Đề thi thử THPT môn Toán lần 1 năm 2026 sở GD&ĐT Lạng Sơn

Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng: ${u_n} = {u_1} + (n - 1)d$.

${u_2} = {u_1} + d \Leftrightarrow 4 = 1 + d \Leftrightarrow d = 3$.

${u_4} = {u_1} + 3d = 1 + 3.3 = 10$.

Áp dụng quy tắc hình hộp.

Theo quy tắc hình hộp: $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AE}  = \overrightarrow {AG}$.

Áp dụng công thức tính tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm.

${Q_1} = 22 + \frac{{\frac{{40}}{4} - 7}}{{15}}(25 - 22) = 22,6$.

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản:

$\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

$\cos 2x = 1 \Leftrightarrow 2x = k2\pi \Leftrightarrow x = k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

Áp dụng công thức: ${\log _a}MN = {\log _a}M + {\log _a}N$.

${\log _3}(9a) = {\log _3}9 + {\log _3}a = 2 + {\log _3}a$.

Hàm số nghịch biến trên khoảng đồ thị liên tục đi từ trên xuống.

Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1; 0).

Đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) nếu d song song với một đường thẳng d’ thuộc (P).

Ta có IJ là đường trung bình của tam giác SAB nên IJ // AB.

$\left.$$\begin{array}{l}IJ//AB\\AB \subset (ABC)\\IJ \not\subset (ABC)\end{array}$ \right\} \Rightarrow IJ//(ABC).

Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số lượng giác.

Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = sin x là F(x) = -cos x + C.

Mặt phẳng (P): ax + by + cz + d = 0 nhận vectơ có tọa độ (a; b; c) và các vectơ cùng phương với nó làm vectơ pháp tuyến.

Một vectơ pháp tuyến của (P) là $\overrightarrow n = (2; - 1;4)$, mà $\overrightarrow {{n_1}} = ( - 2;1; - 4)$ cùng phương với $\overrightarrow n = (2; - 1;4)$ nên cũng là một vectơ pháp tuyến của (P).

Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nếu d vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nhau cùng thuộc (P).

Vì O là tâm hình thoi nên O là trung điểm của AC và BD. Khi đó, hai tam giác SAC và SBD cùng cân tại S có SO là đường trung tuyến, đồng thời là đường cao.

$\left.$$\begin{array}{l}SO \bot AC\\SO \bot BD\end{array}$ \right\} \Rightarrow SO \bot (ABCD).

$\vec a- \vec b = ({x_a} - {x_b};{y_a} - {y_b};{z_a} - {z_b})$.

$\vec w = \vec u - \vec v = (1 - 1; - 2 - 3;2 + 5) = (0; - 5;7)$.

Áp dụng công thức $\int\limits_a^c {f(x)dx} = \int\limits_a^b {f(x)dx} + \int\limits_b^c {f(x)dx}$.

Ta có $\int_0^4 f (x)dx = \int_0^3 f (x)dx + \int_3^4 f (x)dx$, suy ra:

$\int_0^3 f (x)dx = \int_0^4 f (x)dx - \int_3^4 f (x)dx$

$= \int_0^4 f (x)dx + \int_4^3 f (x)dx = - 3 + 2 = - 1$.

a) Doanh thu của máy là nguyên hàm của hàm số R’(t).

b) Tính $\int\limits_0^6 {C'(t)dt}$.

c) Tìm hàm lợi nhuận L(t). L(t) giảm khi L’(t) < 0, từ đó tìm t và kết luận.

d) Tính L(t) với t là tuổi thọ hữu ích của máy.

a) Đúng. Doanh thu sau 10 năm của máy A là $\int\limits_0^{10} {(588 - 3{t^2})dt}$ (triệu đồng).

b) Đúng. Chi phí vận hành và bảo trì trong 6 năm là:

$\int\limits_0^6 {C'(t)dt} = \int\limits_0^6 {(48 + 12{t^2})dt} = 1152$ (triệu đồng).

c) Sai. Xét t không âm:

Doanh thu sau t năm: $\int {R'(t)dt} = \int {(588 - 3{t^2})dt} = 588t - {t^3} + {C_1}$ (triệu đồng).

