MNPQR là ngũ giác đều nên ta có:

\(\widehat {ROM} = \widehat {MON} = \widehat {NOP} = \widehat {POQ} = \widehat {QOR} = \frac{{{{360}^o}}}{5} = {72^o}\).

Xét tam giác OQR cân tại O, đường cao OK:

\(\widehat {ROK} = \widehat {KOQ} = \frac{{\widehat {ROQ}}}{2} = \frac{{{{72}^o}}}{2} = {36^o}\).

Xét tam giác ROK vuông tại K: \(\sin \widehat {ROK} = \frac{{RK}}{{OR}}\)

\(\Rightarrow OR = \frac{{RK}}{{\sin \widehat {ROK}}} = \frac{{RQ}}{2}:\sin \widehat {ROK} = \frac{{30}}{2}:\sin {36^o} = \frac{{15}}{{\sin {{36}^o}}}\) (cm).

Ta có \(EI = ID = \frac{{ED}}{2} = \frac{x}{2}\) (cm).

Xét tam giác OIE vuông tại I: \(\tan \widehat {EOI} = \frac{{EI}}{{OI}} \)

\(\Leftrightarrow OI = \frac{{EI}}{{\tan \widehat {EOI}}} = \frac{x}{2}:\tan {36^o} = \frac{x}{{2\tan {{36}^o}}}\) (cm).

\(IR = OR - OI = \frac{{15}}{{\sin {{36}^o}}} - \frac{x}{{2\tan {{36}^o}}}\) (cm).

Gọi đỉnh chóp là S, sau khi được gập lên thì các điểm M, N, P, Q, R, S trùng nhau.

Chiều cao khối chóp là:

\(h = \sqrt {I{R^2} - O{I^2}} \)

\(= \sqrt {{{\left( {\frac{{15}}{{\sin {{36}^o}}} - \frac{x}{{2\tan {{36}^o}}}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{x}{{2\tan {{36}^o}}}} \right)}^2}} \) (cm).

Diện tích đáy khối chóp là:

\({S_{MNPQR}} = 5.{S_{OIE}} = 5.\frac{1}{2}.OI.x \)

\(= 5.\frac{1}{2}.\frac{x}{{2\tan {{36}^o}}}.x = \frac{{5{x^2}}}{{4\tan {{36}^o}}}\) \((c{m^2})\).

Thể tích khối chóp là:

\(V = \frac{1}{3}{S_{MNPQR}}.h \)

\(= \frac{1}{3}.\sqrt {{{\left( {\frac{{15}}{{\sin {{36}^o}}} - \frac{x}{{2\tan {{36}^o}}}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{x}{{2\tan {{36}^o}}}} \right)}^2}} .\frac{{5{x^2}}}{{4\tan {{36}^o}}}\) \((c{m^3})\).

Ta có \(V' = 0 \Leftrightarrow x \approx 14,8\) (cm). Vậy thể tích tạo thành lớn nhất khi x xấp xỉ 14,8 (cm).