Đề thi học kì 1 Toán 12 năm 2025 - 2026 trường THPT Ngô Mây - Quảng Ngãi

Dựa vào bảng biến thiên, khoảng đồng biến của hàm số là khoảng mà $y' > 0$ (chiều biến thiên đi lên).

Từ bảng biến thiên, ta thấy $y' > 0$ trên các khoảng $\left( {- 1;0} \right)$ và $\left( {1; + \infty} \right)$.

Do đó, hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( {- 1;0} \right)$.

Quan sát bảng biến thiên trên đoạn $\left\lbrack {- 1;3} \right\rbrack$, xác định giá trị lớn nhất (điểm cao nhất) và giá trị nhỏ nhất (điểm thấp nhất) của $f(x)$.

Dựa vào bảng biến thiên trên đoạn $\left\lbrack {- 1;3} \right\rbrack$:

Giá trị lớn nhất của hàm số đạt được tại $x = 0$ với $\max\limits_{\lbrack{- 1;3}\rbrack}f(x) = f(0) = 5$.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt được tại $x = - 1$ với $\min\limits_{\lbrack{- 1;3}\rbrack}f(x) = f\left( {- 1} \right) = 0$.

Vậy khẳng định đúng là $\min\limits_{\lbrack{- 1;3}\rbrack}f(x) = f\left( {- 1} \right)$.

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \dfrac{ax + b}{cx + d}$ ($c \neq 0,ad - bc \neq 0$) là đường thẳng $y = \dfrac{a}{c}$.

Ta có $\lim\limits_{x\rightarrow \pm \infty}\dfrac{2x + 1}{x + 1} = 2$.

Do đó, đường thẳng $y = 2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Nhận dạng dạng đồ thị của hàm số bậc ba $y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$: xác định hệ số $a$ dựa vào nhánh cuối cùng, tọa độ các điểm cực trị và giao điểm với trục tung.

Đồ thị là của hàm số bậc ba $y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$.

Nhánh cuối cùng của đồ thị đi xuống khi $\left. x\rightarrow + \infty \right.$ nên $a < 0$. Do đó loại B và D.

Đồ thị cắt trục tung tại điểm $\left( {0;1} \right)$, do đó $d = 1$. Loại C.

Đồ thị ở đáp án A khớp với hình vẽ.

Sử dụng tính chất trọng tâm.

Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $BCD$ nên với mọi điểm $A$ bất kỳ trong không gian, ta luôn có:

$\overset{\rightarrow}{AB} + \overset{\rightarrow}{AC} + \overset{\rightarrow}{AD} = 3\overset{\rightarrow}{AG}$.

Sử dụng định nghĩa hai vectơ bằng nhau: có cùng hướng và cùng độ dài.

$\overset{\rightarrow}{AA'} = \overset{\rightarrow}{CC'}$ vì chúng có cùng hướng và cùng độ dài.

Sử dụng quy tắc hình hộp và quy tắc cộng, trừ vectơ để phân tích từng đẳng thức.

Xét đáp án A: Theo quy tắc hình hộp xuất phát từ đỉnh C, ta có $\overset{\rightarrow}{CA'} = \overset{\rightarrow}{CB} + \overset{\rightarrow}{CD} + \overset{\rightarrow}{CC'}$. Do đó khẳng định $\overset{\rightarrow}{CA'} = \overset{\rightarrow}{CB} + \overset{\rightarrow}{CC'}$ là sai.

Xét đáp án B: $\overset{\rightarrow}{AB} + \overset{\rightarrow}{AD} + \overset{\rightarrow}{AA'} = \overset{\rightarrow}{AC'}$, đây là quy tắc hình hộp (đúng).

Xét đáp án C: $\overset{\rightarrow}{BA} + \overset{\rightarrow}{BC} + \overset{\rightarrow}{BB'} = \overset{\rightarrow}{BD'}$, đây là quy tắc hình hộp (đúng).

Xét đáp án D: $\overset{\rightarrow}{A'B'} + \overset{\rightarrow}{BC} - \overset{\rightarrow}{C'C} = \overset{\rightarrow}{AB} + \overset{\rightarrow}{AD} + \overset{\rightarrow}{CC'}$

$= \overset{\rightarrow}{AB} + \overset{\rightarrow}{AD} + \overset{\rightarrow}{AA'} = \overset{\rightarrow}{AC'}$, đúng.

