Đề học kỳ 1 Toán 12 năm 2024 – 2025 trường THPT Triệu Sơn 1 – Thanh Hóa

Đưa phương trình về dạng f(x) = a.

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng nằm ngang y = a.

Từ đồ thị hàm số, ta thấy đường thẳng y = 2,5 cắt đồ thị hàm số y = f(x) tại 3 điểm phân biệt.

Do đó, phương trình 2f(x) - 5 = 0 có 3 nghiệm phân biệt.

Để tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm, ta lấy đầu mút phải của nhóm cuối cùng trừ đi đầu mút trái của nhóm đầu tiên.

Khoảng biến thiên R = 65 - 40 = 25.

Dựa vào hình dạng đồ thị.

Đồ thị đã cho có dạng đồ thị của hàm số bậc ba $y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$.

Khi $x \to + \infty$ thì $y \to + \infty$ nên hệ số a > 0.

Đối chiếu các phương án, ta thấy hàm số $y = {x^3} - 3x + 1$ thỏa mãn.

Sử dụng tính chất hình hộp: các cạnh bên song song và bằng nhau, từ đó xác định các vectơ cùng hướng và cùng độ dài.

Vectơ bằng với $\overrightarrow {AA'}$ là $\overrightarrow {CC'}$ vì chúng có cùng hướng và cùng độ dài.

Tính độ dài đường chéo $BD = \sqrt {{{({x_D} - {x_B})}^2} + {{({y_D} - {y_B})}^2} + {{({z_D} - {z_B})}^2}}$. Cạnh hình vuông $a = \frac{{BD}}{{\sqrt 2 }}$.

Độ dài đường chéo:

$BD = \sqrt {{{( - 5 - 3)}^2} + {{( - 4 - 0)}^2} + {{(0 - 8)}^2}} = 12$.

Do ABCD là hình vuông nên cạnh của hình vuông là $AB = \frac{{BD}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{12}}{{\sqrt 2 }} = 6\sqrt 2$.

Tọa độ $\overrightarrow {AB} = ({x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A})$.

$\overrightarrow {AB} = (1 - 0;3 - ( - 2); - 2 - 1) = (1;5; - 3)$.

Từ bảng biến thiên, tìm giá trị y tại điểm mà đạo hàm f'(x) đổi dấu từ âm sang dương.

Căn cứ vào bảng biến thiên, hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 và giá trị cực tiểu tương ứng là ${y_{CT}} = f(0) = 2$.

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}$ ($c \ne 0,ad - bc \ne 0$) là đường thẳng $x = - \frac{d}{c}$.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{4x + 1}}{{x - 1}} = + \infty$, nên đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Tìm các điểm cực trị trên đoạn [-1; 1], tính giá trị tại các điểm đó và hai đầu mốc, từ đó tìm M, m và M + m.

Hàm số $y = f(x) = 2{x^3} - 5{x^2} + 3$ liên tục trên [-1; 1].

$y' = 6{x^2} - 10x = 0 \Leftrightarrow \left[ {$$\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 0 \in [ - 1;1]}\\{x = \frac{5}{3} \notin [ - 1;1]}\end{array}$} \right..

Ta có: f(-1) = -4, f(0) = 3, f(1) = 0.

Do đó $M = {\max _{[ - 1;1]}}f(x) = 3$ và $m = {\min _{[ - 1;1]}}f(x) = - 4$.

Vậy M + m = 3 + (-4) = -1.

Tính đạo hàm y', tìm các khoảng mà y' < 0.

Tập xác định $D = \mathbb{R}$.

$y' = 3{x^2} - 3 < 0 \Leftrightarrow {x^2} - 1 < 0 \Leftrightarrow - 1 < x < 1$.

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (-1; 1).

Hình chiếu vuông góc của điểm $A({x_0};{y_0};{z_0})$ lên trục Ox có tọa độ là $({x_0};0;0)$.

Điểm A(3; 1; - 5) có hình chiếu vuông góc trên trục Ox là A'(3; 0; 0).

