Đề cuối kì 1 Toán 12 năm 2024 – 2025 trường PT DTNT tỉnh Phú Yên

Hàm số đồng biến trên khoảng f’(x) > 0.

Quan sát bảng biến thiên, thấy f’(x) > 0 trên (0;1) nên hàm số đồng biến trên (0;1).

Hai vecto vuông góc có tích vô hướng bằng 0.

C nằm trên Oz nên C(0; 0; z).

$\overrightarrow {AB} = (0; - 1;2)$, $\overrightarrow {BC} = ( - 1;1;z)$.

$AB \bot BC \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = 0$

$\Leftrightarrow 1.( - 1) + ( - 1).1 + 2z = 0 \Leftrightarrow z = 1$.

Vậy $C\left( {0;0;1} \right)$.

Dựa vào giao điểm của đồ thị với trục tung và hướng đi nhánh cuối của đồ thị để dùng phương pháp loại trừ.

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ -2 nên d = -2, loại đáp án D.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty \Rightarrow a < 0$, loại đáp án A, C.

Chỉ có đáp án B thỏa mãn.

Đường thẳng $x = {x_0}$ gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = + \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = - \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = + \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = - \infty$.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{2}{3}}^ + }} y = + \infty$ nên đường tiệm cận đứng của đồ thị là $y = - \frac{2}{3}$.

Cho hàm số y = f(x).

Bước 1: Tìm tập xác định.

Bước 2: Tính đạo f’(x). Tìm các giá trị ${x_1},{x_2},...,{x_n} \in [a;b]$ sao cho f’(x) = 0 hoặc f’(x) không tồn tại.

Bước 3: Tính $f\left( a \right),f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right),...,f\left( {{x_n}} \right),f\left( b \right)$. Giá trị lớn nhất trong các giá trị vừa tìm là $\mathop {\max }\limits_{[a;b]} f(x)$, giá trị nhỏ nhất trong các giá trị vừa tìm là $\mathop {\min }\limits_{[a;b]} f(x)$.

Lưu ý: Nếu đề bài yêu cầu tìm GTLN, GTNN trên khoảng chứa $\pm \infty$, ta cầm tìm $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } f(x)$ và so sánh.

$f'(x) = \frac{{(x + 1)'(x - 1) - (x + 1)(x - 1)'}}{{{{(x - 1)}^2}}}$

$= \frac{{x - 1 - x - 1}}{{{{(x - 1)}^2}}} = \frac{{ - 2}}{{{{(x - 1)}^2}}} < 0$, $\forall x \ne 1$.

Do đó hàm số nghịch biến trên [3;5].

GTLN của hàm số trên [3;5] là f(3) = 2.

GTNN của hàm số trên [3;5] là $f(5) = \frac{3}{2}$.

Vậy $M - m = 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$.

Sử dụng kiến thức về tương giao đồ thị:

Cho phương trình (*) chứa f(x) và đồ thị hàm số y = f(x).

Bước 1: Cô lập f(x) từ phương trình đề bài cho, ta được f(x) = g(x).

Bước 2: Số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) chính là số nghiệm của (*).

Số nghiệm thực của phương trình f(x) = -1 là số giao điểm của đồ thị y = f(x) với đường thẳng y = -1.

Ta thấy đường thẳng y = -1 cắt y = f(x) tại 3 điểm phân biệt. Do đó số nghiệm thực của f(x) = -1 là 3.

Toạ độ của vecto: $\overrightarrow a \left( {x;y;z} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow a = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k$.

$\overrightarrow a = - \overrightarrow i + 2\overrightarrow j - 3\overrightarrow k = ( - 1;2; - 3)$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm: ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}$.

${Q_1} = 290 + \frac{{\frac{{50}}{4} - 3}}{{13}}.(330 - 290) = \frac{{4150}}{{13}}$.

${Q_3} = 370 + \frac{{\frac{{3.50}}{4} - (3 + 13 + 18)}}{{11}}.(410 - 370) = \frac{{4210}}{{11}}$.

${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{4210}}{{11}} - \frac{{4150}}{{13}} = \frac{{9080}}{{143}} \approx 63,5$.

Độ lệch chuẩn: $S = \sqrt {{S^2}}$.

Mẫu số liệu có phương sai là 25 thì có độ lệch chuẩn là $\sqrt {25} = 5$.

Với hai điểm $A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right)$ và $B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)$, ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A}} \right)$.