Nếu $\overset{\rightarrow}{u} = x\overset{\rightarrow}{i} + y\overset{\rightarrow}{j} + z\overset{\rightarrow}{k}$ thì tọa độ của $\overset{\rightarrow}{u}$ là $\left( {x;y;z} \right)$.

Do $\overset{\rightarrow}{u} = - 2\overset{\rightarrow}{i} + 3\overset{\rightarrow}{j} + 4\overset{\rightarrow}{k}$ nên tọa độ của vectơ $\overset{\rightarrow}{u}$ là $\left( {- 2;3;4} \right)$.

Tọa độ trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$ là $x_{I} = \dfrac{x_{A} + x_{B}}{2}$, $y_{I} = \dfrac{y_{A} + y_{B}}{2}$, $z_{I} = \dfrac{z_{A} + z_{B}}{2}$.

Ta có: $x_{I} = \dfrac{1 + 3}{2} = 2$, $y_{I} = \dfrac{3 + \left( {- 1} \right)}{2} = 1$, $z_{I} = \dfrac{- 1 + 5}{2} = 2$.

Vậy $I\left( {2;1;2} \right)$.

Sử dụng công thức tích vô hướng: $\overset{\rightarrow}{a}.\overset{\rightarrow}{b} = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3}$.

$\overset{\rightarrow}{a}.\overset{\rightarrow}{b} = 1.2 + \left( {- 2} \right).\left( {- 1} \right) + \left( {- 3} \right).\left( {- 2} \right) = 10$.

Lấy đầu mút phải của nhóm cuối cùng trừ đi đầu mút trái của nhóm đầu tiên.

Khoảng biến thiên $R = 50,5 - 10,5 = 40$.

Tính giá trị đại diện $x_{i}$ của mỗi nhóm, số trung bình $\overline{x}$, phương sai $s^{2}$ và độ lệch chuẩn $s = \sqrt{s^{2}}$.

Số trung bình:

$\overline{x} = \dfrac{7.45 + 6.55 + 19.65 + 23.75 + 10.85}{65} = \dfrac{4455}{65}$.

Phương sai:

$s^{2} = \dfrac{1}{65}\left( {7.45^{2} + 6.55^{2} + 19.65^{2} + 23.75^{2} + 10.85^{2}} \right) - \left( \dfrac{4455}{65} \right)^{2} \approx 136,71$.

Độ lệch chuẩn: $s_{x} = \sqrt{136,71} \approx 11,69$.

Tính đạo hàm $f'(x)$.

Khảo sát biến thiên, tính giá trị cực trị và giá trị trên đoạn $\left\lbrack {1;3} \right\rbrack$.

Tìm điểm uốn (nghiệm của $f''(x) = 0$) để xác định tâm đối xứng.

a) Đúng. $f'(x) = \left( {x^{3} - 3x^{2} + 1} \right)' = 3x^{2} - 6x$.

b) Đúng. Cho $\left. f'(x) = 0\Leftrightarrow 3x^{2} - 6x = 0\Leftrightarrow x = 0 \right.$ hoặc $x = 2$.

Trên đoạn $\left\lbrack {1;3} \right\rbrack$, ta tính $f(1) = - 1$, $f(2) = - 3$, $f(3) = 1$.

Do đó giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $\left\lbrack {1;3} \right\rbrack$ là $\max\limits_{\lbrack{1;3}\rbrack}f(x) = f(3) = 1$.

c) Sai. Bảng biến thiên cho thấy trên $\left( {1;2} \right)$ thì $f'(x) < 0$ (hàm số nghịch biến), trên $\left( {2;3} \right)$ thì $f'(x) > 0$ (hàm số đồng biến). Do đó hàm số không đồng biến trên toàn khoảng $\left( {1;3} \right)$.

d) Đúng. Ta có $f''(x) = 6x - 6$; $\left. f''(x) = 0\Leftrightarrow x = 1\Rightarrow y = f(1) = - 1 \right.$.

Vậy tâm đối xứng của đồ thị là $I\left( {1; - 1} \right)$.

Hình chiếu của $M\left( {x;y;z} \right)$ lên $\left( {Oxy} \right)$ là $P\left( {x;y;0} \right)$, lên $Oz$ là $Q\left( {0;0;z} \right)$.

