Ta có \({x^2} + {y^2} - 4x + 6y + 4 + \sqrt {{y^2} + 6y + 10} = \sqrt {6 + 4x - {x^2}} \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 4x + 6y + 4 + \sqrt {{y^2} + 6y + 10} - \sqrt {6 + 4x - {x^2}} = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 4x + 6y + 4 + \dfrac{{\left( {\sqrt {{y^2} + 6y + 10} - \sqrt {6 + 4x - {x^2}} } \right)\left( {\sqrt {{y^2} + 6y + 10} + \sqrt {6 + 4x - {x^2}} } \right)}}{{\sqrt {{y^2} + 6y + 10} + \sqrt {6 + 4x - {x^2}} }} = 0\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 4x + 6y + 4 + \dfrac{{{y^2} + 6y + 10 - 6 - 4x + {x^2}}}{{\sqrt {{y^2} + 6y + 10} + \sqrt {6 + 4x - {x^2}} }} = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 4x + 6y + 4 + \dfrac{{{x^2} + {y^2} - 4x + 6y + 4}}{{\sqrt {{y^2} + 6y + 10} + \sqrt {6 + 4x - {x^2}} }} = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} + {y^2} - 4x + 6y + 4} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{{\sqrt {{y^2} + 6y + 10} + \sqrt {6 + 4x - {x^2}} }}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 4x + 6y + 4 = 0\) (vì \(1 + \dfrac{1}{{\sqrt {{y^2} + 6y + 10} + \sqrt {6 + 4x - {x^2}} }} > 0\) )

\( \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 9\)

Phương trình \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 9\) là phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(I\left( {2; - 3} \right)\) và bán kính \(R = 3.\)

Gọi \(N\left( {x;y} \right) \in \left( C \right)\) ta suy ra \(ON = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \) suy ra \(T = \left| {ON - a} \right|\)

Gọi \(A,B\) là giao điểm của đường tròn \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(OI\).

Khi đó \(OA = OI - R = \sqrt {13} - 3\) và \(OB = OI + R = \sqrt {13} + 3\)

Suy ra \(\sqrt {13} - 3 \le \sqrt {{x^2} + {y^2}} \le \sqrt {13} + 3\)

TH1: Nếu \(\sqrt {13} - 3 \le a \le \sqrt {13} + 3\) thì \(\left| {\sqrt {{x^2} + {y^2}} - a} \right| \ge 0 \Rightarrow \min T = 0 \Rightarrow M \ge 2m \Rightarrow a \in \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\)

TH2: Nếu \(a < \sqrt {13} - 3 \Rightarrow a < \sqrt {13} \) nên \(\left| {\sqrt {13} + 3 - a} \right| > \left| {\sqrt {13} - 3 - a} \right|\), do đó \(M = \left| {\sqrt {13} + 3 - a} \right|;m = \left| {\sqrt {13} - 3 - a} \right|\)

Vì \(M \ge 2m \Rightarrow \left| {\sqrt {13} + 3 - a} \right| \ge 2\left| {\sqrt {13} - 3 - a} \right|\)

\( \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {13} + 3 - a} \right)^2} - {\left( {2\sqrt {13} - 6 - 2a} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow \sqrt {13} - 9 \le a \le \sqrt {13} - 1 \Rightarrow a \in \left\{ { - 5; - 4; - 3; - 2; - 1;0} \right\}\)

TH3: Nếu \(a > \sqrt {13} + 3 \Rightarrow a > \sqrt {13} \) nên \(\left| {\sqrt {13} + 3 - a} \right| < \left| {\sqrt {13} - 3 - a} \right|\), do đó \(m = \left| {\sqrt {13} + 3 - a} \right|;M = \left| {\sqrt {13} - 3 - a} \right|\)

Vì \(M \ge 2m \Rightarrow \left| {\sqrt {13} - 3 - a} \right| \ge 2\left| {\sqrt {13} + 3 - a} \right|\)

\( \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {13} - 3 - a} \right)^2} - {\left( {2\sqrt {13} + 6 - 2a} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow \sqrt {13} + 1 \le a \le \sqrt {13} + 9 \Rightarrow a \in \left\{ {7;8;9;10} \right\}\)

Vậy có 16 giá trị của \(a\) thỏa mãn đề bài.