Đề thi giữa học kì 1 Toán 12 - Đề số 4

Lập bảng biến thiên.

$f'(x) = 2x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = -2$.

Lập bảng xét dấu ta được:

Vậy hàm số nghịch biến trên $(-\infty; -2)$.

Xét dấu đạo hàm.

$y' = 3{x^2} - 6x - 9.$

Giải $y' < 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x - 9 < 0 \Leftrightarrow x \in ( - 1;3)$.

Vậy hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 2$ nghịch biến trên khoảng (-1; 3).

- Hàm số y = f(x) đạt cực đại đại điểm $x = {x_0}$ khi và chỉ khi $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{f'({x_0}) = 0}\\{f''({x_0}) < 0}\end{array}} \right.$ (hàm đa thức bậc ba).

- Thay điểm cực đại của hàm số vào hàm số để tìm giá trị cực đại.

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{y' = 3{x^2} - 12x}\\{y'' = 6x - 12}\end{array}} \right.$.

Xét hệ $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{y' = 0}\\{y'' < 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow$$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{3{x^2} - 12x = 0}\\{6x - 12 < 0}\end{array}} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 2}\\{x = - 2}\\{x < 2}\end{array}} \right.$ \Rightarrow x = - 2.

Vậy giá trị cực đại của hàm số là y(-2) = 36.

- Tính đạo hàm của hàm số, giải phương trình y' = 0 xác định các nghiệm ${x_i} \in [ - 3;2]$.

- Tính các giá trị: $y({x_i});y( - 3);y(2)$.

- Kết luận: ${\min _{[ - 3;2]}}y = \min \{ y({x_i});y( - 3);y(2)\}$.

TXĐ: D = R.

Ta có: $y = {x^2} - 1 \Rightarrow y' = 2x = 0 \Leftrightarrow x = 0 \in [ - 3;2]$.

y(0) = -1; y(-3) = 8; y(2) = 3. Vậy ${\min _{[ - 3;2]}}y = - 1$.

Tính đạo hàm và xét dấu đạo hàm.

TXĐ: $D = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)$.

Ta có: $y' = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} = 0 \Leftrightarrow x = 0$ (không TM).

Bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu. ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$.

Nhận dạng đồ thị hàm số.

Đồ thị dạng hàm số dạng bậc ba có a > 0 vậy hàm $y = {x^3} - 3x + 1$ là hàm số của đồ thị trên.

Đồ thị hàm số $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}$ có TCN $y = \frac{a}{c}$ và TCĐ $x = - \frac{d}{c}$.

Hàm số $y = \frac{{3x - 1}}{{x - 3}}$ có x = 3 là tiệm cận đứng và y = 3 là tiệm cận ngang.

Dựa vào các đường tiệm cận để xác định hàm số.

Đồ thị hàm số có tiệm cận xiên y = x + 1 và đi qua điểm (0; 1) nên $y = \frac{{{x^2}}}{{x - 1}}$.

Tìm đạo hàm và tìm cực trị của hàm số.

Ta có $y = - {x^4} + 4{x^2} + 2019 \Rightarrow y' = - 4{x^3} + 8x = 0$

$\Rightarrow \left[ {$$\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 0}\\{x = \sqrt 2 }\\{x = - \sqrt 2 }\end{array}$} \right.

$\Rightarrow {x_1} + {x_2} + {x_3} = 0$.

- Tính đạo hàm của hàm số, giải phương trình y' = 0 xác định các nghiệm ${x_i} \in [0;4]$.

- Tính các giá trị: $y({x_i});y(0);y(4)$.

- Kết luận: ${\max _{[0;4]}}y = \max \{ y({x_i});y(0);y(4)\}$, ${\min _{[0;4]}}y = \min \{ y({x_i});y(0);y(4)\}$.

Ta có $y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 1 \Rightarrow y' = 3{x^2} - 6x - 9 = 0$

$\Leftrightarrow \left[ {$$\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = - 1 \notin [0;4]}\\{x = 3 \in [0;4]}\end{array}$} \right..