Sử dụng tính chất hình bình hành $\left. MNPQ\Rightarrow\overset{\rightarrow}{MN} = \overset{\rightarrow}{QP} \right.$.

a) Đúng. Điểm $P$ là hình chiếu của $M\left( {- 2;1;4} \right)$ lên $\left( {Oxy} \right)$ nên $P\left( {- 2;1;0} \right)$.

b) Đúng. Điểm $Q$ là hình chiếu của $M\left( {- 2;1;4} \right)$ lên $Oz$ nên $Q\left( {0;0;4} \right)$.

c) Sai. Vì $MNPQ$ là hình bình hành nên $\overset{\rightarrow}{MN} = \overset{\rightarrow}{QP}$.

d) Đúng. Ta có $\overset{\rightarrow}{QP} = \left( {- 2 - 0;1 - 0;0 - 4} \right) = \left( {- 2;1; - 4} \right)$.

Gọi $N\left( {x_{N};y_{N};z_{N}} \right)$, ta có $\overset{\rightarrow}{MN} = \left( {x_{N} + 2;y_{N} - 1;z_{N} - 4} \right)$.

Vì $\left. \overset{\rightarrow}{MN} = \overset{\rightarrow}{QP}\Leftrightarrow$$\left\{ \begin{matrix} {x_{N} + 2 = - 2} \\ {y_{N} - 1 = 1} \\ {z_{N} - 4 = - 4} \end{matrix} \right.$Leftrightarrow$\left\{ \begin{matrix} {x_{N} = - 4} \\ {y_{N} = 2} \\ {z_{N} = 0} \end{matrix} \right.$Rightarrow N\left( {- 4;2;0} \right) \right..

Xác định tọa độ các đỉnh dựa vào trục tọa độ và kích thước cho trước: $O\left( {0;0;0} \right)$, $A\left( {3;0;0} \right)$, $B\left( {0;2;0} \right)$, $C\left( {0;0;2,5} \right)$, $E\left( {3;2;2,5} \right)$.

a) Sai. Điểm $A$ nằm trên trục $Ox$ và cách $O$ một khoảng bằng 3 dm nên $A\left( {3;0;0} \right)$.

b) Đúng. Ta có $A\left( {3;0;0} \right)$ và $B\left( {0;2;0} \right)$ nên $\overset{\rightarrow}{AB} = \left( {0 - 3;2 - 0;0 - 0} \right) = \left( {- 3;2;0} \right)$.

c) Sai. $B\left( {0;2;0} \right)$, $C\left( {0;0;2,5} \right)$ $\Rightarrow BC^{2} = \left( {0 - 0} \right)^{2} + \left( {0 - 2} \right)^{2} + \left( {2,5 - 0} \right)^{2} = 10,25$.

$\left. A\left( {3;0;0} \right)\Rightarrow AC^{2} = \left( {0 - 3} \right)^{2} + \left( {0 - 0} \right)^{2} + \left( {2,5 - 0} \right)^{2} = 15,25 \right.$.

$BC^{2} - AC^{2} = 10,25 - 15,25 = - 5$.

d) Đúng. Tọa độ điểm $E$ ứng với x = 3; y = 2; z = 2,5 nên $E\left( {3;2;2,5} \right)$.

Áp dụng công thức tính số trung bình, khoảng biến thiên, tần số tích lũy và phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm.

Tổng số học sinh: n = 8 + 16 + 11 + 8 + 2 = 45.

Giá trị đại diện các nhóm: $x_{1} = 5,5$; $x_{2} = 6,5$; $x_{3} = 7,5$; $x_{4} = 8,5$; $x_{5} = 9,5$.

a) Sai. Điểm trung bình:

$\overline{x} = \dfrac{8.5,5 + 11.6,5 + 16.7,5 + 8.8,5 + 2.9,5}{45} = \dfrac{127}{18} \approx 7,06$.

b) Đúng. Khoảng biến thiên R = 10 – 5 = 5.

c) Sai. Số học sinh đạt từ 7 điểm trở lên là 11 + 8 + 2 = 21 học sinh.

d) Sai. Phương sai:

$s^{2} = \dfrac{1}{45}\left( {8.5,5^{2} + 16.6,5^{2} + 11.7,5^{2} + 8.8,5^{2} + 2.9,5^{2}} \right) - \left( \dfrac{43}{6} \right)^{2} \approx 1,22$.

Sử dụng công thức $\overset{\rightarrow}{u}.\overset{\rightarrow}{v} = \left| {\overset{\rightarrow}{u}| \cdot |\overset{\rightarrow}{v}} \right| \cdot \cos\left( {\overset{\rightarrow}{u},\overset{\rightarrow}{v}} \right)$.

