Gọi I là giao điểm các tia phân giác của \(\widehat {xPQ};\,\widehat {yQP}\) và A, B, C lần lượt là hình chiếu của I lên Ox, PQ và Oy.

Vì I thuộc phân giác của góc xPQ nên IA = IB.

Xét ∆PAI và ∆PBI có :

+ IA = IB (cmt)

+ Chung PI

+ \(\widehat {PAI} = \widehat {PBI} = 90^\circ \)

nên ∆PAI = ∆PBI (cạnh huyền – cạnh góc vuông) ,

Suy ra PA = PB.

Lí luận tương tự, ta có \(QB = QC.\)

\(OA + OC = OP + PA + OQ + QC\) \( = OP + PB + OQ + QB = OP + PQ + QO = 2a\) (do chu vi ∆OPQ bằng 2a).

Vì IA = IB và IB = IC (cmt) nên IA = IC.

Xét ∆OAI và ∆OCI có

+ IA = IC (cmt)

+ \(\widehat {OAI} = \widehat {OCI} = 90^\circ \)

+ cạnh chung OI

nên ∆OAI = ∆OCI (cạnh huyền – cạnh góc vuông) \( \Rightarrow OA = OC = \dfrac{{2a}}{2} = a{\rm{ }}.\)

Vì a không đổi và A, C thuộc tia Ox, Oy cố định nên A và C cố định.

Do A và C lần lượt là hình chiếu của I lên Ox, Oy nên hai đường thẳng AI và CI cố định hay I cố định.

Do I và A cố định nên độ dài đoạn thẳng AI không đổi.

Do IA = IB (cmt) nên IB là bán kính của đường tròn (I ; IA), mà IB ⊥ PQ tại B nên PQ tiếp xúc với đường tròn (I; IA) cố định.