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng ta thấy giá trị lớn nhất M = 1, giá trị nhỏ nhất m = -26.

Vậy m + 2M = -24.

Áp dụng tính chất của hàm đồng biến.

Vì $f'(x) > 0,\forall x \in R$ nên hàm số y = f(x) đồng biến trên R.

Do đó ta có: $\{\begin{array}{l}f(2)>f(1)=2\\ f(3)>f(1)=2\end{array}\Rightarrow f(2)+f(3)>4$$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{f(2) > f(1) = 2}\\{f(3) > f(1) = 2}\end{array}} \right.$ \Rightarrow f(2) + f(3) > 4, nên mệnh đề A sai.

f(-1) < f(1) = 2 nên mệnh đề B sai.

F(2) > f(1) = 2 nên mệnh đề C sai.

Vì $2018 < 2019 \Rightarrow f(2018) < f(2019)$ nên mệnh đề D đúng.

Dựa vào định nghĩa để xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = f(x).

+ Đường thẳng $y = {y_0}$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = {y_0},\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = {y_0}$.

+ Đường thẳng $x = {x_0}$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau: $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} y = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} y = - \infty$.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{|x| - 2018}}{{x + 2019}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x - 2018}}{{x + 2019}} = 1$;

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{|x| - 2018}}{{x + 2019}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - x - 2018}}{{x + 2019}} = - 1$.

Ứng dụng đạo hàm khảo sát hàm số.

$y = {e^{{x^2} - 1}} \Rightarrow y' = {e^{{x^2} - 1}}.2x$.

$y' > 0 \Leftrightarrow x > 0$; $y' < 0 \Leftrightarrow x < 0$.

a) Sai. Hàm số đồng biến trên $(0, + \infty )$.

b) Đúng. Hàm số nghịch biến trên $( - \infty ,0)$.

c) Đúng. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.

d) Sai. ${\min _{( - \infty ,3]}}y = y(0) = {e^{ - 1}} = \frac{1}{e} > \frac{1}{\pi }$.

Ứng dụng đạo hàm khảo sát hàm số.

$y = f(x) = \frac{{{x^2} + 3x}}{{x - 1}} \Rightarrow f'(x) = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{(x - 1)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ {$$\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 3}\\{x = - 1}\end{array}$} \right..

Ta có bảng biến thiên:

a) Sai. Hàm số không đồng biến trên $\left( { - \infty ;1} \right)$.

b) Sai. Cực đại của hàm số f(x) là -1.

c) Sai. Hàm số có 2 điểm cực trị.

d) Đúng. $f(x) = \frac{{{x^2} + 3x}}{{x - 1}} = x + 4 + \frac{4}{{x - 1}}$ nên có tiệm cận xiên y = x + 4.

Đồ thị hàm số cắt Oy tại A(0; 4) và cắt Ox tại B(-4; 0) $\Rightarrow {S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2}.4.4 = 8$.

Ứng dụng đạo hàm khảo sát hàm số.

a) Đúng. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.

b) Đúng. Giao điểm với trục tung là điểm có tung độ âm.

c) Đúng. Giao điểm với trục hoành là điểm có hoành độ âm.

d) Sai. $y = \frac{{bx - c}}{{x - a}}$ có tiệm cận đứng: x = a > 0, có tiệm cận ngang y = b > 0.

Đồ thị cắt Oy tại điểm có tung độ $y = \frac{{ - c}}{a} < 0 \Rightarrow c > 0$.

Ứng dụng đạo hàm khảo sát hàm số.

a) Đúng. Khi vận tốc v = 10 (km/giờ) tức là khi tàu đi được 1 km thì thời gian là $t = \frac{s}{v} = \frac{1}{{10}}$.