Áp dụng công thức tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm,

Cỡ mẫu: n = 4 + 8 + 13 + 6 + 4 = 35.

Số trung bình: $\bar x = \frac{{4.3 + 8.7 + 13.11 + 6.15 + 4.19}}{{35}} = \frac{{377}}{{35}}$.

Phương sai:

${s^2} = \frac{{{{4.3}^2} + {{8.7}^2} + {{13.11}^2} + {{6.15}^2} + {{4.19}^2}}}{{35}} - {\left( {\frac{{377}}{{35}}} \right)^2} \approx 20,98$.

Quan sát đồ thị hàm số để xác định min/max, điểm cực trị, khoảng đồng biến/nghịch biến và tọa độ tâm đối xứng.

a) Đúng. Theo đồ thị, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0; 3] bằng 1.

b) Sai. Đường thẳng y = 0 (trục hoành) cắt đồ thị hàm số tại 1 điểm duy nhất nên phương trình f(x) = 0 chỉ có 1 nghiệm.

c) Đúng. Trên khoảng (1; 3), đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải nên hàm số đồng biến.

d) Đúng. Hai điểm cực trị là (1; 1) và (3; 5).

Tâm đối xứng I của đồ thị là trung điểm của đoạn nối 2 điểm cực trị: ${x_I} = \frac{{1 + 3}}{2} = 2$, ${y_I} = \frac{{1 + 5}}{2} = 3 \Rightarrow I(2;3)$.

Thay x = 2 vào phương trình đường thẳng $y = 2x - 1 \Rightarrow y = 2.2 - 1 = 3$ (thỏa mãn).

Vậy $I \in (d):y = 2x - 1$.

Xét điều kiện xác định, đạo hàm y', tiệm cận và giao điểm với trục Oy.

a) Sai. ĐKXĐ: $2x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{1}{2}$. Tập xác định $$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}$$.

b) Sai. Đạo hàm $y' = \frac{{3( - 1) - ( - 1).2}}{{{{(2x - 1)}^2}}} = \frac{{ - 1}}{{{{(2x - 1)}^2}}} < 0$, $\forall x \ne \frac{1}{2}$.

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.

c) Đúng. $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \frac{3}{2} \Rightarrow y = \frac{3}{2}$ là tiệm cận ngang; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ + }} y = \infty \Rightarrow x = \frac{1}{2}$ là tiệm cận đứng.

d) Đúng. Cho $x = 0 \Rightarrow y = \frac{{ - 1}}{{ - 1}} = 1$. Đồ thị cắt Oy tại (0; 1).

Sử dụng công thức trọng tâm, điều kiện hình bình hành $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}$, đẳng thức vectơ và tích vô hướng.

a) Đúng. $G\left( {\frac{{1 + 2 - 4}}{3};\frac{{2 - 1 + 7}}{3};\frac{{ - 1 + 3 + 5}}{3}} \right) = G\left( { - \frac{1}{3};\frac{8}{3};\frac{7}{3}} \right)$.

b) Sai. ABCD là hình bình hành $\Leftrightarrow \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AB}$.

Ta có $\overrightarrow {AB} = (1; - 3;4)$. Với $D(2;1; - 3) \Rightarrow \overrightarrow {DC} = ( - 4 - 2;7 - 1;5 - ( - 3)) = ( - 6;6;8)$.

Vậy $\overrightarrow {DC} \ne \overrightarrow {AB}$ nên ABCD không là hình bình hành với D(2; 1; -3).

c) Sai. $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \vec 0$

$\Leftrightarrow (1 - x;2 - y; - 1 - z) + (2 - x; - 1 - y;3 - z) + 2( - 4 - x;7 - y;5 - z) = (0;0;0)$

$\Leftrightarrow ( - 5 - 4x;15 - 4y;12 - 4z) = (0;0;0) \Rightarrow x = - \frac{5}{4},y = \frac{{15}}{4},z = 3$.

