Đề cuối kỳ 2 Toán 10 năm 2024 – 2025 trường THPT Lê Hồng Phong – Đắk Lắk

Đường thẳng $ax + by + c = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = (a;b)$.

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d$ là $\overset{\rightarrow}{n} = \left( {1; - 2} \right)$.

Áp dụng quy tắc nhân.

Tổng số cách đi từ A đến D là 4.2.3 = 24 cách.

Áp dụng lí thuyết phương trình chính tắc của elip.

$\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ là phương trình chính tắc của elip.

Tứ phân vị của một mẫu số liệu gồm ba giá trị, gọi là tứ phân vị thứ nhất, thứ hai và thứ ba (lần lượt kí hiệu là Q₁, Q₂, Q₃). Ba giá trị này chia tập hợp dữ liệu đã sắp xếp thành bốn phần đều nhau. Cụ thể:

+) Giá trị tứ phân vị thứ hai, Q₂, chính là số trung vị mẫu;

+) Giá trị tứ phân vị thứ nhất, Q₁, là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên trái Q₂ (không bao gồm Q₂ nếu n lẻ).

+) Giá trị tứ phân vị thứ ba, Q₃, là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên phải Q₂ (không bao gồm Q₂ nếu n lẻ).

Mẫu số liệu có 10 số đã xếp theo thứ tự tăng dần.

${Q_2} = \frac{{8 + 9}}{2} = 8,5$; ${Q_1} = 6$; ${Q_3} = 12$.

Chia trường hợp và áp dụng các quy tắc đếm để tính xác suất.

Gọi KGM là “Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh bất kì” $\Rightarrow {n_\Omega } = C_{13}^3 = 286$.

Gọi A là biến cố: “3 học sinh được chọn có cả nam và 2 nữ đồng thời có cả khối 11 và khối 12”.

TH1: 1 học sinh nam lớp 11 - 2 học sinh nữ lớp 12 $\Rightarrow C_2^1 \cdot C_3^2 = 6$.

TH2: 1 học sinh nam lớp 11 - 1 học sinh nữ lớp 12 - 1 học sinh nam lớp 11 $\Rightarrow C_2^1 \cdot C_3^1 \cdot C_8^1 = 48$.

TH3: 2 học sinh nam lớp 11 - 1 học sinh nữ lớp 12 $\Rightarrow C_2^2 \cdot C_3^1 = 3$.

Vậy $n(A) = 6 + 48 + 3 = 57 \Rightarrow P(A) = \frac{{57}}{{286}}$.

Áp dụng phương pháp tính xác suất sử dụng biến cố đối.

Trong 1 lần tung, xác suất được mặt sấp là 0,5, xác suất được mặt ngửa là 0,5.

Xác suất trong 2 lần tung không được mặt ngửa nào là 0,5.0,5 = 0,25.

Xác suất trong 2 lần trung được ít nhất 1 mặt sấp là 1 – 0,25 = 0,75.

Trung vị là số liệu đứng chính giữa mẫu số liệu được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Gọi ${x_1},{x_2},...,{x_{50}}$ lần lượt là cân nặng của 50 quả vải thiều được xếp theo thứ tự tăng dần.

Trung vị của mẫu số liệu trên là $\frac{{{x_{25}} + {x_{26}}}}{2}$.

Ta có 1 + 10 < 25,5 < 1 + 10 + 19 nên trung vị của mẫu số liệu trên là 20.

$\overrightarrow a = (x;y) \Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}}$.

$\overrightarrow {BC} = (3 + 1;1 - 3) = (4; - 2)$.

$\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{4^2} + {{( - 2)}^2}} =2 \sqrt {5}$.

Trong mặt phẳng $Oxy$, đường tròn $(C):x^{2} + y^{2} - 2ax - 2by + c = 0$ có tâm là $I\left( {a; b} \right)$.

Trong mặt phẳng $Oxy$, đường tròn $(C):x^{2} + y^{2} + 4x + 6y - 12 = 0$ có tâm là $I\left( {- 2; - 3} \right)$.

Áp dụng lí thuyết về công thức tính số chỉnh hợp.

Công thức tính số chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử $\left( {1 \leq k \leq n;k,n \in {\mathbb{N}}} \right)$ là $A_{n}^{k} = \dfrac{n!}{\left( {n - k} \right)!}.$

$\overrightarrow u = a\overrightarrow i + b\overrightarrow j = (a;b)$.

