Đề thi giữa học kì 1 Toán 12 - Đề số 3

Tìm khoảng mà y' < 0.

Dựa vào BBT ta thấy hàm số đã cho nghịch biến trên (-1; 3).

Lập bảng xét dấu của f'(x).

$\left. f'(x) = 0\Leftrightarrow\left\lbrack$$\begin{array}{l} {x = - \dfrac{1}{2}} \\ {x = 2} \\ {x = 3} \end{array}$ \right. \right. với x = 3 là nghiệm kép.

Bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu ta thấy hàm số có 1 điểm cực đại

- Tính f'(x), xác định các nghiệm $x_{i} \in \lbrack - 3;3\rbrack$ của phương trình f'(x) = 0.

- Tính $f( - 3),f(3),f(x_{i})$.

- KL: $\min_{\lbrack - 3;3\rbrack}f(x) = \min\left\{ f( - 3),f(3),f(x_{i}) \right\}$.

Ta có: $f'(x) = 3x^{2} - 3$.

$\left. f'(x) = 0\Leftrightarrow 3x^{2} - 3 = 0\Leftrightarrow x = \pm 1 \in \lbrack - 3;3\rbrack \right.$.

Lại có: f(-3) = -16, f(-1) = 4, f(1) = 0, f(3) = 20.

Cho hàm số y = f(x). Đường thẳng $x = x_{0}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau: $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}^{+}}y = + \infty$ hoặc $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}^{+}}y = - \infty$ hoặc $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}^{-}}y = + \infty$ hoặc $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}^{-}}y = - \infty$.

Ta có: $\lim\limits_{x\rightarrow 1^{+}}y = \lim\limits_{x\rightarrow 1^{-}}\dfrac{4x + 1}{x - 1} = + \infty$.

Do đó x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Dựa vào đồ thị hàm số.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng $( - \infty; - 1)$ và (0; 1).

Dựa vào đồ thị hàm số.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy trên đoạn [-2; 3], giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số tương ứng là -3 và 4. Do đó 2m - 3M = 2.(-3) - 3.4 = -18.

Dựa vào tính chất của trọng tâm tứ diện.

Do G là trọng tâm của tứ diện nên $\overset{\rightarrow}{GA} + \overset{\rightarrow}{GB} + \overset{\rightarrow}{GC} + \overset{\rightarrow}{GD} = \overset{\rightarrow}{0}$

$\left. \Rightarrow\overset{\rightarrow}{GA} + \overset{\rightarrow}{GA} + \overset{\rightarrow}{AB} + \overset{\rightarrow}{GA} + \overset{\rightarrow}{AC} + \overset{\rightarrow}{GA} + \overset{\rightarrow}{AD} = \overset{\rightarrow}{0} \right.$

$\Rightarrow 4\overset{\rightarrow}{GA} + \overset{\rightarrow}{AB} + \overset{\rightarrow}{AC} + \overset{\rightarrow}{AD} = \overset{\rightarrow}{0}$

$\Rightarrow\overset{\rightarrow}{AG} = \dfrac{1}{4}(\overset{\rightarrow}{AB} + \overset{\rightarrow}{AC} + \overset{\rightarrow}{AD})$.

Từ đây ta thấy ý A sai.

Dựa vào tính chất của hình hộp chữ nhật.

Ta có: $\overset{\rightarrow}{AA^{\prime}} = \overset{\rightarrow}{DD^{\prime}}$, $\overset{\rightarrow}{AB} \neq \overset{\rightarrow}{AD}$. Do đó $\overset{\rightarrow}{AB} + \overset{\rightarrow}{AA^{\prime}} \neq \overset{\rightarrow}{AD} + \overset{\rightarrow}{DD^{\prime}}$.

Hình chiếu vuông góc của điểm M(a; b; c) lên mặt phẳng (Oxy) là M'(a; b; 0).

Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (Oxy) có tọa độ là (1; 2; 0).

Tích vô hướng của hai vectơ.

Ta có: $\overset{\rightarrow}{OA} = (2; - 2;1)$, $\overset{\rightarrow}{OB} = (0;5; - 1)$

$\Rightarrow\overset{\rightarrow}{OA}.\overset{\rightarrow}{OB} = 2.0 + 0.5 + 1.( - 1) = - 1$.