Chi phí vận hành và bảo trì sau t năm: $\int {C'(t)dt} = \int {(48 + 12{t^2})dt} = 48t + 4{t^3} + {C_2}$ (triệu đồng).

Lợi nhuận sau t năm: $L(t) = R(t) - C(t) = 540t - 5{t^3} + {C_1} - {C_2}$ (triệu đồng).

Lợi nhuận L(t) giảm khi L’(t) < 0. Ta có $L'(t) = 540 - 15{t^2} < 0 \Leftrightarrow t > 6$.

Vậy tuổi thọ hữu ích của máy A là 6 năm.

d) Sai. Vì ở thời điểm ban đầu t = 0, máy chưa tạo ra lợi nhuận nên ta có:

$L(0) = 0 \Leftrightarrow 540.0 - {5.0^3} + {C_1} - {C_2} = 0 \Leftrightarrow {C_1} - {C_2} = 0$.

Lợi nhuận máy A tạo ra trong 6 năm tuổi thọ hữu ích là: $L(6) = 540.6 - {5.6^3} = 2160$ (triệu đồng).

Áp dụng phương pháp liệt kê, phương pháp tổ hợp.

a) Đúng. Mỗi bạn có thể nhận ngẫu nhiên 1 trong 2 kết quả, do đó số phần tử của không gian mẫu là: ${2^8} = 256$.

b) Đúng. Số kết quả sao cho có đúng 1 bạn đứng lên là: 8 (tương ứng với 8 bạn).

c) Sai. Giả sử đánh số thứ tự từ 1 đến 8 cho 8 bạn. 2 bạn bất kì đứng cạnh nhau có cặp số thứ tự là 1 trong 8 cặp sau: (1; 2), (2; 3), (3; 4), (4; 5), (5; 6), (6; 7), (7; 8), (8; 1). Có 8 cặp số tất cả.

Số kết quả của phép thử sao cho có đúng 2 bạn đứng lên và không đứng cạnh nhau là:

$C_8^2 - 8 = 20$.

d) Sai. Ta tính xác suất của biến cố đối: không có 2 bạn nào liền kề nhau đứng lên.

+) Số kết quả để có không có bạn nào đứng lên: 1.

+) Số kết quả để có 1 bạn đứng lên: 8 (theo câu a).

+) Số kết quả để có 2 bạn không liền kề nhau đứng lên: 20 (theo câu b).

+) Số kết quả để có 3 bạn không liền kề nhau đứng lên: $C_8^3 - 8 - 8.4 = 16$.

(8: số kết quả để 3 bạn kề nhau đứng lên;

8.4: số kết quả 2 bạn kề nhau đứng lên cùng 1 bạn không kề).

+) Số kết quả để có 4 bạn không liền kề nhau đứng lên: 2.

+) Nếu có từ 5 bạn đứng lên, luôn có 2 bạn kề nhau nên loại các trường hợp này.

Xác suất không có 2 bạn nào liền kề nhau đứng là $\frac{{1 + 8 + 20 + 16 + 2}}{{256}} = \frac{{47}}{{256}}$.

Xác suất để có ít nhất 2 bạn ngồi liền kề nhau phải đứng lên là $1 - \frac{{47}}{{256}} = \frac{{209}}{{256}}$.

Mặt phẳng (P): ax + by + cz + d = 0 có một vecto pháp tuyến là $\vec n = (a;b;c)$.

Điểm M thuộc (P) nếu thay tọa độ điểm M vào phương trình (P) thấy thỏa mãn.

Mặt phẳng song song với (P) có phương trình dạng ax + by + cz + d’ = 0.

Khoảng cách từ M đến (P): $d\left( {M,(P)} \right) = \frac{{\left| {a{x_M} + b{y_M} + c{z_M} + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}$.

a) Đúng. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\vec n = (3; - 2;1)$.

b) Đúng. Thay tọa độ điểm M vào phương trình của (P):

$3.1 - 2( - 1) + 2 + 4 = 11 \ne 0$, do đó M không thuộc (P).

c) Sai. (Q) // (P) nên phương trình của (Q) có dạng 3x - 2y + z + d = 0.