$\overrightarrow {AB} = (2 - 1;2 - 1;1 + 2) = (1;1;3)$.

Hàm số nghịch biến trên khoảng y' < 0.

$y' = \frac{{ - 58}}{{{{(5x - 9)}^2}}} < 0$, $\forall x \ne \frac{9}{5}$.

Do đó hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;\frac{9}{5}} \right)$ và $\left( {\frac{9}{5}; + \infty } \right)$.

Ta có $\left( {2; + \infty } \right) \subset \left( {\frac{9}{5}; + \infty } \right)$ nên hàm số nghịch biến trên $\left( {2; + \infty } \right)$.

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm $A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right)$, $B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)$.

Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là $I\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)$.

Nếu đề bài cho toạ độ trung điểm $I\left( {{x_I};{y_I};{z_I}} \right)$ của đoạn thẳng AB và điểm $A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right)$, ta tìm được điểm $B\left( {2{x_I} - {x_A};2{y_I} - {y_A};2{z_I} - {z_A}} \right)$.

Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua B. Khi đó B là trung điểm của AA’.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_B} = \frac{{{x_A} + {x_{A'}}}}{2}\\{y_B} = \frac{{{y_A} + {y_{A'}}}}{2}\\{z_B} = \frac{{{z_A} + {z_{A'}}}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A}' = 2{x_B} - {x_A} = 2.( - 1) - 2 = - 4\\{y_A}' = 2{y_B} - {y_A} = 2.2 - 1 = 3\\{z_A}' = 2{z_B} - {z_A} = 2.1 - 1 = 1\end{array} \right. \Rightarrow A'( - 4;3;1)$.

Lập bảng biến thiên, khảo sát hàm số.

$y' = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$.

Bảng biến thiên:

a) Đúng. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1.

b) Sai. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;1).

c) Sai. GTLN của hàm số trên [-1;1] bằng 0.

d) Đúng. $y = f(2x) = {(2x)^3} - 3.2x - 2 = 8{x^3} - 6x - 2$.

$y' = 24{x^2} - 6 = 0 \Leftrightarrow x = \pm \frac{1}{2}$.

Ta có: $f\left( { - \frac{1}{2}} \right) = 0$; $f\left( {\frac{1}{2}} \right) = - 4$.

Vậy GTNN của hàm số f(2x) trên $\left[ { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right]$ bằng -4.

Áp dụng công thức tính khoảng biến thiên và phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm và so sánh.

a) Đúng. Có $\overline {{x_1}} = \frac{{1 \cdot 145 + 1 \cdot 175 + 1 \cdot 205 + 8 \cdot 235 + 7 \cdot 265 + 2 \cdot 295}}{{20}} = 242,5$. 

Phương sai: $s_1^2 = \frac{1}{{20}}\left[ {$$\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{1 \cdot {{(145 - 242,5)}^2} + 1 \cdot {{(175 - 242,5)}^2} + 1 \cdot {{(205 - 242,5)}^2}}\\{ + 8 \cdot {{(235 - 242,5)}^2} + 7 \cdot {{(265 - 242,5)}^2} + 2 \cdot {{(295 - 242,5)}^2}}\end{array}$} \right] = 1248,75. 

b) Sai. $\overline {{x_2}} = \frac{{0 \cdot 145 + 1 \cdot 175 + 2 \cdot 205 + 4 \cdot 235 + 10 \cdot 265 + 3 \cdot 295}}{{20}} = 253$. 

$s_2^2 = \frac{1}{{20}}\left[ {$$\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{0 \cdot {{(145 - 253)}^2} + 1 \cdot {{(175 - 253)}^2} + 2 \cdot {{(205 - 253)}^2}}\\{ + 4 \cdot {{(235 - 253)}^2} + 10 \cdot {{(265 - 253)}^2} + 3 \cdot {{(295 - 253)}^2}}\end{array}$} \right] = 936. 

Độ lệch chuẩn: ${s_2} = \sqrt {936} \approx 30,59$. 

Có ${s_1} = \sqrt {1248,75} \approx 35,34$. 

Vì ${s_2} < {s_1}$ nên số giờ nắng trong tháng 6 của Quy Nhơn đồng đều hơn.

c) Đúng. ${s_2} = \sqrt {936} \approx 30,59$.

d) Sai. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu của Quy Nhơn là $R = 310 - 160 = 150$.

