Đề kiểm tra học kỳ 2 Toán 10 Trường THPT Hồ Nghinh – Quảng Nam năm 2024 – 2025

Hàm số xác định khi biểu thức dưới dấu căn lớn hơn hoặc bằng 0.

ĐKXĐ: $x + 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge - 1$.

Vậy $D = \left\lbrack {- 1; + \infty} \right)$.

Dựa vào giao điểm của đồ thị với hai trục tọa độ để xác định công thức.

Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0; 6) nên loại đáp án B.

Đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm (1; 0) và (3; 0) nên chọn đáp án C (vì $2{x^2} - 8x + 6 = 0$ có hai nghiệm x = 1 và x = 3).

Quan sát bảng xét dấu.

Để h(x) < 0 thì $x \in \left( {- 4;1} \right)$.

Đường thẳng ax + by + c = 0 có một vecto pháp tuyến là $\overrightarrow {n} = (a;b;c)$.

$\Delta:x - 2y + 2024 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overset{\rightarrow}{n} = \left( {1; - 2} \right)$.

Dựa vào công thức tính số tổ hợp.

Số tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử $\left( {1 \leq k \leq n} \right)$ bằng $C_{n}^{k} = \dfrac{n!}{k!\left( {n - k} \right)!}$.

Dựa vào công thức khai triển nhị thức Newton.

Có 6 số hạng trong khai triển $\left( {x + \dfrac{1}{x^{2}}} \right)^{5}$.

Xác định các vecto pháp tuyến của hai đường thẳng, xét xem chúng có cùng phương không, tìm tích vô hướng để xét chúng có vuông góc không.

Có $\frac{2}{3} \ne \frac{{ - 3}}{{ - 2}}$ và $2.3 - 3( - 2) = 12 \ne 0$ nên hai đường thẳng trên cắt nhau nhưng không vuông góc.

Tìm ĐKXĐ của phương trình và bình phương hai vế.

$\sqrt {x + 5} = x - 1 \Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\x + 5 = {x^2} - 2x + 1\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\{x^2} - 3x - 4 = 0\end{array} \right.$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\\left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 4.

Vậy S = {4}.

Áp dụng công thức tính số tổ hợp.

Số cách chọn 3 học sinh trực nhật là $C_{40}^3 = 9880$.

Đường tròn $\left( {x - a} \right)^{2} + \left( {y - b} \right)^{2} = R^2$ có tâm I(a; b).

I(-1; 2) là tâm đường tròn $\left( {x + 1} \right)^{2} + \left( {y - 2} \right)^{2} = 1$.

Áp dụng quy tắc nhân.

Số cách để Tâm đi đến nhà Linh mà phải đi qua nhà Huyền là 5.6 = 30.

Từ phương trình elip $\dfrac{x^{2}}{a^2} + \dfrac{y^{2}}{b^2} = 1$ suy ra ${a^2}$, ${b^2}$.

Tiêu cự elip là $2c = 2\sqrt {{a^2} - {b^2}}$.

Từ phương trình elip suy ra ${a^2} = 25$, ${b^2} = 9$.

Tiêu cự elip là $2c = 2\sqrt {{a^2} - {b^2}} = 2\sqrt {25 - 9} = 8$.

Áp dụng phương pháp tổ hợp.

a) Sai. Số tập con có $2$ phần tử từ tập A là $C_6^2 = 15$.

b) Đúng. Số các số tự nhiên có $3$ chữ số khác nhau lập từ A là $A_6^3 = 120$.

c) Đúng. Chọn 1 chữ số chẵn: 3 cách.

Chọn 2 chữ số lẻ: $C_3^2 = 3$ cách.

Xếp thứ tự 3 chữ số trên: 3! = 6 cách.

Số các số lập được là: 3.3.6 = 54 số.

d) Sai. Số cách chọn chữ số hàng đơn vị: 3 cách.

Số cách chọn 2 chữ số còn lại và xếp thứ tự: $A_5^2 = 20$ cách.

Số các số lập được là: 3.20 = 60 số.

Áp dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.

a) Sai. Thay tọa độ điểm A vào phương trình x + y – 3 = 0: $2 + ( - 1) - 3 = - 2 \ne 0$. Vậy x + y – 3 = 0 không phải phương trình đường thẳng AB.

b) Đúng. Thay tọa độ điểm B vào vế trái phương trình (C):

$VT = {(3 - 3)^2} + {(0 - 2)^2} = 4 = VP$.

Do đó B thuộc (C).

c) Sai. Tiêu điểm B(3; 0) nằm trên Ox, ta có:

$F = \left( {\frac{p}{2};0} \right) = (3;0) \Rightarrow \frac{p}{2} = 3 \Rightarrow p = 6$.

Phương trình chính tắc của parabol: ${y^2} = 2px \Leftrightarrow {y^2} = 12x$.

d) Đúng. Phương trình đường tròn tâm A, bán kính R = 2 là:

${(x - 2)^2} + {[y - ( - 1)]^2} = {2^2}$

$\Leftrightarrow {(x - 2)^2} + {(y + 1)^2} = 4$.

Áp dụng công thức tính số tổ hợp, giải phương trình $$C_n^1 + C_n^2 = 15$$ tìm n. Thay n vào khai triển ${\left( {x - \frac{2}{{{x^4}}}} \right)^n}$, lập công thức số hạng tổng quát và tìm số hạng không chứa x.