M thuộc (Q) nên $3.1 - 2( - 1) + 2 + d = 0 \Leftrightarrow d = - 7$.

Vậy (Q): 3x - 2y + z - 7 = 0.

d) Đúng. (R) // (P) nên phương trình của (R) có dạng 3x - 2y + z + e = 0.

$d\left( {M,(R)} \right) = \frac{{11}}{{\sqrt {14} }} \Leftrightarrow \frac{{\left| {3.1 - 2( - 1) + 2 + e} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{( - 2)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{11}}{{\sqrt {14} }}$

$\Leftrightarrow \left| {7 + e} \right| = 11 \Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}e = 4\\e = - 18\end{array}$ \right.. Ta loại giá trị e = 4 vì khi đó (R) trùng (P).

Vậy (R): 3x - 2y + z - 18 = 0.

Quan sát đồ thị hàm số và nhận xét.

a) Đúng. Hàm số nghịch biến trên (-1; 1) vì đồ thị đi từ trên xuống trên khoảng này.

b) Đúng. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm ${x_0} = 1$.

c) Đúng. Đồ thị hàm số đi từ dưới lên trên khoảng $( - \infty ; - 1)$, do đó hàm số đồng biến và đạo hàm nhận giá trị dương trên khoảng đó.

d) Sai. Hàm số đạt giá trị -3 tại $x = 1 \notin [ - 1;0]$.

Áp dụng phương pháp tọa độ hóa.

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A trùng với gốc tọa độ, B thuộc tia Ox, C thuộc tia Oy, A’ thuộc tia Oz.

Khi đó (0; 0; 0), B(2; 0; 0), C(0; 3; 0), A’(0; 0; 4), M(1; 0; 0).

$\overset{\rightarrow}{A'B} = (2;0; - 4)$, $\overset{\rightarrow}{CM} = (1; - 3;0)$, $\overset{\rightarrow}{BM} = ( - 1;0;0)$.

$d\left( {A'B,CM} \right) = \dfrac{\left| {\left\lbrack {\overset{\rightarrow}{A'B},\overset{\rightarrow}{CM}} \right\rbrack.\overset{\rightarrow}{MB}} \right|}{\left| \left\lbrack {\overset{\rightarrow}{A'B},\overset{\rightarrow}{CM}} \right\rbrack \right|} = \dfrac{6}{7} \approx 0,86$.

Lập phương trình mặt phẳng (ABC) đi qua M, nhận $\overset{\rightarrow}{OM}$ làm vecto pháp tuyến. Từ đó, tìm tọa độ các điểm A, B, C và tính thể tích khối tứ diện.

(P) qua M và cách O một khoảng lớn nhất, khi đó $OM\bot(ABC)$ và $\overset{\rightarrow}{OM} = (1; - 2; - 5)$ là một vecto pháp tuyến của (ABC). Phương trình mặt phẳng (ABC) là:

$1(x - 1) - 2(y + 2) - 5(z + 5) = 0$

$\Leftrightarrow x - 2y - 5z - 30 = 0$

$\Leftrightarrow\dfrac{x}{30} + \dfrac{y}{- 15} + \dfrac{z}{- 6} = 1$.

Giả sử A thuộc trục Ox, B thuộc trục Oy, C thuộc trục Oz.

Khi đó A(30; 0; 0), B(0; -15; 0), C(0; 0; -6).

$V_{OABC} = \dfrac{1}{3}.OA.S_{OBC}$

$= \dfrac{1}{6}OA.OB.OC$

$= \dfrac{1}{6}.30.15.6 = 450$ (đvtt).

Nguyên hàm hai vế $\dfrac{C'(t)}{C(t)} = - k$, dựa vào giả thiết C(0) = 12, C(6) = 3 để tìm công thức của C(t). Tìm t để C(t) = 2.