Tìm M sao cho $\overset{\rightarrow}{AB} = k\overset{\rightarrow}{AM}$, $k \in {\mathbb{R}}$.

Vì M thuộc mặt phẳng (Oxy) nên M(a; b; 0).

Ta có: $\overset{\rightarrow}{AB} = ( - 2;3;1)$, $\overset{\rightarrow}{AM} = (a - 2;b + 2; - 1)$.

Để A, B, M thẳng hàng thì $\overset{\rightarrow}{AB} = k\overset{\rightarrow}{AM}$, $k \in {\mathbb{R}}$: $\left.$$\left\{ \begin{array}{l} {- 2 = k(a - 2)} \\ {3 = k(b + 2)} \\ {1 = k( - 1)} \end{array} \right.$Rightarrow$\left\{ \begin{array}{l} {k = - 1} \\ {a = 4} \\ {b = - 5} \end{array} \right.$ \right..

Do đó M(4; -5; 0).

Dựa vào đồ thị hàm số.

TXĐ: $D = {\mathbb{R}}\backslash\left\{ {- 1} \right\}$.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định nên $y' < 0,\forall x \neq - 1$.

Ứng dụng đạo hàm, khảo sát hàm số.

Ta có: $y' = 6x^{2} - 10x - 24$.

$\left. y' = 0\Leftrightarrow 6x^{2} - 10x - 24 = 0\Leftrightarrow\left\lbrack$$\begin{array}{l} {x = - \dfrac{4}{3}} \\ {x = 3} \end{array}$ \right. \right..

Bảng biến thiên:

a) Đúng. Hàm số có hai cực trị.

b) Đúng. Hàm số đạt cực đại tại $x = - \dfrac{4}{3}$, giá trị cực đại là $\dfrac{10}{27}$.

c) Sai. Hàm số nghịch biến trên $\left( {- \dfrac{4}{3};3} \right)$.

d) Sai. Hàm số đồng biến trên $\left( {- \infty; - \dfrac{4}{3}} \right)$ và $(3; + \infty)$.

Áp dụng biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ.

a) Đúng. Ta có: $\overset{\rightarrow}{a} + \overset{\rightarrow}{b} = (3; - 3; - 3)$.

b) Sai. Ta có: $\dfrac{2}{1} = \dfrac{- 2}{- 1} \neq \dfrac{- 4}{1}$. Do đó $\overset{\rightarrow}{a}$ và $\overset{\rightarrow}{b}$ không cùng phương.

c) Sai. $\left| \overset{\rightarrow}{b} \right| = \sqrt{1^{2} + {( - 1)}^{2} + 1^{2}} = \sqrt{3}$.

d) Đúng. $\overset{\rightarrow}{a} = 2\overset{\rightarrow}{i} - 2\overset{\rightarrow}{j} - 4\overset{\rightarrow}{k}$.

- Tính f'(x), xác định các nghiệm $x_{i} \in \lbrack - 4;4\rbrack$ của phương trình f'(x) = 0.

- Tính $f( - 4),f(4),f(x_{i})$.

- KL: $\max\limits_{\text{[} - 4;4\rbrack}f(x) = \min\left\{ f( - 4),f(4),f(x_{i}) \right\}$, $\max\limits_{\text{[} - 4;4\rbrack}f(x) = \max\left\{ f( - 4),f(4),f(x_{i}) \right\}$.

Ta có: $f'(x) = 3x^{2} - 6x - 9$.

$\left. f'(x) = 0\Leftrightarrow 3x^{2} - 6x - 9 = 0\Leftrightarrow\left\lbrack$$\begin{array}{l} {x = 3} \\ {x = - 1} \end{array}$ \right. \right..

Lại có: f(-4) = -41; f(-1) = 40; f(3) = 8; f(4) = 15.

