Đề cuối học kỳ 1 Toán 12 năm 2024 – 2025 trường THPT Kẻ Sặt – Hải Dương

Dựa vào dạng đồ thị hàm số bậc ba và nhánh cuối đi xuống để xác định a < 0.

Đồ thị là của hàm số bậc ba $y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$. Nhánh cuối đi xuống nên a < 0. Do đó hàm số thỏa mãn là $y = - {x^3} + 3x + 1$.

Đường thẳng $y = {y_0}$ gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = {y_0}$ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = {y_0}$.

Đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận ngang là y = -1.

Hàm số đồng biến trên các khoảng có f'(x) > 0.

Do f'(x) > 0 trên khoảng (-1; 2) nên hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 2).

Xét $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} y = \pm \infty$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = + \infty$ nên x = 2 là tiệm cận đứng.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = 4$ nên y = 4 là tiệm cận ngang.

Vậy đồ thị có 2 đường tiệm cận.

Hình chiếu vuông góc của $M({x_0};{y_0};{z_0})$ lên trục Ox là $({x_0};0;0)$.

Tọa độ hình chiếu của M(1; 2; 3) trên trục Ox là (1; 0; 0).

Nếu $\vec u = x\vec i + y\vec j + z\vec k$ thì $\vec u = (x;y;z)$.

$\vec u = \vec i + \vec j - 2\vec k = (1;1; - 2)$.

Lập bảng biến thiên của hàm số trên [-2; 1].

$f'(x) = (2x - 1)(x + 1)({x^2} - 1) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$ hoặc $x = \pm 1$.

Hàm số y = f(x) có giá trị lớn nhất trên [-2; 1] bằng $f\left( {\frac{1}{2}} \right)$.

Sử dụng điều kiện $\overrightarrow {MQ} = \overrightarrow {NP}$.

Gọi $Q(x;y;z)$. $\overrightarrow {MQ} = (x - 1;y - 1;z - 1)$, $\overrightarrow {NP} = (5;4;1)$. Do $\overrightarrow {MQ} = \overrightarrow {NP} \Rightarrow Q(6;5;2)$.

Tìm giao điểm với Oy và các điểm cực trị.

$x = 0 \Rightarrow y = 2$. Đạo hàm $y' = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$. Các điểm cực trị là (-1; 4) và (1; 0). Đồ thị ứng với Hình 2.

Tính giá trị đại diện, số trung bình $\bar x$ và áp dụng công thức ${s^2} = \frac{1}{n}\sum {{n_i}} x_i^2 - {\bar x^2}$.

Số trung bình:

$\overline x = \frac{{19,25.13 + 19,75.45 + 20,25.24 + 20,75.12 + 21,25.6}}{{100}} = 20,015$.

Phương sai:

${s^2} = \frac{1}{{100}}\left[ {19,{{25}^2}.13 + 19,{{75}^2}.45 + ... + 21,{{25}^2}.6} \right] - 20,{015^2} \approx 0,28$.

$R = {a_{k + 1}} - {a_1}$.

Khoảng biến thiên R = 40 - 0 = 40.

Tìm x để P(x) đạt giá trị lớn nhất trên [0; 40].

Xét trên [0; 40]: $P'(x) = - 3{x^2} + 48x + 780 = 0 \Leftrightarrow x = 26$.

Ta có: P(0) = -1000, P(26) = 17928, P(40) = 4600.

Vậy để có lợi nhuận lớn nhất thì xưởng cần sản xuất 26 tạ sản phẩm trong một tuần.

a, b) Áp dụng quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD. Ta có $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC}$.

c) Giả sử cần tính góc giữa $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ không chung điểm đầu. Ta tìm hai vecto cùng hướng với $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$, có chung điểm đầu; sau đó tính góc giữa hai vecto vừa tìm. Một trong hai vecto vừa tìm có thể là chính $\overrightarrow a$ hoặc $\overrightarrow b$.