$\dfrac{C'(t)}{C(t)} = - k\Rightarrow{\int{\dfrac{C'(t)}{C(t)}dt}} = {\int{- kdt}}$

$\Rightarrow\ln\left| {C(t)} \right| = - kt + m$ (m là hằng số).

Vì C(t) > 0 nên ta có $C(t) = e^{- kt + m}$

$= e^{m}.e^{- kt} = Ae^{- kt}$ (đặt hằng số $e^{m} = A$).

$\left. C(0) = 12\Leftrightarrow Ae^{- k.0} = 12\Leftrightarrow A = 12 \right.$.

$\left. C(6) = 3\Leftrightarrow 12e^{- k.6} = 3\Leftrightarrow e^{- 6k} = \dfrac{1}{4}\Leftrightarrow k = - \dfrac{1}{6}\ln\dfrac{1}{4} \right.$.

$C(t) = 2\Leftrightarrow 12e^{\dfrac{1}{6}{({\ln\dfrac{1}{4}})}t} = 2\Leftrightarrow e^{\dfrac{1}{6}{({\ln\dfrac{1}{4}})}t} = \dfrac{1}{6}$

$\Leftrightarrow\dfrac{1}{6}\left( {\ln\dfrac{1}{4}} \right)t = \ln\dfrac{1}{6}\Leftrightarrow t = \dfrac{6\ln\dfrac{1}{6}}{\ln\dfrac{1}{4}} \approx 7,8$.

Áp dụng phương pháp liệt kê và các quy tắc đếm.

Gọi K = {B, C, D, E}.

Số cách đi từ A → K bất kì: 4 cách.

Số cách đi từ K → K khác: 3 cách.

Số cách đi từ K → A: 1 cách.

TH1: Quay lại A đúng 1 lần:

A → K → K → K → K → K → A.

Có 4.3.3.3.3.1 = 324 cách.

TH2: Quay lại A đúng 2 lần:

A → K → A → K → K → K → A.

Có 4.1.4.3.3.1 = 144 cách.

A → K → K → A → K → K → A.

Có 4.3.1.4.3.1 = 144 cách.

A → K → K → K → A → K → A.

Có 4.3.3.1.4.1 = 144 cách.

TH3: Quay lại A đúng 3 lần:

A → K → A → K → A → K → A.

Có 4.1.4.1.4.1 = 64 cách.

Vậy có tất cả 324 + 144.3 + 64 = 820 cách di chuyển thỏa mãn.

Lợi nhuận = Doanh thu – Chi phí.

Lập hàm lợi nhuận theo x, tìm x để hàm đạt GTLN.

Doanh thu nhà máy mỗi tháng là:

$x.p(x) = 1700x - 7x^{2}$ (nghìn đồng).

Lợi nhuận của nhà máy mỗi tháng là:

$L(x) = xp(x) - C(x)$

$= - 16000 + 1200x - 5,4x^{2} - 0,004x^{3}$ (nghìn đồng).

$\left. L'(x) = - 0,012x^{2} - 10,8x + 1200 = 0\Leftrightarrow\left\lbrack$$\begin{array}{l} {x = 100} \\ {x = - 1000} \end{array}$ \right. \right.

Vì x là số sản phẩm nên ta nhận giá trị x = 100. Lập bảng biến thiên, thấy hàm L(x) đạt GTLN tại x = 100. Vậy, mỗi tháng nhà máy nên sản xuất 100 sản phẩm.

Tính giá trị trung bình 1 ô trên vòng quay. Lấy số tiền người chơi phải trả trừ giá trị trung bình đó, ta được số tiền ban tổ chức thu được từ một lượt chơi.

Giá trị trung bình 1 ô trên vòng quay là:

$\dfrac{1}{40}.200 + \dfrac{4}{40}.50 + \dfrac{10}{40}.20 + \dfrac{25}{40}.0 = 15$ (nghìn đồng).

Mỗi lượt chơi, ban tổ chức thu được 25 nghìn đồng, do đó ban tổ chức thu được trung bình từ mỗi lượt chơi số tiền là 25 – 15 = 10 nghìn đồng.