Đề thi học kì 1 Toán 12 năm 2025 - 2026 trường THPT Phú Lộc - Huế

Sử dụng tính chất hình hộp và định nghia hai véc-tơ bằng nhau (cùng hướng, cùng độ dài).

Tứ giác $BDD'B'$ là hình bình hành, do đó $\overset{\rightarrow}{BD} = \overset{\rightarrow}{B'D'}$.

Áp dụng quy tắc hình hộp: $\overset{\rightarrow}{A'A} + \overset{\rightarrow}{A'B'} + \overset{\rightarrow}{A'D'} = \overset{\rightarrow}{A'C}$.

Áp dụng quy tắc hình hộp đối với đỉnh $A'$, ta có: $\overset{\rightarrow}{u} = \overset{\rightarrow}{A'A} + \overset{\rightarrow}{A'B'} + \overset{\rightarrow}{A'D'} = \overset{\rightarrow}{A'C}$.

Điểm cực trị là điểm mà tại đó $f'(x)$ đổi dấu khi đi qua nó.

Hàm số có 2 điểm cực trị là x = -1 và x = 1.

Sử dụng quy tắc ba điểm cộng véc-tơ: $\overset{\rightarrow}{AB} + \overset{\rightarrow}{BC} = \overset{\rightarrow}{AC}$.

Ta có $\overset{\rightarrow}{BC} + \overset{\rightarrow}{AB} = \overset{\rightarrow}{AB} + \overset{\rightarrow}{BC} = \overset{\rightarrow}{AC}$.

Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \dfrac{ax + b}{cx + d}$ ($c \neq 0,ad - bc \neq 0$) là đường thẳng $x = - \dfrac{d}{c}$.

Do $\lim\limits_{x\rightarrow 2^{+}}\dfrac{3x + 2}{x - 2} = + \infty$, nên $x = 2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Quan sát đồ thị xác định đường tiệm cận đứng $x = - 1$ và tiệm cận ngang $y = 1$.

Đồ thị có tiệm cận đứng $x = - 1$ và tiệm cận ngang $y = 1$.

Chỉ có hàm số $y = \dfrac{x - 1}{x + 1}$ có hai đường tiệm cận trên.

Xác định nhóm chứa mốt (nhóm có tần số lớn nhất), sau đó tính giá trị đại diện $x_{i} = \dfrac{a_{i} + a_{i + 1}}{2}$.

Tần số lớn nhất là 20, tương ứng với nhóm $\left\lbrack {155;160} \right)$.

Giá trị đại diện của nhóm chứa mốt là: $\dfrac{155 + 160}{2} = 157,5$.

Khoảng biến thiên $R = a_{k} - a_{1}$, trong đó $a_{1}$ là đầu mút trái của nhóm đầu tiên, $a_{k}$ là đầu mút phải của nhóm cuối cùng.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: R = 5 – 2 = 3.

$\overset{\rightarrow}{b} - \overset{\rightarrow}{a} = \left( {x_{b} - x_{a};y_{b} - y_{a};z_{b} - z_{a}} \right)$.

Tọa độ của véc-tơ $\overset{\rightarrow}{b} - \overset{\rightarrow}{a} = \left( {2 - \left( {- 1} \right);0 - 3;3 - \left( {- 2} \right)} \right) = \left( {3; - 3;5} \right)$.

Nếu $\overset{\rightarrow}{u} = x\overset{\rightarrow}{i} + y\overset{\rightarrow}{j} + z\overset{\rightarrow}{k}$ thì $\overset{\rightarrow}{u} = \left( {x;y;z} \right)$.

Từ $\left. \overset{\rightarrow}{u} = 1\overset{\rightarrow}{i} - 2\overset{\rightarrow}{j} - 1\overset{\rightarrow}{k}\Rightarrow\overset{\rightarrow}{u} = \left( {1; - 2; - 1} \right) \right.$.

Dựa vào lý thuyết các số đặc trưng đo độ phân tán.

Phương sai $s^{2}$ không nhất thiết lớn hơn độ lệch chuẩn $s$. Nếu $0 < s < 1$ thì $s^{2} < s$. Do đó phát biểu D là sai.

Dựa vào đồ thị xác định điểm thấp nhất và điểm cao nhất của đồ thị trên đoạn $\left\lbrack {- 2;3} \right\rbrack$ để tìm $m$ và $M$.

Quan sát đồ thị trên đoạn $\left\lbrack {- 2;3} \right\rbrack$:

Giá trị lớn nhất là $M = 4$ (tại $x = - 1$).

Giá trị nhỏ nhất là $m = - 3$ (tại $x = - 2$).

Do đó $M + m = 4 + \left( {- 3} \right) = 1$.