Lập hàm biểu diễn diện tích khung thép theo x.

Lập bảng biến thiên, tìm GTLN của hàm số đó.

a) Đúng. Chu vi của khung thép là x + 2y + x + x = 3x + 2y = 60.

b) Đúng. Ta có $y = \frac{{60 - 3x}}{2}$.

Diện tích khung là: $S = xy + \frac{{\sqrt 3 }}{4}{x^2} = x\frac{{60 - 3x}}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{4}{x^2}$

$= \frac{{120x - 6{x^2} + \sqrt 3 {x^2}}}{4} = \frac{{\sqrt 3 - 6}}{4}{x^2} + 30x$.

Xét hàm $S(x) = \frac{{\sqrt 3 - 6}}{4}{x^2} + 30x$ với $(0;20)$.

$S'(x) = \frac{{\sqrt 3 - 6}}{2}x + 30 = 0 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 - 6}}{2}x = - 60 \Leftrightarrow x = \frac{{60}}{{6 - \sqrt 3 }}$.

Bảng biến thiên:

Vậy khung có diện tích lớn nhất khi $x = \frac{{60}}{{6 - \sqrt 3 }}$.

c) Đúng. Tổng diện tích của khung là: $S = \dfrac{\sqrt{3} - 6}{4}x^{2} + 30x$.

d) Sai. Diện tích khung chữ nhật là:

$xy = x\frac{{60 - 3x}}{2} = \frac{{60x - 3{x^2}}}{2} = 30x - \frac{3}{2}{x^2}$.

Áp dụng các phép toán vecto trong không gian.

a) Đúng. I thuộc (Oxz) nên I(a;0;c).

Ta có $\overrightarrow {IB} = (2 - a;1;5 - c)$; $\overrightarrow {IC} = (2 - a;4;2 - c)$;

$3\overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} = (6 - 3a + a - 2;3 - 4;15 - 3c + c - 2)$

$= (4 - 2a; - 1;13 - 2c)$.

$\left| {3\overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} } \right| = \sqrt {{{(4 - 2a)}^2} + {{( - 1)}^2} + {{(13 - 2c)}^2}}$

$= \sqrt {\frac{{93}}{2} + {a^2} - 4a + {c^2} - 13c}$.

$\left| {3\overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} } \right|$ nhỏ nhất khi $\frac{{93}}{2} + {a^2} - 4a + {c^2} - 13c$ nhỏ nhất.

Ta có $\frac{{93}}{2} + {a^2} - 4a + {c^2} - 13c$

$= \left( {4 + {a^2} - 4a} \right) + \left( {\frac{{169}}{4} + {c^2} - 13c} \right) + \frac{1}{4} \ge \frac{1}{4}$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\{\begin{array}{l}a=2\\ c=\frac{13}{2}\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\c = \frac{{13}}{2}\end{array} \right.$.

Khi đó $a - 2b + 2c = 2 - 2.0 + 2.\frac{{13}}{2} = 15$.

b) Sai. $\overrightarrow {AB} = (1; - 1;2)$, $\overrightarrow {AC} = (1;2; - 1)$.

$\cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}}$

$= \frac{{1.1 - 1.2 - 1.2}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{{ - 1}}{2}$.

Vậy $\left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right) = {120^o}$.

c) Đúng. $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC}$

$= (1 + 2 + 2;2 + 1 + 4;3 + 5 + 2) = (5;7;10)$.

d) Đúng. Trung điểm của AB có tọa độ: $\left( {\frac{{1 + 2}}{2};\frac{{2 + 1}}{2};\frac{{3 + 5}}{2}} \right) = \left( {\frac{3}{2};\frac{3}{2};4} \right)$.

Để A, B, C thẳng hàng thì $\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC}$.

Áp dụng biểu thức tọa độ các phép toán vecto.

Ta có $\overrightarrow {AB} = ( - 4; - x - 2;2)$; $\overrightarrow {AC} = (4; - 3;y + 1)$.

Để A, B, C thẳng hàng thì $\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC}$

$\Leftrightarrow$$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{ - 4 = k.4}\\{ - x - 2 = k.( - 3)}\\{2 = k.(y + 1)}\end{array}} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{k = - 1}\\{x = - 5}\\{y = - 3}\end{array}} \right.$

Vậy x + y = -5 – 3 = -8.

Đường thẳng $x = {x_0}$ gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = + \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = - \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = + \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = - \infty$.