Vậy $\max\limits_{\text{[} - 4;4\rbrack}f(x) = 40$ đạt được khi x = -1, $\max\limits_{\text{[} - 4;4\rbrack}f(x) = - 41$ đạt được khi x = -4.

a) Đúng. $\max\limits_{\text{[} - 4;4\rbrack}f(x) = 40$ đạt được khi x = -1.

b) Sai. $\max\limits_{\text{[} - 4;4\rbrack}f(x) = 40$ đạt được khi x = -1.

c) Sai. $\lim\limits_{x\rightarrow - \infty}f(x) = - \infty$, $\lim\limits_{x\rightarrow + \infty}f(x) = + \infty$.

d) Đúng. Đồ thị hàm số không có đường tiệm cận.

Sử dụng tích vô hướng của hai vectơ.

a) Đúng. Ta có: $BC^{2} = 2a^{2} = AB^{2} + AC^{2}$.

Do đó tam giác ABC vuông tại A.

Lại có: SA = AB = SB = a. Do đó tam giác SAB đều.

b) Đúng. Ta có: $\left. AB\bot AC\Rightarrow\overset{\rightarrow}{AB}.\overset{\rightarrow}{AC} = 0 \right.$.

Vì tam giác SAB đều nên $(\overset{\rightarrow}{AS},\overset{\rightarrow}{AB}) = 60^{o}$

$\Rightarrow(\overset{\rightarrow}{SA},\overset{\rightarrow}{AB}) = 180^{o} - 60^{o} = 120^{o}$.

c) Sai. Ta có: $\overset{\rightarrow}{SC}.\overset{\rightarrow}{AB} = (\overset{\rightarrow}{SA} + \overset{\rightarrow}{AC}).\overset{\rightarrow}{AB}$

$= \overset{\rightarrow}{SA}.\overset{\rightarrow}{AB} + \overset{\rightarrow}{AC}.\overset{\rightarrow}{AB}$

$= SA.AB.\cos(\overset{\rightarrow}{SA},\overset{\rightarrow}{AB}) + AB.AC.\cos(\overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{AC})$

$= a.a.\left( {- \dfrac{1}{2}} \right) + a.a.\dfrac{1}{2} = 0$.

d) Sai. Ta có: $\left. \overset{\rightarrow}{SC}.\overset{\rightarrow}{AB} = 0\Rightarrow\cos(\overset{\rightarrow}{SC},\overset{\rightarrow}{AB}) = 90^{o} \right.$.

Ứng dụng đạo hàm, khảo sát hàm số.

Ta có: $y' = 3x^{2} - 6x$.

$\left. y' = 0\Leftrightarrow 3x^{2} - 6x = 0\Leftrightarrow\left\lbrack$$\begin{array}{l} {x = 0} \\ {x = 2} \end{array}$ \right. \right..

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy giá trị cực đại và cực tiểu tương ứng là 0 và -6.

Khi đó $2a^{2} + b = 2.0^{2} - 6 = - 6$.

Để ABCD là hình bình hành thì $\overset{\rightarrow}{AB} = \overset{\rightarrow}{DC}$, từ đó tìm tọa độ điểm D.

Ta có: $\overset{\rightarrow}{AB} = ( - 2;2;0)$, $\overset{\rightarrow}{DC} = ( - 4 - x_{D};7 - y_{D}; - 1 - z_{D})$.

Để ABCD là hình bình hành thì $\left. \overset{\rightarrow}{AB} = \overset{\rightarrow}{DC}\Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l} {- 4 - x_{D} = - 2} \\ {7 - y_{D} = 2} \\ {- 1 - z_{D} = 0} \end{array} \right.$Leftrightarrow$\left\{ \begin{array}{l} {x_{D} = - 2} \\ {y_{D} = 5} \\ {z_{D} = - 1} \end{array} \right.$ \right..

Khi đó $S = x_{D} + y_{D} + z_{D} = - 2 + 5 + ( - 1) = 2$.

Tính $\left| {\overset{\rightarrow}{a} - \overset{\rightarrow}{b}} \right|^{2}$, từ đó tìm được $\left| {\overset{\rightarrow}{a} - \overset{\rightarrow}{b}} \right|$.