$\overset{\rightarrow}{u}.\overset{\rightarrow}{v} = \left| {\overset{\rightarrow}{u}| \cdot |\overset{\rightarrow}{v}} \right| \cdot \cos\left( {\overset{\rightarrow}{u},\overset{\rightarrow}{v}} \right) = 2.3.\dfrac{1}{2} = 3$.

Cỡ mẫu $\left. n = 60\Rightarrow\dfrac{n}{2} = 30 \right.$. Xác định nhóm chứa trung vị.

Công thức trung vị $M_{e} = r_{m} + \left( \dfrac{\dfrac{n}{2} - C}{n_{m}} \right).d$.

Tần số tích lũy: $n_{1} = 8$, $n_{1} + n_{2} = 26$, $n_{1} + n_{2} + n_{3} = 50$.

Do $26 < 30 \leq 50$ nên nhóm chứa trung vị là nhóm 3: $\left\lbrack {30;40} \right)$.

$M_{e} = 30 + \dfrac{30 - 26}{24}.10 \approx 31,7$.

Dựa vào đồ thị xác định đường tiệm cận đứng x = -n, các điểm cực trị để lập hệ phương trình tìm a, b, c, n.

Tiệm cận đứng của đồ thị là $x = - 2$ $\Rightarrow - n = - 2$ $\Rightarrow n = 2$. Hàm số trở thành $y = \dfrac{ax^{2} + bx + c}{x + 2}$.

Đạo hàm $y' = \dfrac{\left( {2ax + b} \right)\left( {x + 2} \right) - \left( {ax^{2} + bx + c} \right)}{\left( {x + 2} \right)^{2}}$ $= \dfrac{ax^{2} + 4ax + 2b - c}{\left( {x + 2} \right)^{2}}$.

Vì $x = - 1$ là nghiệm của $y' = 0$ nên $a\left( {- 1} \right)^{2} + 4a\left( {- 1} \right) + 2b - c = 0$ $\Leftrightarrow - 3a + 2b - c = 0$.

Mặt khác, đồ thị đi qua điểm $\left( {- 1;1} \right)$ $\Rightarrow\dfrac{a\left( {- 1} \right)^{2} + b\left( {- 1} \right) + c}{- 1 + 2} = 1$ $\Leftrightarrow a - b + c = 1$.

Đồ thị đi qua điểm $\left( {- 3; - 3} \right)$ $\Rightarrow\dfrac{a\left( {- 3} \right)^{2} + b\left( {- 3} \right) + c}{- 3 + 2} = - 3$ $\Leftrightarrow 9a - 3b + c = 3$.

Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} {a - b + c = 1} \\ {9a - 3b + c = 3} \\ {- 3a + 2b - c = 0} \end{array}\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {a = 1} \\ {b = 3} \\ {c = 3} \end{array} \right. \right.$.

Tính tổng: $3a - 2b - c + n = 3.1 - 2.3 - 3 + 2 = - 4$.

Trọng lực $\overset{\rightarrow}{P}$ có độ lớn $P = m.g$. Đèn ở trạng thái cân bằng nên tổng các lực căng bằng trọng lực.

Độ lớn trọng lực tác động lên đèn chùm là: P = mg = 8.9,8 = 78,4 (N).

Giả sử đèn chùm được minh họa như hình vẽ trên.

Gọi O là tâm hình vuông ABCD.

Ta có $\overset{\rightarrow}{OA} + \overset{\rightarrow}{OB} + \overset{\rightarrow}{OC} + \overset{\rightarrow}{OD} = \overset{\rightarrow}{0}$

$\left. \Leftrightarrow\overset{\rightarrow}{OS} + \overset{\rightarrow}{SA} + \overset{\rightarrow}{OS} + \overset{\rightarrow}{SB} + \overset{\rightarrow}{OS} + \overset{\rightarrow}{SC} + \overset{\rightarrow}{OS} + \overset{\rightarrow}{SD} = \overset{\rightarrow}{0} \right.$

$\left. \Leftrightarrow\overset{\rightarrow}{SA} + \overset{\rightarrow}{SB} + \overset{\rightarrow}{SC} + \overset{\rightarrow}{SD} = - 4\overset{\rightarrow}{OS} = 4\overset{\rightarrow}{SO} \right.$

$\left. \Rightarrow\left| {\overset{\rightarrow}{SA} + \overset{\rightarrow}{SB} + \overset{\rightarrow}{SC} + \overset{\rightarrow}{SD}} \right| = \left| {4\overset{\rightarrow}{SO}} \right| = 4SO \right.$.