Đường thẳng $y = {y_0}$ gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = {y_0}$ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = {y_0}$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} - 2x + 5}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 - \frac{2}{x} + \frac{5}{{{x^2}}}}}{{1 - \frac{1}{{{x^2}}}}} = 1$.

Do đó, đồ thị có 1 tiệm cận ngang là y = 1.

$\left.$$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {x^2} - 2x + 5 = 4\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {x^2} - 1 = 0\end{array}$ \right\} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 2x + 5}}{{{x^2} - 1}} = + \infty;

$\left.$$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} {x^2} - 2x + 5 = 8\\\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} {x^2} - 1 = 0\end{array}$ \right\} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 2x + 5}}{{{x^2} - 1}} = + \infty.

Do đó, đồ thị có 2 tiệm cận đứng là x = 1 và x = -1.

Tìm tọa độ các điểm A, D, B, A', từ đó suy ra tọa độ C'. Áp dụng công thức tọa độ trung điểm của đoạn thẳng, tìm I.

Gốc tọa độ A(0; 0; 0).

Điểm D nằm trên trục Ox tương ứng với chiều dài 10 m $\Rightarrow D\left( {10;0;0} \right)$.

Điểm B nằm trên trục Oy tương ứng với chiều rộng 6 m $\Rightarrow B\left( {0;6;0} \right)$.

Điểm A’ nằm trên trục Oz tương ứng với chiều cao 4 m $\Rightarrow A'\left( {0;0;4} \right)$.

Điểm C’ có tọa độ C’(10; 6; 4).

Chiếc quạt treo ở chính giữa phòng học, tức điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AC’.

Ta có $I\left( {\frac{{0 + 10}}{2};\frac{{0 + 6}}{2};\frac{{0 + 4}}{2}} \right) \Rightarrow I(5;3;2)$.

Vậy a + b + c = 5 + 3 + 2 = 10.

Tính ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}$.

Cỡ mẫu: n = 45 + 34 + 23 + 18 + 5 = 125.

${Q_1} = 0 + \frac{{\frac{{125}}{4} - 0}}{{45}}.2 = \frac{{25}}{{18}}$.

${Q_3} = 4 + \frac{{\frac{3}{4}.125 - (45 + 34)}}{{23}}.2 = \frac{{243}}{{46}}$.

${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{243}}{{46}} - \frac{{25}}{{18}} \approx 3,89$.

Đồ thị hàm số dạng $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}$ với $c \ne 0,ad - bc \ne 0$ có tiệm cận ngang là $y = \frac{a}{c}$, tiệm cận đứng  là $x = - \frac{d}{c}$, cắt trục tung tại điểm có tung độ $y = \frac{b}{d}$.

Đồ thị có tiệm cận đứng là x = 1 hay $\frac{1}{c} = 1 \Rightarrow c = 1$.

Đồ thị có tiệm cận ngang là y = -1 hay $\frac{a}{c} = - 1 \Rightarrow \frac{a}{1} = - 1 \Rightarrow a = - 1$.

Đồ thị cắt trục Oy tại điểm (0; 2) nên $2 = \frac{{a.0 + b}}{{c.0 - 1}} = \frac{b}{{ - 1}} \Rightarrow b = - 2$.

Vậy S = a + b + c = (-1) + (-2) + 1 = -2.

Lập hàm biểu diễn thể tích khối hộp theo x. Tính đạo hàm, lập bảng biến thiên tìm x để hàm số đtạ GTLN.

Điều kiện độ dài cạnh cắt: $0 < x < \frac{{15}}{2} = 7,5$.

Chiều cao hình hộp là $x$, các cạnh đáy lần lượt là $15 - 2x$ và $24 - 2x$.

Thể tích khối hộp:

$V\left( x \right) = x\left( {15 - 2x} \right)\left( {24 - 2x} \right)$

$= x\left( {360 - 78x + 4{x^2}} \right)$

$= 4{x^3} - 78{x^2} + 360x$.

$V'\left( x \right) = 12{x^2} - 156x + 360$.

$V'(x) = 0 \Leftrightarrow 12{x^2} - 156x + 360 = 0 \Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}x = 3\\x = 10\end{array}$ \right..

Vì $0 < x < 7,5$ nên nhận giá trị $x = 3$.

Từ bảng biến thiên, thấy V(x) đạt GTLN tại x = 3.