Xác định tọa độ các đỉnh của hình hộp chữ nhật: $A\left( {0;0;0} \right)$, $B\left( {2;0;0} \right)$, $C\left( {2;3;0} \right)$, $D\left( {0;3;0} \right)$, $A'\left( {0;0;4} \right)$, $B'\left( {2;0;4} \right)$, $C'\left( {2;3;4} \right)$, $D'\left( {0;3;4} \right)$. Từ đó tính tọa độ các véc-tơ, tích vô hướng và độ dài các cạnh.

Tọa độ các điểm: A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), C(2; 3; 0), D(0; 3; 0), A’(0; 0; 4), B’(2; 0; 4), C’(2; 3; 4), D’(0; 3; 4).

a) Đúng. Ta có $\overset{\rightarrow}{AC'} = \left( {2 - 0;3 - 0;4 - 0} \right) = \left( {2;3;4} \right)$.

b) Sai. Tâm $I$ của hình hộp là trung điểm của $AC'$, có tọa độ $I\left( {\dfrac{2 + 0}{2};\dfrac{3 + 0}{2};\dfrac{4 + 0}{2}} \right) = \left( {1;1,5;2} \right)$.

c) Sai. Ta có $\overset{\rightarrow}{AC'} = \left( {2;3;4} \right)$, $\overset{\rightarrow}{CD'} = \left( {0 - 2;3 - 3;4 - 0} \right) = \left( {- 2;0;4} \right)$.

Tích vô hướng $\overset{\rightarrow}{AC'}.\overset{\rightarrow}{CD'} = 2.\left( {- 2} \right) + 3.0 + 4.4 = 12$.

d) Sai. Ta có: $AB' = \sqrt{2^{2} + 0^{2} + 4^{2}} = 2\sqrt{5} \approx 4,472$.

$AD' = \sqrt{0^{2} + 3^{2} + 4^{2}} = 5$.

$B'D' = \sqrt{\left( {0 - 2} \right)^{2} + \left( {3 - 0} \right)^{2} + \left( {4 - 4} \right)^{2}} = \sqrt{13} \approx 3,606$.

Chu vi tam giác $AB'D'$ là $P = \sqrt{20} + 5 + \sqrt{13} \approx 13,078 < 13,5$.

Thay tọa độ điểm $A$ vào hàm số.

Tính $y\text{'}$ để xét tính đơn điệu và cực trị.

Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và giao điểm của chúng.

a) Sai. Thay $x = 0$ vào $y = \dfrac{3.0 + 2}{0 + 2} = 1$. Do đó đồ thị đi qua $\left( {0;1} \right)$, không đi qua $A\left( {0;2} \right)$.

b) Sai. Tập xác định $D = {\mathbb{R}} \smallsetminus \left\{ {- 2} \right\}$.

Ta có $y' = \dfrac{3.2 - 2.1}{\left( {x + 2} \right)^{2}} = \dfrac{4}{\left( {x + 2} \right)^{2}} > 0,\forall x \neq - 2$.

Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( {- \infty; - 2} \right)$ và $\left( {- 2; + \infty} \right)$, không phải trên $\mathbb{R}$.

c) Đúng. Do $y' > 0$ trên tập xác định nên hàm số không có cực trị.

d) Đúng. Tiệm cận đứng $x = - 2$, tiệm cận ngang $y = 3$. Giao điểm hai đường tiệm cận là $I\left( {- 2;3} \right)$.

Khai triển $\overset{\rightarrow}{AB}\left( {\overset{\rightarrow}{AB} - \overset{\rightarrow}{DA}} \right) = {\overset{\rightarrow}{AB}}^{2} - \overset{\rightarrow}{AB}.\overset{\rightarrow}{DA}$.

Tính $\overset{\rightarrow}{AB}.\overset{\rightarrow}{DA} = AB.DA.\cos\left( {\overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{DA}} \right)$.

$\overset{\rightarrow}{AB}\left( {\overset{\rightarrow}{AB} - \overset{\rightarrow}{DA}} \right) = {\overset{\rightarrow}{AB}}^{2} - \overset{\rightarrow}{AB}.\overset{\rightarrow}{DA}$

$= AB^{2} - AB.DA.\cos\left( {\overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{DA}} \right)$.

Vì tứ diện $ABCD$ đều có cạnh bằng 2 nên góc giữa $\overset{\rightarrow}{AB}$ và $\overset{\rightarrow}{DA}$ là $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.

Do đó: $\overset{\rightarrow}{AB}\left( {\overset{\rightarrow}{AB} - \overset{\rightarrow}{DA}} \right) = 2^{2} - 2.2.\cos 120^{\circ} = 6$.