Nếu góc giữa $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ bằng $\alpha$ thì góc giữa $\overrightarrow a$ và $- \overrightarrow b$ bằng ${180^o} - \alpha$.

d) Để tính tích vô hướng của hai vecto $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ trong không gian, ta áp dụng công thức:

$\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$.

a) Đúng. $\overrightarrow {BD'} = \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {BB'}$ (theo quy tắc hình bình hành).

b) Đúng. $\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {A'C'}$ (theo quy tắc hình bình hành).

c) Sai. $\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {C'D'} } \right) = \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CD} } \right)$

$= {180^o} - \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CD} } \right)$

$= {180^o} - \widehat {ACD} = {180^o} - {45^o} = {135^o}$.

d) Sai. $\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {C'D'} = AC.C'D'.\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {C'D'} } \right)$

$= a\sqrt 2 .a.\cos {135^o} = - {a^2}$.

Tính y', tìm cực trị và khoảng cách giữa hai điểm cực trị.

a) Đúng. $y' = - 3{x^2} + 4x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = \frac{4}{3}$.

b) Sai. Hệ số cao nhất của đa thức $- {x^3} + 2{x^2} - 3$ là -1 < 0, do đó đồ thị hàm số có nhánh cuối đi xuống. Khi đó x = 0 là điểm cực tiểu và $x = \frac{4}{3}$ là điểm cực đại của hàm số. Giá trị cực đại là $y\left( {\frac{4}{3}} \right) = - \frac{{49}}{{27}}$.

c) Sai. Trên khoảng $\left( {\frac{4}{3}; + \infty } \right)$, hàm nghịch biến nên $f({10^{79}}) > f({10^{80}})$.

d) Đúng. Hai điểm cực trị của đồ thị là $A(0; - 3)$, $B\left( {\frac{4}{3}; - \frac{{49}}{{27}}} \right)$.

$AB = \sqrt {{{\left( {\frac{4}{3} - 0} \right)}^2} + \left( { - \frac{{49}}{{27}} + 3} \right)} = \frac{{4\sqrt {145} }}{{27}}$.

Áp dụng công thức tính các số đặc trưng của mẫu số liệu ghép nhóm.

a) Đúng. Giá trị đại diện của nhóm [165; 170] là $\frac{{165 + 170}}{2} = 167,5$.

b) Sai. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm của lớp 12D là R = 180 – 155 = 25.

c) Đúng. Xét lớp 12C: ${n_C} = 2 + 7 + 12 + 4 + 1 = 26$.

${Q_1} = 160 + \frac{{6,5 - 2}}{7}.(165 - 160) \approx 163,2$.

${Q_3} = 165 + \frac{{19,5 - (2 + 7)}}{{12}}.(170 - 165) \approx 169,4$.

Suy ra ${\Delta _{{Q_C}}} \approx 169,4 - 163,2 = 6,2$.

Xét lớp 12D: ${n_D} = 5 + 9 + 8 + 2 + 2 = 26$.

${Q_1} = 160 + \frac{{6,5 - 5}}{9}.(165 - 160) \approx 160,8$.

${Q_3} = 165 + \frac{{19,5 - (5 + 9)}}{8}.(170 - 165) \approx 168,4$.

Suy ra $\Delta {Q_D} \approx 168,4 - 160,8 = 7,6$.

Vì $\Delta {Q_D} > \Delta {Q_C}$ nên học sinh nữ lớp 12C có chiều cao đồng đều hơn.

d) Sai. Xét lớp 12C:

${\bar x_C} = \frac{{157,5.2 + 162,5.7 + 167,5.12 + 172,5.4 + 177,5.1}}{{26}} = \frac{{4330}}{{26}}$.

${S_C}^2 = \frac{1}{{26}}.\left( {2.157,{5^2} + 7.162,{5^2} + 12.167,{5^2} + 4.172,{5^2} + 1.177,{5^2}} \right) - {\left( {\frac{{4330}}{{26}}} \right)^2} \approx 21,2$.

${S_C} \approx 4,6$.

Xét lớp 12D:

$\overline {{x_D}} = \frac{{157,5.5 + 162,5.9 + 167,5.8 + 172,5.2 + 177,5.2}}{{26}} = 165$.

