a) Đúng. Gọi điểm chính giữa đường cáp là I, khi đó I là trung điểm của OA.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_O} + {x_A}}}{2} = \frac{{0 + 896}}{2} = 448\\{y_I} = \frac{{{y_O} + {y_A}}}{2} = \frac{{0 + 2025}}{2} = 1012,5\\{z_I} = \frac{{{z_O} + {z_A}}}{2} = \frac{{0 + 189}}{2} = 94,5\end{array} \right.\), suy ra I(448; 1012,5; 94,5).

b) Đúng. Gọi vị trí khu vui chơi là B(750,5; 1497,25; 0).

\(\overrightarrow {OA} = (896;2025;189)\).

Vì \(M({x_0};{y_0};{z_0})\) thuộc đường cáp nên \(\overrightarrow {OM} = k\overrightarrow {OA} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 896k\\{y_0} = 2025k\\{z_0} = 189k\end{array} \right.\) \((k \in \mathbb{Z})\).

\(\overrightarrow {BM} = ({x_0} - 750,5;{y_0} - 1497,25;{z_0})\).

\(\left| {\overrightarrow {BM} } \right| = \sqrt {{{({x_0} - 750,5)}^2} + {{({y_0} - 1497,25)}^2} + {z_0}^2} \)

\( = \sqrt {{{(896k - 750,5)}^2} + {{(2025k - 1497,25)}^2} + {{(189k)}^2}} \)

\(B{M^2} = 4939162{k^2} + 7408758,5k + 280007,813\).

Cabin cách khu vui chơi một khoảng ngắn nhất khi BM ngắn nhất, hay \(B{M^2}\) ngắn nhất.

Cần tìm k để \(B{M^2}\) ngắn nhất. Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(k) = 4939162{k^2} + 7408758,5k + 280007,813\).

\(f'(k) = 9878324k + 7408758,5 = 0 \Leftrightarrow k \approx 0,75\).

Vì f(k) là hàm số bậc hai có đồ thị có bề lõm hướng lên trên nên giá trị nhỏ nhất của f(k) là giá trị tại điểm cực trị của hàm số f(k), tức \(k \approx 0,75\).

Vậy \({x_0} + {y_0} + {z_0} = 896.0,75 + 2025.0,75 + 189.0,75 \approx 2332,5\).

c) Sai. Điểm B thuộc đường cáp nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 896k' = 672\\{y_B} = 2025k'\\{z_B} = 189k'\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k' = 0,75\\{y_B} = 1518,75\\{z_B} = 141,75\end{array} \right.\).

Vậy B(672; 1518,75; 141,75).

\(AB = \sqrt {{{(672 - 896)}^2} + {{(1518,75 - 2025)}^2} + {{(141,75 - 189)}^2}} \approx 555,6\) (m).

Thời gian để đi từ B đến A là \(\frac{{AB}}{v} = \frac{{555,6}}{{7,4}} \approx 75\) (giây).

d) Sai. Độ dài đường cáp là \(OA = \sqrt {{{896}^2} + {{2025}^2} + {{189}^2}} \approx 2222\) (m).