$C_n^1 + C_n^2 = 15$

$\frac{{n!}}{{1!(n - 1)!}} + \frac{{n!}}{{2!(n - 2)!}} = 15$

$n + \frac{{n(n - 1)}}{2} = 1$

${n^2} + n - 30 = 0$.

Giải phương trình trên, được n =  5 (TM) hoặc n = -6 (L).

Số hạng tổng quát thứ $k + 1$ ($0 \le k \le 5,k \in \mathbb{N}$) trong khai triển ${\left( {x - 2{x^{ - 4}}} \right)^5}$ là:

${T_{k + 1}} = C_5^k.{x^{5 - k}}.{( - 2{x^{ - 4}})^k} = C_5^k{( - 2)^k}.{x^{5 - 5k}}$.

Ta có: $5 - 5k = 0 \Leftrightarrow k = 1$ (TM).

Vậy số hạng không chứa x là: $C_5^1.{( - 2)^1} = - 10$.

Áp dụng phương pháp tổ hợp.

Số cặp đấu chọn ra từ 8 đội là: $C_8^2 = 28$ (cặp).

Do mỗi cặp đấu với nhau đúng 4 trận, tổng số trận đấu của giải là: 28.4 = 112 (trận).

Lập phương trình elip và áp dụng bất đẳng thức Cauchy để tìm GTLN.

Độ dài trục lớn $2a = 80 \Rightarrow a = 40$.

Độ dài trục bé $2b = 60 \Rightarrow b = 30$.

Phương trình chính tắc của elip là: $\frac{{{x^2}}}{{{{40}^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{{30}^2}}} = 1$.

Giả sử đỉnh của hình chữ nhật nằm ở góc phần tư thứ nhất có tọa độ (x; y) với x > 0, y > 0.

Hình chữ nhật có chiều dài là 2x, chiều rộng là 2y, diện tích là 4xy.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương $\frac{{{x^2}}}{{{{40}^2}}}$ và $\frac{{{y^2}}}{{{{30}^2}}}$:

$\frac{{{x^2}}}{{{{40}^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{{30}^2}}} \ge 2\sqrt {\frac{{{x^2}{y^2}}}{{{{40}^2}{{.30}^2}}}} = \frac{{2xy}}{{1200}} = \frac{{xy}}{{600}}$

$\Rightarrow 1 \ge \frac{{xy}}{{600}} \Rightarrow xy \le 600$.

Vậy diện tích sân bóng đá lớn nhất là 4.600 = 2400 $\left( {{m^2}} \right)$.

Chọn hệ trục tọa độ ở vị trí phù hợp, áp dụng công thức tính khoảng cách trong mặt phẳng tọa độ.

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho N trùng gốc tọa độ O, P thuộc tia Ox, M thuộc tia Oy.

MN = 20 m và N(0; 0) nên M(0; 20). NP = MQ = 30 m nên P(30; 0). Q và M có cùng tung độ, Q và P có cùng hoành độ nên Q(30; 20). S và M có cùng tung độ, MS = 8 m nên S(8; 20). T và P có cùng hoành độ, PT = 10 m nên T(30; 10).

Đường thẳng ST có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {ST} = (22; - 10)$ nên nhận $\vec n = (5;11)$ làm vectơ pháp tuyến. Do đó, phương trình đường thẳng ST là:

$5(x - 8) + 11(y - 20) = 0 \Leftrightarrow 5x + 11y - 260 = 0$.

Khoảng cách từ điểm N(0; 0) đến đường thẳng ST là: $\frac{{|5.0 + 11.0 - 260|}}{{\sqrt {{5^2} + {{11}^2}} }} \approx 21,5$.

Vậy Nam cần quăng lưỡi câu xa khoảng 21,5 m để lưỡi câu rơi vào nơi nuôi ếch.

Phương trình tham số của đường thẳng có dạng:

$\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\end{array}$$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = {x_0} + at}\\{y = {y_0} + bt}\end{array}} \right.$.

Phương trình đường tròn có dạng:

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$.

a) Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm A, B có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB} = (1; 6)$: $\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=-2+6t\end{array}$$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 2 + t}\\{y = - 2 + 6t}\end{array}} \right.$ hoặc $\{\begin{array}{l}x=3+t\\ y=4+6t\end{array}$$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 3 + t}\\{y = 4 + 6t}\end{array}} \right.$.

b) Ta có bán kính $R = IA = \sqrt{2}$.

Vậy phương trình đường tròn là:

$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 2$.

Áp dụng phương pháp tổ hợp.

Số cách chọn 3 học sinh nam là: $C_{15}^3 = 455$ cách.

Số cách chọn 2 học sinh nữ là: $C_{20}^2 = 190$ cách.

Số cách chọn 5 bạn thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $455.190 = 86450$.

Áp dụng phương pháp tổ hợp.

Gọi số vận động viên nam là $n$. Điều kiện: $n > 2, n \in N$.

Số ván các vận động viên nam chơi với nhau là $2C_n^2 = n(n-1)$.

Số ván các vận động viên nam chơi với các vận động viên nữ là $2.2.n = 4n$.

Vậy ta có $n(n-1) - 4n = 84 \Leftrightarrow n^2 - 5n - 84 = 0 \Rightarrow n = 12$.

Vậy số ván các vận động viên chơi là $2C_{14}^2 = 182$.