${S_D}^2 = \frac{1}{{26}}.\left( {5.157,{5^2} + 9.162,{5^2} + 8.167,{5^2} + 2.172,{5^2} + 2.177,{5^2}} \right) - {165^2} = 31,25$.

${S_D} \approx 5,6$.

Vì ${S_C} < {S_D}$ nên lớp 12C có chiều cao trung bình đồng đều hơn.

v(t) = S'(t) và a(t) = v'(t).

a) Sai. $v(t) = - 3{t^2} + 18t + 21$.

b) Đúng. $v(2) = - {3.2^2} + 18.2 + 21 = 45$.

c) Sai. Gia tốc triệt tiêu $a(t) = - 6t + 18 = 0 \Leftrightarrow t = 3 \Rightarrow v(3) = 48$.

d) Đúng. Ta có v(0) = 21, v(3) = 48, $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } v(t) = - \infty$.

Vậy v(t) đạt GTLN tại t = 3.

Chia đa thức để xác định tiệm cận xiên y = ax + b.

$y = x - 2 - \frac{1}{{x + 1}}$. Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( {x - 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - \frac{1}{{x + 1}}} \right) = 0$.

Tiệm cận xiên là y = x – 2, suy ra a = 1, b = -2.

Vậy P = 5.1 + (-2) = 3.

Lập hàm thể tích theo x và tìm GTLN của hàm số.

Điều kiện: 0 < x < 15.

Cạnh của đáy hộp có chiều dài là 30 – 2x (cm); chiều cao hộp là x (cm).

Thể tích hộp là: $V(x) = {(30 - 2x)^2}.x = 4{x^3} - 120{x^2} + 900x$ $(c{m^3})$.

Xét trên (0; 15): $V'(x) = 12{x^2} - 240x + 900 = 0 \Leftrightarrow x = 5$.

Lập bảng biến thiên, ta có thể tích đạt lớn nhất khi x = 5.

Giải phương trình $f'(t) = \frac{2}{{15}}$ để tìm t.

$f'(t) = \frac{{120}}{{{{(t + 5)}^2}}} = \frac{2}{{15}} \Leftrightarrow {(t + 5)^2} = 900 \Leftrightarrow t = 25$.

Năm cần tìm là 1970 + 25 = 1995.

Sử dụng tính chất tâm hình vuông và các vecto đối nhau.

Gọi O, O' lần lượt là tâm của các hình vuông ABCD, A'B'C'D'.

$\overrightarrow {OS} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} + \overrightarrow {OA'} + \overrightarrow {OB'} + \overrightarrow {OC'} + \overrightarrow {OD'}$

$= \left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right) + \left( {\overrightarrow {OA'} + \overrightarrow {OB'} + \overrightarrow {OC'} + \overrightarrow {OD'} } \right)$

$= \vec 0 + 4\overrightarrow {OO'} = 4\overrightarrow {OO'}$.

$\left| {\overrightarrow {OS} } \right| = 4\left| {\overrightarrow {OO'} } \right| \Rightarrow OS = 4OO' = 4AB = 4.\frac{{\sqrt 3 }}{{16}} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}$.

Do đó $a = 1$, $b = 4 \Rightarrow P = {1^2} + {4^2} = 17$.

Tính góc giữa hai vecto $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AC}$.

$\overrightarrow {AB} = (300;0;0)$, $\overrightarrow {AC} = (400;200; - 2)$.

$\cos x = \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{120000}}{{300.\sqrt {200004} }} \approx 0,8944 \Rightarrow x \approx 26,{6^o}$.

Xác định các hệ số dựa vào tiệm cận đứng x = -2, tiệm cận xiên y = x và điểm (-1; 1).

Tiệm cận đứng $x = - 2 \Rightarrow n = 2$.

Tiệm cận xiên $y = x \Rightarrow a = 1$, $b = 2$.

Đồ thị qua $( - 1;1) \Rightarrow c = 4$.

Vậy S = 1 + 2 + 4 = 7.