Vậy chi phí nguyên liệu cho phần thứ nhất trên 1 km đường sông là $480.\frac{1}{{10}} = 48$ nghìn đồng.

b) Sai. 1 km đường sông với vận tốc x km/giờ thì thời gian đi là $t = \frac{1}{x}$.

Khi đó chi phí phần thứ nhất bằng $\frac{{480}}{x}$.

Phần thứ 2 có công thức $y = k.{v^3}$.

Khi x = 10 (km/giờ) thì phần thứ hai bằng 30 nghìn đồng/giờ nên $k = \frac{{30}}{{{{10}^3}}} = 0,003$ $\Rightarrow y = 0,003{x^3}$.

Khi đó ta có tổng chi phí nguyên liệu trên 1 km đường sông là $f(x) = \frac{{480}}{x} + 0,003{x^3}$.

c) Sai. Khi $x = 30 \Rightarrow f(30) = 97$ nghìn đồng.

d) Đúng. $f(x) = \frac{{480}}{x} + 0,003{x^3} \Rightarrow f'(x) = \frac{{ - 480}}{{{x^2}}} + 0,009{x^2}$.

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x \approx 15,2$.

Tìm giới hạn của hàm số $y = \dfrac{10x}{x + 10}$.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{10x}}{{x + 10}} = 10$ nên điện trở tương đương của mạch không thể vượt quá $10\Omega$.

Lập bảng xét dấu đạo hàm Điểm cực đại của hàm số là điểm mà tại đó hàm số liên tục và qua đó đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm.

Ta có:

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow {(x - 2)^2}{(x - 1)^3}(2x + 3)(x + 1) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ {$$\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 2}\\{x = 1}\\{x = - \frac{3}{2}}\\{x = - 1}\end{array}$} \right. (trong đó x = 2 là nghiệm bội chẵn).

Bảng xét dấu:

Ta thấy qua x = -1 đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm $\Rightarrow {x_{CD}} = - 1$.

Đặt $t = {x^2}$, từ đó tìm GTLN và GTNN của hàm số.

Đặt $t = {x^2}$. Vì $x \in [ - 1;1]$ nên $t \in [0;1]$.

Hàm số đã cho trở thành $g(t) = {t^3} + 4{(1 - t)^3}$ $= - 3{t^3} + 12{t^2} - 12t + 4$ với $t \in [0;1]$.

Xét hàm số $g(t) = - 3{t^3} + 12{t^2} - 12t + 4$ xác định và liên tục trên [0; 1].

$g'(t) = - 9{t^2} + 24t - 12 = 0$

$\Leftrightarrow - 9{t^2} + 24t - 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ {$$\begin{array}{llllllllllllllllllll}{t = \frac{2}{3} \in (0;1)}\\{t = 2 \notin (0;1)}\end{array}$} \right..

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{g(0) = 4}\\{g\left( {\frac{2}{3}} \right) = \frac{4}{9}}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{{\max }_{[0;1]}}g(t) = g(0) = 4}\\{{{\min }_{[0;1]}}g(t) = g\left( {\frac{2}{3}} \right) = \frac{4}{9}}\end{array}} \right.$

$\Rightarrow$$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{{\max }_{[ - 1;1]}}f(x) = 4 = M}\\{{{\min }_{[ - 1;1]}}f(x) = \frac{4}{9} = m}\end{array}} \right.$ \Rightarrow \frac{M}{m} = 9.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy.

Gọi $M\left( {a,\frac{{{a^2} + a + 1}}{{a + 1}}} \right)$

$\Rightarrow \overrightarrow {IM} = \left( {a + 1,a + 1 + \frac{1}{{a + 1}}} \right)$

$\Rightarrow I{M^2} = {(a + 1)^2} + {\left( {a + 1 + \frac{1}{{a + 1}}} \right)^2}$

$= {(a + 1)^2} + {(a + 1)^2} + 2.(a + 1).\frac{1}{{a + 1}} + \frac{1}{{{{(a + 1)}^2}}}$

$= 2{(a + 1)^2} + \frac{1}{{{{(a + 1)}^2}}} + 2$

$\ge 2\sqrt {2{{(a + 1)}^2}.\frac{1}{{{{(a + 1)}^2}}}} + 2 = 2\sqrt 2 + 2$.