$\overset{\rightarrow}{a} = 8\overset{\rightarrow}{j} - 3\overset{\rightarrow}{i} = \overset{\rightarrow}{a} = \left( {- 3\,;\, 8} \right)$.

Áp dụng quy tắc cộng.

Nhà trường có tổng 156 + 236 = 392 học sinh khối 10, do đó có 392 cách chọn 1 học sinh khối 10 đi dự dạ hội.

Áp dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.

a) Sai. $\overrightarrow u \left( {2;1} \right)$ là một vecto pháp tuyến của d.

b) Sai. $d(A,d) = \frac{{|2.2 + 3 - 4|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt 5 }}$.

c) Sai. Đường thẳng d’ song song với d có dạng 2x + y + c = 0 $(c \ne 4)$.

A(2; 3) thuộc d’ nên thay tọa độ điểm A vào phương trình d’:

$2.2 + 3 + c = 0 \Rightarrow c = - 7$.

Vậy d’: 2x + y – 7 = 0.

d) Đúng. VTPT của $d$ là ${\vec n_d} = \left( {2;1} \right)$.

Đường thẳng ${\rm{\Delta }}$ có VTCP ${\vec u_{\rm{\Delta }}} = \left( {1;3} \right) \Rightarrow$ VTPT ${\vec n_{\rm{\Delta }}} = \left( {3; - 1} \right)$.

$\cos \left( {\Delta ,d} \right) = \frac{{|2.3 + 1.( - 1)|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} .\sqrt {{3^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

$\Rightarrow \left( {\Delta ,d} \right) = {45^o}$.

Sử dụng phương pháp liệt kê.

a) Đúng. Mỗi lần gieo có 6 khả năng, gieo 2 lần liên tiếp có số phần tử của không gian mẫu là $n\left( {\rm{\Omega }} \right) = 6.6 = 36$.

b) Đúng. Biến cố A: “Số chấm xuất hiện trong hai lần như nhau” là:

$A = \{ (1;1);(2;2);(3;3);(4;4);(5;5);(6;6)\}$.

c) Sai. Các kết quả có ít nhất một lần xuất hiện mặt 6 là: (1; 6), (2; 6), (3; 6), (4; 6), (5; 6), (6; 6), (6; 1), (6; 2), (6; 3), (6; 4), (6; 5). Do đó n(B) = 11.

Vậy $P\left( B \right) = \frac{{11}}{{36}}$.

d) Đúng. Các cặp kết quả có tổng bằng 7 là: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1).

Vậy $P\left( C \right) = \frac{6}{{36}} = \frac{1}{6}$.

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự tăng dần và áp dụng công thức tính số đặc trưng của mẫu số liệu không ghép nhóm.

Mẫu số liệu gồm n = 20 quả trứng đã được sắp xếp theo thứ tự không giảm: 29, 36, 38, 39, 39, 40, 40, 40, 41, 41, 41, 41, 42, 42, 42, 43, 43, 43, 44, 45.

a) Đúng. Giá trị nhỏ nhất trong dãy số liệu đã cho là 29.

b) Đúng. Giá trị 41 có tần số xuất hiện nhiều nhất nên mốt của mẫu số liệu là ${M_O} = 41$.

c) Sai. ${Q_2} = \frac{{41 + 41}}{2} = 41$, ${Q_1} = \frac{{39 + 40}}{2} = 39,5$, ${Q_3} = \frac{{42 + 43}}{2} = 42,5$.

${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 42,5 - 39,5 = 3$.

d) Đúng. ${Q_1} - 1,5.{\Delta _Q} = 39,5 - 1,5.3 = 35$;

${Q_3} + 1,5.{\Delta _Q} = 42,5 + 1,5.3 = 47$.

Áp dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.

a) Đúng. Đường tròn tâm I(2; 1), bán kính bằng 3 có phương trình:

${(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} = {3^2}$

$\Leftrightarrow {(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} = 9$.

b) Sai.$IA = \sqrt {{{(3 - 2)}^2} + {{(2 - 1)}^2}} = \sqrt 2 \approx 1,41$ (km).

$IA = \sqrt 2 \le 3$ nên A nằm trong bán kính vùng phủ sóng, người dùng điện thoại sử dụng được dịch vụ của trạm.

c) Đúng. $IB = \sqrt {{{(3 - 2)}^2} + {{(4 - 1)}^2}} = \sqrt {10} \approx 3,162$ (km).

Khoảng cách ngắn nhất từ B đến vùng phủ sóng là:

$$d = IB - R = \sqrt {10} - 3 \approx 0,16$$ (km).

d) Đúng. $\frac{{{0^2}}}{{16}} + \frac{{{3^2}}}{9} = 1$ và $\frac{{{4^2}}}{{16}} + \frac{{{0^2}}}{9} = 1$ nên M, N thuộc elip.

