a) Đúng. Thời gian Giáp chèo thuyền từ A đến C rồi chạy bộ từ C đến B là \(\frac{{300}}{{50}} + \frac{{400}}{{100}} = 10\) phút.

b) Sai. Ta có \(AD = \sqrt {{x^2} + {{300}^2}} = \sqrt {{x^2} + 90000} \) (m), DB = 400 – x (m) với \(0 \le x \le 400\).

Thời gian đi từ A đến B là \(f(x) = \frac{{\sqrt {{x^2} + 90000} }}{{50}} + \frac{{400 - x}}{{100}} = \frac{1}{{100}}\left( {2\sqrt {{x^2} + 90000} + 400 - x} \right)\) phút.

c) Đúng. \(f'(x) = \frac{1}{{100}}\left( {2\sqrt {{x^2} + 90000} + 400 - x} \right)' = \frac{1}{{100}}\left( {2\frac{{2x}}{{2\sqrt {{x^2} + 90000} }} - 1} \right)\)

\( = \frac{1}{{100}}\left( {\frac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} + 90000} }} - 1} \right) = \frac{{2x}}{{100\sqrt {{x^2} + 90000} }} - \frac{1}{{100}} = \frac{x}{{50\sqrt {{x^2} + 90000} }} - \frac{1}{{100}}\).

\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{{50\sqrt {{x^2} + 90000} }} - \frac{1}{{100}} = 0 \Leftrightarrow \frac{{2x - \sqrt {{x^2} + 90000} }}{{100\sqrt {{x^2} + 90000} }} = 0\)

\( \Leftrightarrow 2x - \sqrt {{x^2} + 90000} = 0 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 90000} = 2x \Rightarrow {x^2} + 90000 = 4{x^2}\)

\( \Leftrightarrow {x^2} = 30000 \Rightarrow x = 100\sqrt 3 \) (vì \(0 \le x \le 400\)).

Ta có \(f(0) = 10\), \(f(100\sqrt 3 ) = 3\sqrt 3 + 4 \approx 9,2\), \(f(400) = 10\).

Vậy thời gian nhanh nhất để Giáp đi từ A đến B xấp xỉ 9,2 phút.

d) Đúng. \(AB = \sqrt {A{C^2} + B{C^2}} = \sqrt {{{300}^2} + {{400}^2}} = 500\) (m).

Thời gian chèo thuyền thẳng từ A đến B là \(\frac{{500}}{{50}} = 10\) phút.