Đề cuối kỳ 1 Toán 12 năm 2025 – 2026 trường THPT Bảo Thắng 3 – Lào Cai

Áp dụng quy tắc cộng ba điểm: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC}$.

Theo quy tắc cộng ba điểm vectơ trong không gian, ta có $\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC}$.

Hai vectơ cùng hướng khi chúng cùng phương và cùng chiều.

Điểm M thuộc đoạn AB nên giá của $\overrightarrow {AM}$ và $\overrightarrow {AB}$ trùng nhau, đồng thời cả hai vectơ đều hướng từ A sang B.

Tọa độ trung điểm $I$ của $AB$ là $I\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)$.

Tọa độ trung điểm $I$ là $\left( {\frac{{2 + 2}}{2};\frac{{ - 4 + 2}}{2};\frac{{3 + 7}}{2}} \right) = \left( {2; - 1;5} \right)$.

Tọa độ trung điểm $I$ là $\left( {\frac{{2 + 2}}{2};\frac{{ - 4 + 2}}{2};\frac{{3 + 7}}{2}} \right) = \left( {2; - 1;5} \right)$.

Tính $3\vec v = \left( {3{v_x};3{v_y};3{v_z}} \right)$ rồi cộng từng tọa độ tương ứng với $\vec u$.

Ta có $3\vec v = \left( { - 3; - 6;3} \right) \Rightarrow \vec u + 3\vec v = \left( {1 - 3; - 4 - 6;0 + 3} \right) = \left( { - 2; - 10;3} \right)$.

Tọa độ $\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A}} \right)$.

$\overrightarrow {AB} = \left( {2 - 1;3 - 1;2 - \left( { - 1} \right)} \right) = \left( {1;2;3} \right)$.

Nếu $\vec a = x\vec i + y\vec j + z\vec k$ thì $\vec a = \left( {x;y;z} \right)$.

Với $\vec a = - 1\vec i + 2\vec j - 3\vec k$, tọa độ của $\vec a$ là $\left( { - 1;2; - 3} \right)$.

Trừ các tọa độ tương ứng: $\vec u - \vec v = \left( {{u_x} - {v_x};{u_y} - {v_y};{u_z} - {v_z}} \right)$.

$\vec u - \vec v = \left( {1 - 2;3 - 1; - 2 - \left( { - 1} \right)} \right) = \left( { - 1;2; - 1} \right)$.

Khoảng biến thiên $R = {a_k} - {a_1}$ với ${a_1}$ là đầu trái nhóm đầu, ${a_k}$ là đầu phải nhóm cuối.

${a_1} = 10$ và ${a_k} = 30 \Rightarrow R = 30 - 10 = 20$.

Hình chiếu vuông góc của $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ trên Oy giữ nguyên tung độ ${y_0}$, hoành độ và cao độ bằng 0.

Chiếu $M\left( {1;2;3} \right)$ lên Oy được $Q\left( {0;2;0} \right)$.

Đồ thị hàm số $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}$ $\left( {c \ne 0} \right)$ có tiệm cận ngang $y = \frac{a}{c}$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2x - 1}}{{2x + 4}} = \frac{2}{2} = 1 \Rightarrow$ Tiệm cận ngang là $y = 1$.

Điểm đối xứng của $A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ qua (Oyz) đổi dấu hoành độ ${x_0}$, giữ nguyên ${y_0},{z_0}$.

Đối xứng của $A\left( {1;2;3} \right)$ qua (Oyz) là $Q\left( { - 1;2;3} \right)$.

Xác định tiệm cận đứng $x = {x_0}$ và tiệm cận ngang $y = {y_0}$ từ bảng biến thiên.

Từ bảng biến thiên ta có tiệm cận đứng $x = 2$ và tiệm cận ngang $y = 1$. Hàm số $y = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}$ là hàm số cần tìm.