Trọng lượng của vật là P = 78,4 (N).

Suy ra $4\left| \overset{\rightarrow}{SO} \right| = P = 78,4$. Do đó $SO = \dfrac{78,4}{4} = \dfrac{98}{5}$.

Vì $\widehat{ASC} = 60^{o}$ suy ra $\widehat{ASO} = 30^{o}$.

Xét tam giác SAO vuông tại O:

$\cos\widehat{ASO} = \dfrac{SO}{SA}$ $\Leftrightarrow SA = \dfrac{SO}{\cos\widehat{ASO}} = \dfrac{\dfrac{98}{5}}{\cos 30^{o}} \approx 22,6$ (N).

Vậy lực tác dụng lên mỗi sợi dây xích xấp xỉ 22,6 (N).

Sử dụng công thức tọa độ trọng tâm tam giác $ABC$: $x_{G} = \dfrac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3}$, $y_{G} = \dfrac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3}$, $z_{G} = \dfrac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3}$.

Gọi $G\left( {x;y;z} \right)$ là trọng tâm của tam giác $ABC$.

Ta có: $x_{G} = \dfrac{2 + 1 + \left( {- 1} \right)}{3} = \dfrac{2}{3}$; $y_{G} = \dfrac{- 1 + 1 + 0}{3} = 0$; $z_{G} = \dfrac{3 + \left( {- 1} \right) + 2}{3} = \dfrac{4}{3}$.

Vậy $G\left( {\dfrac{2}{3};0;\dfrac{4}{3}} \right)$.

Biểu diễn độ dài các cạnh theo bán kính $x$ của nửa đường tròn.

Lập biểu thức tổng chi phí $y$ theo biến $x$.

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số chi phí $y(x)$ trên khoảng xác định.

Gọi $x$ (mét) là bán kính của nửa hình tròn đường kính $CE$ ($0 < x < 8$).

Độ dài đường kính $CE = 2x$.

Chu vi nửa đường tròn khung gió là $\pi x$.

Tổng độ dài thanh sắt là 8 m dùng để làm: nửa đường tròn ($CE$), hai cạnh chiều cao AB, BC (với $AB = CE = 2x$, $BC = AE = h$), và hai cạnh AB, CE.

Chu vi khung: $\pi x + 2x + 2h + 2x = 8$

$\Rightarrow\pi x + 4x + 2h = 8\Rightarrow h = \dfrac{8 - \left( {4 + \pi} \right)x}{2}$.

Diện tích khung gió (nửa hình tròn bán kính $x$) là:

$S_{1} = \dfrac{1}{2}\pi x^{2}$ $\text{(m}^{2}\text{)}$

Giá làm khung gió là: $T_{1} = 300.\dfrac{1}{2}\pi x^{2} = 150\pi x^{2}$ (nghìn đồng).

Diện tích khung cửa (hình chữ nhật $ABCE$ có hai cạnh $2x$ và $h$) là:

$S_{2} = 2x.h = 2x.\dfrac{8 - \left( {4 + \pi} \right)x}{2} = 8x - \left( {4 + \pi} \right)x^{2}$ $\text{(m}^{2}\text{)}$.

Giá làm khung cửa là: $T_{2} = 400.\left\lbrack {8x - \left( {4 + \pi} \right)x^{2}} \right\rbrack$ (nghìn đồng).

Tổng chi phí làm bộ cửa là:

$y = T + T' = 150\pi x^{2} + 400\left\lbrack {8x - \left( {4 + \pi} \right)x^{2}} \right\rbrack$

$= - \left( {1600 + 250\pi} \right)x^{2} + 3200x$ (nghìn đồng).

Ta có $\left. y' = - \left( {3200 + 500\pi} \right)x + 3200 = 0\Leftrightarrow x = \dfrac{32}{5\pi + 32} \right.$.

Đây là hàm số bậc hai có dạng $y = ax^{2} + bx$ với $a = - \left( {1600 + 250\pi} \right) < 0$ nên hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $x = \dfrac{32}{5\pi + 32}$ (m).

Khi đó: $y_{max} = - \left( {1600 + 250\pi} \right).\left( \dfrac{32}{5\pi + 32} \right)^{2} + 3200.\dfrac{32}{5\pi + 32} \approx 1073,2$ (nghìn đồng).

Vậy chi phí tối đa bác An phải trả cho bộ cửa đó là khoảng 1 073 200 đồng.