Tính $Q_{1}$ và $Q_{3}$ của mẫu số liệu ghép nhóm theo công thức, sau đó \(\text{\Delta }_{Q} = Q_{3} - Q_{1}\).

Cỡ mẫu $n = 12 + 20 + 37 + 21 + 10 = 100$.

Nhóm chứa $Q_{1}$ là $\left\lbrack {4;6} \right)$.

Ta có $Q_{1} = 4 + \dfrac{\dfrac{100}{4} - 12}{20}.\left( {6 - 4} \right) = \dfrac{53}{10}$.

Nhóm chứa $Q_{3}$ là $\left\lbrack {8;10} \right)$.

$Q_{3} = 8 + \dfrac{\dfrac{3.100}{4} - \left( {12 + 20 + 37} \right)}{21}.\left( {10 - 8} \right) = \dfrac{60}{7}$.

Khoảng tứ phân vị:

\(\text{\Delta }_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = \dfrac{60}{7} - \dfrac{53}{10} = \dfrac{229}{70} \approx 3,27\).

Điểm đối xứng với $M\left( {x;y;z} \right)$ qua trục $Oy$ là $N\left( {- x;y; - z} \right)$. Tính $MN = \sqrt{\left( {x_{N} - x_{M}} \right)^{2} + \left( {y_{N} - y_{M}} \right)^{2} + \left( {z_{N} - z_{M}} \right)^{2}}$.

Điểm $N$ đối xứng với $M\left( {3;3; - 2} \right)$ qua trục $Oy$ nên $N\left( {- 3;3;2} \right)$.

$\overset{\rightarrow}{MN} = \left( {- 3 - 3;3 - 3;2 + 2} \right) = \left( {- 6;0;4} \right)$.

Độ dài $MN = \sqrt{\left( {- 6} \right)^{2} + 0^{2} + 4^{2}} = \sqrt{52} \approx 7,2$.

Đặt CM = x (km). Lập hàm f(x) tổng chi phí theo x, tìm giá trị nhỏ nhất của f(x) trên [0; 9].

Đặt $CM = x$ (km), với $0 \leq x \leq 9$.

Khi đó $AM = 9 - x$ (km), $BM = \sqrt{x^{2} + 36}$ (km).

Tổng chi phí xây dựng:

$T = f(x) = 30\left( {9 - x} \right) + 50\sqrt{x^{2} + 36}$ (triệu đồng).

Xét hàm số $f(x)$ trên đoạn $\left\lbrack {0;9} \right\rbrack$: $f'(x) = - 30 + \dfrac{50x}{\sqrt{x^{2} + 36}}$.

$\left. f'(x) = 0\Leftrightarrow\dfrac{50x}{\sqrt{x^{2} + 36}} = 30\Leftrightarrow 5x = 3\sqrt{x^{2} + 36} \right.$

$\left. \Leftrightarrow 25x^{2} = 9\left( {x^{2} + 36} \right)\Leftrightarrow 16x^{2} = 324 \right.$

$\left. \Leftrightarrow x^{2} = \dfrac{81}{4}\Rightarrow x = \dfrac{9}{2} = 4,5 \in \left\lbrack {0;9} \right\rbrack \right.$.

Tính giá trị hàm số tại các điểm:

$f(0) = 570$, $f\left( \dfrac{9}{2} \right) = 510$, $f(9) = 50\sqrt{117} \approx 540,83$.

Vậy $T_{\text{min}} = 510$ triệu đồng.

Áp dụng công thức

Số trung bình:

$\overline{x} = \dfrac{3.2,85 + 6.3,15 + 5.3,45 + 4.3,75 + 2.4,05}{20} = 3,39$.

Độ lệch chuẩn:

$s = \sqrt{\dfrac{3.2,85^{2} + 6.3,15^{2} + 5.3,45^{2} + 4.3,75^{2} + 2.4,05^{2}}{20} - 3,39^{2}} \approx 0,36$.

Sử dụng quy tắc hiệu véc-tơ $\overset{\rightarrow}{BC} - \overset{\rightarrow}{BB'} = \overset{\rightarrow}{B'C}$. Tính độ dài đoạn thẳng $B'C$ trong hình vuông $BCC'B'$.

Ta có: $\overset{\rightarrow}{v} = \overset{\rightarrow}{BC} - \overset{\rightarrow}{BB'} = \overset{\rightarrow}{B'C}$.

Suy ra độ dài của véc-tơ $\overset{\rightarrow}{v}$ là: $\left| {\overset{\rightarrow}{v}| = |\overset{\rightarrow}{B'C}} \right| = B'C$.