Ta có: $\left| {\overset{\rightarrow}{a} + \overset{\rightarrow}{b}} \right|^{2} = (\overset{\rightarrow}{a} + \overset{\rightarrow}{b})(\overset{\rightarrow}{a} + \overset{\rightarrow}{b})$

$= {\overset{\rightarrow}{a}}^{2} + 2\overset{\rightarrow}{a}\overset{\rightarrow}{b} + {\overset{\rightarrow}{b}}^{2} = \left| \overset{\rightarrow}{a} \right|^{2} + \left| \overset{\rightarrow}{b} \right|^{2} + 2\overset{\rightarrow}{a}\overset{\rightarrow}{b}$

$\left. \Rightarrow 48^{2} = 26^{2} + 28^{2} + 2\overset{\rightarrow}{a}\overset{\rightarrow}{b}\Rightarrow 2\overset{\rightarrow}{a}\overset{\rightarrow}{b} = 844 \right.$.

Ta có: $\left| {\overset{\rightarrow}{a} - \overset{\rightarrow}{b}} \right|^{2} = (\overset{\rightarrow}{a} - \overset{\rightarrow}{b})(\overset{\rightarrow}{a} - \overset{\rightarrow}{b})$

$= {\overset{\rightarrow}{a}}^{2} - 2\overset{\rightarrow}{a}\overset{\rightarrow}{b} + {\overset{\rightarrow}{b}}^{2} = \left| \overset{\rightarrow}{a} \right|^{2} + \left| \overset{\rightarrow}{b} \right|^{2} - 2\overset{\rightarrow}{a}\overset{\rightarrow}{b}$

$= 26^{2} + 28^{2} - 844 = 616$.

Do đó $\left| {\overset{\rightarrow}{a} - \overset{\rightarrow}{b}} \right| = \sqrt{616} \approx 24,8$.

Vẽ đồ thị hàm y = |f(x)|.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số có dạng của hàm số bậc ba nên $f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ $(a \neq 0)$.

Đồ thị hàm số đi qua 2 điểm (-1; 3), (1; -1) nên $\{\begin{array}{l}-a+b-c+d=3\\ a+b+c+d=-1\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {- a + b - c + d = 3} \\ {a + b + c + d = - 1} \end{array} \right.$ (*)

Lại có: $f'(x) = 3ax^{2} + 2bx + c$.

Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nên f'(-1) = 0, f'(1) = 0.

Khi đó $\{\begin{array}{l}3a-2b+c=0\\ 3a+2b+c=0\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {3a - 2b + c = 0} \\ {3a + 2b + c = 0} \end{array} \right.$ (**)

Từ (*) và (**) suy ra $\{\begin{array}{l}a=1\\ b=0\\ c=-3\\ d=1\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {a = 1} \\ {b = 0} \\ {c = - 3} \\ {d = 1} \end{array} \right.$.

Như vậy $f(x) = x^{3} - 3x + 1$. Ta có đồ thị của hàm số y = |f(x)|.

Từ đồ thị hàm số ta thấy $M = 3$, $\left. m = 1\Rightarrow T = 673.3 - 2019.1 = 0 \right.$.

Lập xét dấu của hàm số a(t) trên [0; 126].

Ta có: $v'(t) = 0,003906t^{2} - 0,18058t$

$\Rightarrow a'(t) = 0,007812t - 0,18058$.

$\left. a'(t) = 0\Leftrightarrow t \approx 23,1 \right.$.

Bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu ta thấy m = 23,1.

- Lập công thức tính V theo x.

- Lập BBT để tìm giá trị lớn nhất của V.

Ta thấy độ dài x (dm) của cạnh hình vuông bị cắt thỏa mãn điều kiện 0 < x < 1,5.

Thể tích của khối hộp là $V(x) = x{(3 - 2x)}^{2}$, 0 < x < 15.

$\Rightarrow V'(x) = {(3 - 2x)}^{2} - 4x(3 - 2x)$

$= 3(3 - 2x)(1 - 2x)$.

$\left. V'(x) = 0\Leftrightarrow\left\lbrack$$\begin{array}{l} {x = 0,5} \\ {x = 1,5 \notin (0;1,5)} \end{array}$ \right. \right..

Bảng biến thiên:

Từ BBT ta thấy giá trị lớn nhất của V là 2 xảy ra tại x = 0,5.