$IM = \sqrt {{{(0 - 2)}^2} + {{(3 - 1)}^2}} = \sqrt 8 < 3$ (km);

$IN = \sqrt {{{(4 - 2)}^2} + {{(0 - 1)}^2}} = \sqrt 5 < 3$ (km).

Vậy M, N đều nẳm trong vùng phủ sóng.

Áp dụng phương pháp tổ hợp.

Có 90 số tự nhiên có 2 chữ số. Số phần tử của không gian mẫu: $n(\Omega ) = C_{90}^2 = 4005$.

Số cách chọn chữ số hàng đơn vị: 10 cách.

Với mỗi chữ số hàng đơn vị, có 2 cách chọn chữ số hàng chục để tạo thành cặp số được chọn. Số cặp số có cùng chữ số hàng đơn vị là: $10C2 = 36$ cách.

Xác suất cần tìm là: $\frac{{10.36}}{{4005}} \approx 0,09$.

Gọi H là hình chiếu của I lên d. Áp dụng định lí Pythagore để tính độ dài IH.

Phương trình (C) có thể viết dưới dạng: ${(x - 1)^2} + {(y + 1)^2} = 16$.

$IM = \sqrt {{{(1 - 1)}^2} + {{(1 - ( - 1))}^2}} = 2 < 4$ nên M nằm trong đường tròn và nằm giữa A, B.

Gọi H là hình chiếu của I lên AB. Khi đó, I là trung điểm của AB.

Đặt d = IH.

$HB = \sqrt {I{B^2} - I{H^2}} = \sqrt {16 - {d^2}}$; $AB = 2HB = 2\sqrt {16 - {d^2}}$; $HM = \sqrt {I{M^2} - I{H^2}} = \sqrt {4 - {d^2}}$.

$MB = HB - HM = \sqrt {16 - {d^2}} - \sqrt {4 - {d^2}}$;

$MA = HA + HM = \sqrt {16 - {d^2}} + \sqrt {4 - {d^2}}$.

Vì MA = 2MB nên ta có:

$\sqrt {16 - {d^2}} + \sqrt {4 - {d^2}} = 2\left( {\sqrt {16 - {d^2}} - \sqrt {4 - {d^2}} } \right)$

$3\sqrt {4 - {d^2}} = \sqrt {16 - {d^2}}$

$9(4 - {d^2}) = 16 - {d^2}$

${d^2} = \frac{5}{2}$.

Giá trị d thỏa mãn tìm được là $d = \sqrt {2,5} \approx 1,6$.

Sử dụng phương pháp liệt kê.

Số phần tử của không gian mẫu khi tung 3 lần: $n\left( {\rm{\Omega }} \right) = {2^3} = 8$.

Các kết quả để để mặt sấp xuất hiện đúng hai lần: (S, S, N), (S, N, S), (N, S, S).

Xác suất cần tìm là: $P(A) = \frac{3}{8} \approx 0,4$.

Áp dụng công thức tính số chỉnh hợp.

Một vectơ khác $\vec 0$ được tạo thành bằng cách chọn 2 điểm có thứ tự (điểm đầu và điểm cuối) từ 18 điểm đã cho.

Số vecto tạo được là: $A_{18}^2 = 18.17 = 306$.

Thay tọa độ của Hà Nội vào công thức và tính t.

Thay tọa độ của Hà Nội vào công thức: $\{\begin{array}{l}21,2=16,1+\frac{102}{25}t\\ 105,8=108,2-\frac{48}{25}t\end{array}\iff t=1,25$$\left\{ \begin{array}{l}21,2 = 16,1 + \frac{{102}}{{25}}t\\105,8 = 108,2 - \frac{{48}}{{25}}t\end{array} \right.$ \Leftrightarrow t = 1,25.

Vậy ến bay từ Đà Nẵng đến Hà Nội hết 1,25 giờ.

Áp dụng công thức tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu không ghép nhóm.

$\bar x = \frac{{20.5 + 21.8 + 22.11 + 23.10 + 24.6}}{{40}} = 22,1$.

${s^2} = \frac{1}{{40}}\left( {{{5.20}^2} + {{8.21}^2} + {{11.22}^2} + {{10.23}^2} {{6.24}^2}} \right) - 22,{1^2} = 1,54$.

$s = \sqrt {1,54} \approx 1,2$.