Sử dụng biểu thức tọa độ của tích vô hướng, tổng hai vectơ, độ dài vectơ và cosin góc giữa hai vectơ.

a) Sai. $\vec a.\vec b = 1 . 3 + 2 . 1 + \left( { - 3} \right) . 5 = - 10$.

b) Đúng. $\vec a + \vec b = \left( {1 + 3;2 + 1; - 3 + 5} \right) = \left( {4;3;2} \right)$.

c) Đúng. $2\vec a - 3\vec b = \left( {2 - 9;4 - 3; - 6 - 15} \right) = \left( { - 7;1; - 21} \right)$

$\Rightarrow \left| {2\vec a - 3\vec b} \right| = \sqrt {{{\left( { - 7} \right)}^2} + {1^2} + {{\left( { - 21} \right)}^2}} = \sqrt {491}$.

d) Đúng. $\left| {\vec a\left| { = \sqrt {14} ,} \right|\vec b} \right| = \sqrt {35}$

$\Rightarrow \cos \left( {\vec a,\vec b} \right) = \frac{{ - 10}}{{\sqrt {14} . \sqrt {35} }} = - \frac{{\sqrt {10} }}{7}$.

Sử dụng các công thức tính $R$, ${Q_1}$, ${Q_3}$, ${{\rm{\Delta }}_Q} = {Q_3} - {Q_1}$ và phương sai ${s^2}$ cho mẫu số liệu ghép nhóm.

a) Sai. $R = 38 - 23 = 15$.

b) Sai. Cỡ mẫu $n = 160$. ${Q_1}$ thuộc nhóm $\left[ {26;29} \right)$, ${Q_1} = 26 + \frac{{40 - 24}}{{57}}.3 = \frac{{510}}{{19}}$.

c) Đúng. ${Q_3}$ thuộc nhóm $\left[ {29;32} \right)$, ${Q_3} = 29 + \frac{{120 - 81}}{{42}}.3 = \frac{{445}}{{14}}$

$\Rightarrow {{\rm{\Delta }}_Q} = \frac{{445}}{{14}} - \frac{{510}}{{19}} = \frac{{1315}}{{266}}$.

d) Sai. Số trung bình $\bar x \approx 29,61 \Rightarrow {s^2} \approx 11,8$.

Xác định ${Q_1},{Q_3}$ từ công thức tứ phân vị mẫu ghép nhóm rồi tính ${{\rm{\Delta }}_Q} = {Q_3} - {Q_1}$.

Cỡ mẫu $n = 20$. ${Q_1} \in \left[ {225;300} \right) \Rightarrow {Q_1} = 225 + \frac{{5 - 3}}{5}.75 = 255$.

${Q_3} \in \left[ {375;450} \right) \Rightarrow {Q_3} = 375 + \frac{{15 - 11}}{6}.75 = 425$.

Khoảng tứ phân vị ${{\rm{\Delta }}_Q} = 425 - 255 = 170$.

Sử dụng tính chất các mặt mái nhà là hình chữ nhật: $\overrightarrow {EH} = \overrightarrow {PQ}$.

Ta có $\overrightarrow {PQ} = \left( {2 - 2;5 - 0;4 - 4} \right) = \left( {0;5;0} \right)$.

Do $\overrightarrow {EH} = \overrightarrow {PQ} \Rightarrow H = \left( {0;5;3} \right)$.

Suy ra $a = 0,b = 5,c = 3 \Rightarrow a + b + c = 8$.

Tính $y'$, tìm nghiệm thuộc $\left[ { - 1;2} \right]$, so sánh giá trị hàm số tại các điểm biên và điểm cực trị.

$y' = 1 - \frac{4}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} = 4 \Rightarrow x = 0 \in \left[ { - 1;2} \right]$.

Ta có $f\left( { - 1} \right) = 3$, $f\left( 0 \right) = 2$, $f\left( 2 \right) = 3$. Giá trị nhỏ nhất là 2.

Sử dụng công thức tọa độ trọng tâm: ${x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}$, ${y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}$, ${z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}$.

$\frac{{1 + 3 + a}}{3} = 2 \Rightarrow a = 2$;

$\frac{{1 + 4 + b}}{3} = 3 \Rightarrow b = 4$;

$\frac{{ - 3 - 5 - 1}}{3} = c \Rightarrow c = - 3$.

Vậy $a + b + c = 2 + 4 + \left( { - 3} \right) = 3$.

Tính ${{\rm{\Delta }}_Q} = {Q_3} - {Q_1}$.

Cỡ mẫu $n = 42$.

${Q_1} \in \left[ {20;40} \right) \Rightarrow {Q_1} = 20 + \frac{{10,5 - 5}}{9}.20 = \frac{{290}}{9} \approx 32,22$.

thuộc nhóm ${Q_3} \in \left[ {60;80} \right) \Rightarrow {Q_3} = 60 + \frac{{31,5 - 26}}{{10}}.20 = 71$.