Ta có: $4x + 4y + z = 4.\left( { - \frac{5}{4}} \right) + 4.\frac{{15}}{4} + 3 = 13$.

d) Sai. $\overrightarrow {AB} = (1; - 3;4)$, $\overrightarrow {AC} = ( - 5;5;6)$.

Ta có $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 1.( - 5) + ( - 3).5 + 4.6 = 4$.

Sử dụng các công thức tính khoảng biến thiên, tứ phân vị, trung bình, phương sai đối với mẫu số liệu ghép nhóm.

a) Đúng. R = 51, 5 - 48, 5 = 3.

b) Sai. Cỡ mẫu: n = 30.

${Q_1} = 49 + \frac{{\frac{{30}}{4} - 6}}{2}.0,5 = \frac{{395}}{8}$.

${Q_3} = 51 + \frac{{\frac{{3.30}}{4} - 22}}{8}.0,5 = \frac{{1633}}{{32}}$.

Khoảng tứ phân vị ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} \approx 1,66$.

c) Sai. Số trung bình:

$\bar x = \frac{{6.48,75 + 2.49,25 + 4.49,75 + 4.50,25 + 6.50,75 + 8.51,25}}{{30}} = \frac{{3011}}{{60}} \approx 50,18$.

d) Sai. Phương sai:

${s^2} = \frac{{6.48,{{75}^2} + 2.49,{{25}^2} + 4.49,{{75}^2} + 4.50,{{25}^2} + 6.50,{{75}^2} + 8.51,{{25}^2}}}{{30}} - {\left( {\frac{{3011}}{{60}}} \right)^2} \approx 0,8622$.

Độ lệch chuẩn: $s \approx \sqrt {0,8622}$.

Đường thẳng y = ax + b $(a \ne 0)$ gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) - (ax + b)} \right] = 0$ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) - (ax + b)} \right] = 0$.

Ta có $y = \frac{{{x^2} + 3x + 2}}{{x - 3}} = x + 6 + \frac{{20}}{{x - 3}}$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - (x + 6)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{20}}{{x - 3}} = 0$

Suy ra đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là y = g(x) = x + 6.

Vậy g(-2) = - 2 + 6 = 4.

Do hàm số đồng biến trên khoảng giữa 2 nghiệm cực trị $({x_1};{x_2})$ nên a < 0. Dùng định lý Viete cho $y' = 3a{x^2} + 2bx + c = 0$ để xét dấu b, c.

Hàm số đồng biến trên khoảng $({x_1};{x_2})$ nên hệ số a < 0.

Đồ thị cắt Oy tại điểm có tung độ âm nên y(0) = d < 0.

Hàm số đạt cực trị tại ${x_1},{x_2}$ là các nghiệm của $y' = 3a{x^2} + 2bx + c = 0$.

Theo định lý Viete: $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-\frac{2b}{3a}\\ x_1{x}_2=\frac{c}{3a}\end{array}$$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{x_1} + {x_2} = - \frac{{2b}}{{3a}}}\\{{x_1}{x_2} = \frac{c}{{3a}}}\end{array}} \right.$.

Vì ${x_1} \in ( - 1;0)$ và ${x_2} \in (1;2)$ nên: ${x_1}{x_2} < 0 \Rightarrow \frac{c}{{3a}} < 0$. Mà $a < 0 \Rightarrow c > 0$.

Mặt khác, ${x_1} + {x_2} > 0$ (vì ${x_2} > 1 > \left| {{x_1}} \right|$) $\Rightarrow - \frac{{2b}}{{3a}} > 0 \Rightarrow \frac{b}{a} < 0$. Mà $a < 0 \Rightarrow b > 0$.

Vậy trong các số a, b, c chỉ có 1 số âm là a.

Sử dụng phương pháp tọa độ.

Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ. Khi đó $M( - 2,6;x)$.

Gọi $B( - a;0)$ suy ra $A(0;\sqrt {25 - {a^2}} )$.

Phương trình AB: $\frac{x}{{ - a}} + \frac{y}{{\sqrt {25 - {a^2}} }} - 1 = 0$.

