a) Với \(m = 3\) ta có: \(y = \log \left( {{x^2} + 8x + 6} \right)\).

Hàm số \(y = \log \left( {{x^2} + 8x + 6} \right)\) xác định khi \({x^2} + 8x + 6 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > - 4 + \sqrt {10} \\x < - 4 - \sqrt {10} \end{array} \right.\)

Vậy với \(m = 3\) thì tập xác định của hàm số là: \(D = \left( { - \infty ; - 4 - \sqrt {10} } \right) \cup \left( { - 4 + \sqrt {10} ; + \infty } \right)\).

b) Hàm số \(y = \log \left[ {\left( {m - 2} \right){x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + 2m} \right]\) xác định với mọi giá trị thực của x khi và chỉ khi \(f\left( x \right) = \left( {m - 2} \right){x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + 2m > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Trường hợp 1: Với \(m = 2\) ta có: \(f\left( x \right) = 6x + 4 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{{ - 2}}{3}\).

Do đó, f(x) không xác định với mọi giá trị thực của x. Do đó, \(m = 2\) không thỏa mãn.

Trường hợp 2: Với \(m \ne 2\).

Hàm số \(f\left( x \right) = \left( {m - 2} \right){x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + 2m > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 2 > 0\\\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {m - 2} \right)2m < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 2\\ - {m^2} + 6m + 1 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 2\\\left[ \begin{array}{l}m < 3 - \sqrt {10} \\m > 3 + \sqrt {10} \end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 3 + \sqrt {10} \)

Vậy với \(m \in \left( {3 + \sqrt {10} ; + \infty } \right)\) thì hàm số \(y = \log \left[ {\left( {m - 2} \right){x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + 2m} \right]\) có tập xác định với mọi giá trị thực của x.