Dấu “=” xảy ra khi $2{(a + 1)^2} = \frac{1}{{{{(a + 1)}^2}}}$

$\Leftrightarrow 2{(a + 1)^4} = 1 \Leftrightarrow {(a + 1)^4} = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow a + 1 = \frac{1}{{\sqrt[4]{2}}} \Leftrightarrow a = \frac{1}{{\sqrt[4]{2}}} - 1 = \frac{1}{{\sqrt[4]{a}}} - b$

$\Rightarrow$$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{a = 2}\\{n = 4}\\{b = 1}\end{array}} \right.$ \Rightarrow an + b = 9.

Gọi chiều rộng AB = x (x > 0) $\Rightarrow$ chiều dài AD = 2x.

Tính chiều cao AA’ theo x.

Tính diện tích cần xây dựng theo x.

Sử dụng BĐT Cauchy: $a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}$ (a, b, c > 0). Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.

Gọi chiều rộng AB = x (x > 0) $\Rightarrow$ chiều dài AD = 2x.

Diện tích đáy bể bằng $AB.AD = x.2x = 2{x^2}$.

Chiều cao của bể: $AA' = \frac{{200}}{{2{x^2}}} = \frac{{100}}{{{x^2}}}$.

Diện tích cần xây dựng:

$S = 2{x^2} + 2x.\frac{{100}}{{{x^2}}} + 2.2x.\frac{{100}}{{{x^2}}} = 2{x^2} + \frac{{600}}{x}$.

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

$2{x^2} + \frac{{600}}{x} = 2{x^2} + \frac{{300}}{x} + \frac{{300}}{x}$

$\ge 3\sqrt[3]{{2{x^2}.\frac{{300}}{x}.\frac{{300}}{x}}} = 30\sqrt[3]{{180}}$.

Dấu “=” xảy ra khi $2{x^2} = \frac{{300}}{x}$ $\Leftrightarrow {x^3} = 150$ $\Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{150}}$.

Vậy chi phí xây dựng thấp nhất là $30\sqrt[3]{{180}}.300000 \approx 51000000$ đồng = 51 triệu đồng.

Xét dấu của đạo hàm.

Ta có $y' = \frac{{(2x + 2)(x - 1) - ({x^2} + 2x + m)}}{{{{(x - 1)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2x - 2 - m}}{{{{(x - 1)}^2}}}$

$= \frac{{{{(x - 1)}^2} - 3 - m}}{{{{(x - 1)}^2}}} = 1 - \frac{{3 + m}}{{{{(x - 1)}^2}}}$.

Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 2) khi $y' \le 0(\forall x \in (1;2))$

$\Leftrightarrow 1 \le \frac{{3 + m}}{{{{(x - 1)}^2}}}(\forall x \in (1;2))$

$\Leftrightarrow 3 + m \ge {(x - 1)^2}(\forall x \in (1;2)) \Leftrightarrow 3 + m \ge 1 \Leftrightarrow m \ge - 2$.

Hàm số đồng biến trên khoảng (4; 5) khi $y' \ge 0(\forall x \in (4;5))$

$\Leftrightarrow 1 \ge \frac{{3 + m}}{{{{(x - 1)}^2}}}(\forall x \in (4;5))$

$\Leftrightarrow 3 + m \le {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {\forall x \in (4;5)} \right) \Leftrightarrow 3 + m \le 9 \Leftrightarrow m \le 6$.

Kết hợp ta có: $\{\begin{array}{l}-2\le m\le 6\\ m\in \mathbb{Z}\end{array}\Rightarrow$$\left\{ \begin{array}{l} - 2 \le m \le 6\\m \in \mathbb{Z}\end{array} \right.$ \Rightarrow có 9 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.