Do $CD\parallel AB$ nên phương trình CD: $\frac{x}{{ - a}} + \frac{y}{{\sqrt {25 - {a^2}} }} - T = 0$.

Mà khoảng cách giữa AB và CD bằng 1,9 m nên

$\frac{{|T - 1|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{1}{a}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{{\sqrt {25 - {a^2}} }}} \right)}^2}} }} = 1,9 \Rightarrow T = 1 + \frac{{9,5}}{{a\sqrt {25 - {a^2}} }}$.

Điều kiện để ô tô đi qua được là M, O nằm khác phía đối với bờ là đường thẳng CD.

Suy ra $\frac{{ - 2,6}}{{ - a}} + \frac{x}{{\sqrt {25 - {a^2}} }} - 1 - \frac{{9,5}}{{a\sqrt {25 - {a^2}} }} \ge 0$

$\Leftrightarrow x \ge \sqrt {25 - {a^2}} + \frac{{9,5}}{a} - \frac{{2,6.\sqrt {25 - {a^2}} }}{a}$.

Xét hàm số $f\left( a \right)$ trên $\left( {0;5} \right]$, ta tìm được $\max f\left( a \right) = f\left( 3 \right) = 3,7$.

Vậy chiều rộng nhỏ nhất $x = 3,7$ m.

Sử dụng công thức góc giữa hai vectơ: $\cos (\overrightarrow a;\overrightarrow b) = \frac{{\overrightarrow a.\overrightarrow b}}{{|\overrightarrow a|.|\overrightarrow b|}}$.

Ta có: $\cos (\vec a;\vec b) = \cos {60^o} = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{{1.1 + 1.0 + ( - 2)m}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2} + {m^2}} }} = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{{1 - 2m}}{{\sqrt 6 .\sqrt {1 + {m^2}} }} = \frac{1}{2}$

Điều kiện: $1 - 2m > 0 \Leftrightarrow m \le \frac{1}{2}$.

Bình phương hai vế:

$4{(1 - 2m)^2} = 6(1 + {m^2}) \Leftrightarrow 4(1 - 4m + 4{m^2}) = 6 + 6{m^2}$

$\Leftrightarrow 10{m^2} - 16m - 2 = 0 \Leftrightarrow 5{m^2} - 8m - 1 = 0$.

Phương trình có hai nghiệm: $m = \frac{{4 - \sqrt {21} }}{5}$ (thỏa mãn) và $m = \frac{{4 + \sqrt {21} }}{5}$ (loại do $> \frac{1}{2}$).

Vậy S có 1 phần tử.

Xác định tọa độ của quả bóng B và vị trí chạm sàn A' của cây quạt (hình chiếu của A lên mặt sàn Oxy), từ đó tính khoảng cách A'B.

Tâm trần nhà có chiều rộng 6 m, chiều dài 8 m, cao 4 m.

Vị trí quạt trần A(3; 4; 4).

Khi rơi thẳng xuống sàn, vị trí chạm sàn A' là hình chiếu vuông góc của A lên sàn $(Oxy) \Rightarrow A'(3;4;0)$.

Quả bóng B nằm trên sàn (z = 0), cách tường (Oxz) 2 m $\Rightarrow {y_B} = 2$, cách tường (Oyz) 3 m $\Rightarrow {x_B} = 3$.

Tọa độ quả bóng B(3; 2; 0).

Khoảng cách giữa A' và B:

$A'B = \sqrt {{{(3 - 3)}^2} + {{(4 - 2)}^2} + {{(0 - 0)}^2}} = 2$ m.

Tính các tứ phân vị ${Q_1},{Q_3}$ bằng công thức ghép nhóm, từ đó tính khoảng tứ phân vị ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}$.

Cỡ mẫu: n = 25.

${Q_1} = 10 + \frac{{\frac{{25}}{4} - 4}}{6}.(12 - 10) = 10,75$.

${Q_3} = 14 + \frac{{\frac{{3.25}}{4} - (4 + 6 + 8)}}{4}.(16 - 14) = 14,375$.

${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 14,375 - 10,75 \approx 3,6$.