Khoảng tứ phân vị ${{\rm{\Delta }}_Q} = 71 - \frac{{290}}{9} = \frac{{349}}{9}$.

Sử dụng tính chất của hai vecto cùng phương.

Vì $M \in \left( {Oxz} \right)$ nên $M\left( {x;0;z} \right)$. Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {6; - 6; - 6} \right)$ và $\overrightarrow {AM} = \left( {x + 1; - 4;z - 2} \right)$.

Ba điểm $A,B,M$ thẳng hàng $\Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = k\overrightarrow {AB}$ $\left( {k \in \mathbb{R}} \right) \Leftrightarrow$$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x + 1 = 6k}\\{ - 4 = - 6k}\\{z - 2 = - 6k}\end{array}} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{k = \frac{2}{3}}\\{x = 3}\\{z = - 2}\end{array}} \right.$.

Suy ra tọa độ điểm $M\left( {3;0; - 2} \right)$.

 $\overrightarrow {BM} = \left( { - 2;2;2} \right) \Rightarrow BM = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2} + {2^2}} = 2\sqrt 3$.

 $\overrightarrow {AM} = \left( {4; - 4; - 4} \right) \Rightarrow AM = \sqrt {{4^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} = 4\sqrt 3$.

Vậy tỉ số $\frac{{AM}}{{BM}} = \frac{{4\sqrt 3 }}{{2\sqrt 3 }} = 2$.

Gọi $H, K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ và $B$ lên $Ox$. Trong mặt phẳng chứa $AHK$, dựng điểm $B'$ khác phía với $A$ so với $Ox$ sao cho $KB' = BK$. Áp dụng tính chất $MB = MB'$ và bất đẳng thức tam giác để đánh giá tổng chiều dài $MA + MB + AB$, dấu "=" xảy ra khi $A, M, B'$ thẳng hàng. Sử dụng định lý Thales để lập tỉ số tìm tọa độ $M$, sau đó tính khoảng cách.

Gọi $H$ và $K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ và $B$ lên $Ox$. Tính được tọa độ $H\left( {20;0;0} \right)$, $K\left( {60;0;0} \right)$.

Độ dài $AH = \sqrt {{{15}^2} + {{20}^2}} = 25$ và $BK = \sqrt {{{20}^2} + {{15}^2}} = 25$.

Kẻ đường thẳng $d$ đi qua $K$ và song song với $AH$. Trên $d$ lấy điểm $B'$ sao cho $KB' = BK$ và điểm $A,B'$ khác phía với đường thẳng $Ox$.

Ta có $MB = MB'$, suy ra $MA + MB + AB = MA + MB' + AB \ge AB' + AB = {\rm{const}}$.

Do đó chu vi của tam giác $MAB$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $A,M,B'$ thẳng hàng hay $M = AB' \cap Ox$.

Áp dụng định lý Thales, ta có $\frac{{AH}}{{B'K}} = \frac{{MH}}{{MK}} \Rightarrow AH.MK = MH.B'K$.

Vì $AH = B'K = 25$ nên suy ra $MK = MH \Rightarrow \overrightarrow {KM} = \overrightarrow {MH}$ (1).

Do $M \in Ox$ nên gọi tọa độ $M\left( {t;0;0} \right)$. Thay vào (1) ta được phương trình:

$t - 60 = 20 - t \Leftrightarrow 2t = 80 \Leftrightarrow t = 40$.

Suy ra tọa độ điểm $M\left( {40;0;0} \right)$.

Khi đó $AM = \sqrt {{{\left( {40 - 20} \right)}^2} + {{\left( { - 15} \right)}^2} + {{\left( { - 20} \right)}^2}} = \sqrt {1025}$ và $BM = \sqrt {{{\left( {40 - 60} \right)}^2} + {{\left( { - 20} \right)}^2} + {{\left( { - 15} \right)}^2}} = \sqrt {1025}$.

Đoạn $AB = \sqrt {{{\left( {60 - 20} \right)}^2} + {{\left( {20 - 15} \right)}^2} + {{\left( {15 - 20} \right)}^2}} = \sqrt {1650}$.

Vậy tổng chiều dài cáp nhỏ nhất bằng $AM + BM + AB = 2\sqrt {1025} + \sqrt {1650} \approx 105$ (m).