Xét tam giác vuông $B'BC$ vuông tại $B$, có $BB' = a$ và $BC = a$:

$B'C = \sqrt{BC^{2} + BB'^{2}} = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a\sqrt{2}$.

Vậy $\left| \overset{\rightarrow}{v} \right| = a\sqrt{2}$.

Tìm $\overset{\rightarrow}{AB} = \left( {x_{B} - x_{A};y_{B} - y_{A};z_{B} - z_{A}} \right)$. Tính $3\overset{\rightarrow}{c}$ và $\overset{\rightarrow}{u} = \overset{\rightarrow}{AB} + 3\overset{\rightarrow}{c}$. Tính độ dài $\left| \overset{\rightarrow}{u} \right| = \sqrt{x_{u}^{2} + y_{u}^{2} + z_{u}^{2}}$.

$\overset{\rightarrow}{AB} = \left( {3 - 1;0 - \left( {- 2} \right);2 - 3} \right) = \left( {2;2; - 1} \right)$; $3\overset{\rightarrow}{c} = 3\left( {- 1;2;1} \right) = \left( {- 3;6;3} \right)$.

$\overset{\rightarrow}{u} = \overset{\rightarrow}{AB} + 3\overset{\rightarrow}{c} = \left( {2 + \left( {- 3} \right);2 + 6; - 1 + 3} \right) = \left( {- 1;8;2} \right)$.

Độ dài của véc-tơ $\overset{\rightarrow}{u}$ là: $\left| \overset{\rightarrow}{u} \right| = \sqrt{\left( {- 1} \right)^{2} + 8^{2} + 2^{2}} = \sqrt{69}$.

Do $M$ thuộc $Oy$ nên $M\left( {0;y;0} \right)$.

Lập biểu thức $MA + MB = \sqrt{\left( {y - 2} \right)^{2} + 25} + \sqrt{\left( {y - 14} \right)^{2} + 225}$.

Sử dụng bất đẳng thức véc-tơ $\left| {\overset{\rightarrow}{u}| + |\overset{\rightarrow}{v}| \geq |\overset{\rightarrow}{u} + \overset{\rightarrow}{v}} \right|$.

Vì $M$ thuộc trục $Oy$ nên $M\left( {0;y;0} \right)$.

Ta có:

$MA = \sqrt{\left( {0 - 3} \right)^{2} + \left( {y - 2} \right)^{2} + \left( {0 - 4} \right)^{2}}$

$= \sqrt{\left( {y - 2} \right)^{2} + 25}$.

$MB = \sqrt{\left( {0 - \left( {- 9} \right)} \right)^{2} + \left( {y - 14} \right)^{2} + \left( {0 - 12} \right)^{2}}$

$= \sqrt{\left( {y - 14} \right)^{2} + 225}$.

Biểu thức tổng khoảng cách cần tìm giá trị nhỏ nhất:

$T = MA + MB = \sqrt{\left( {2 - y} \right)^{2} + 5^{2}} + \sqrt{\left( {y - 14} \right)^{2} + 15^{2}}$.

Xét các véc-tơ $\overset{\rightarrow}{u} = \left( {2 - y;5} \right)$ và $\overset{\rightarrow}{v} = \left( {y - 14;15} \right)$.

Ta có $\left| \overset{\rightarrow}{u} \right| = \sqrt{\left( {2 - y} \right)^{2} + 5^{2}}$, $\left| \overset{\rightarrow}{v} \right| = \sqrt{\left( {y - 14} \right)^{2} + 15^{2}}$.

Véc-tơ tổng: $\overset{\rightarrow}{u} + \overset{\rightarrow}{v} = \left( {2 - y + y - 14;5 + 15} \right) = \left( {- 12;20} \right)$.

Độ dài véc-tơ tổng: $\left| {\overset{\rightarrow}{u} + \overset{\rightarrow}{v}} \right| = \sqrt{\left( {- 12} \right)^{2} + 20^{2}} = 4\sqrt{34}$.

Áp dụng bất đẳng thức véc-tơ $\left| {\overset{\rightarrow}{u}| + |\overset{\rightarrow}{v}| \geq |\overset{\rightarrow}{u} + \overset{\rightarrow}{v}} \right|$, ta có: $MA + MB \geq 4\sqrt{34}$.

Dấu "=" xảy ra khi $\overset{\rightarrow}{u}$ và $\overset{\rightarrow}{v}$ cùng hướng: $\left. \dfrac{2 - y}{y - 14} = \dfrac{5}{15} = \dfrac{1}{3}\Leftrightarrow y = 5 \right.$.

Vậy tọa độ điểm $M$ là $M\left( {0;5;0} \right)$ và giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách là $4\sqrt{34}$ (km).