng chiều dài lưới thép bằng 40 mét.

Dựa vào các đường tiệm cận đứng, tiệm cận xiên để xác định các hệ số.

$y = \dfrac{ax^{2} + bx + c}{x + m}$ có TCĐ: $\left. x = - m\Rightarrow - m = 1\Leftrightarrow m = - 1 \right.$.

$ax^{2} + bx + c:(x - 1)$ được thương $\left. ax + b + a\Rightarrow \right.$ TCX: y = ax + b + a.

$\left. \Rightarrow$$\left\{ \begin{array}{l} {a = 1} \\ {b + a = 2} \end{array} \right.$Leftrightarrow$\left\{ \begin{array}{l} {a = 1} \\ {b = 1} \end{array} \right.$ \right..

Vậy a + b + m = 1 + 1 + (-1) = 1.

Lập hàm lợi nhuận = Doanh thu – Chi phí. Từ đó khảo sát tìm GTLN.

Ta có hàm lợi nhuận $f(x) = 220x - C(x)$ $= 220x - x^{3} + 3x^{2} + 20x - 500$ $= - x^{3} + 3x^{2} + 240x - 500$.

$\left. \Rightarrow f'(x) = - 3x^{2} + 6x + 240 \right.$; $\left. f'(x) = 0\Leftrightarrow\left\lbrack$$\begin{array}{l} {x = 10} \\ {x = - 8} \end{array}$ \right. \right..

Với $1 \leq x \leq 18$ ta có f(1) = -258; f(10) = 1200; f(18) = -1040.

Vậy f(x) đạt GTLN trên đoạn [1; 18] bằng 1200 khi x = 10.

Lập hàm số tính chi phí.

Khảo sát hàm chi phí, tính giá trị nhỏ nhất của hàm số.

Gọi khoảng cách từ B đến S là x km, 0 < x < 4.

Có AB = 4, suy ra SA = 4 - x.

Có tam giác CBS vuông tại B và BC = 1, suy ra $CS = \sqrt{1 + x^{2}}$.

Ta có hàm chi phí: $f(x) = 5000\sqrt{x^{2} + 1} + 3000(4 - x)$.

$f'(x) = \dfrac{5000x}{\sqrt{x^{2} + 1}} - 3000 = 0$ $\left. \Leftrightarrow 5x = 3\sqrt{x^{2} + 1} \right.$ $\left. \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{4} = 0,75 \right.$ (km).

Hàm số f(x) đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 0,75.

Vậy điểm S trên bờ cách B 0,75 km để khi mắc dây điện từ A qua S rồi đến C có chi phí ít nhất.