Đề thi học kì 2 Toán 10 năm 2024 - 2025 trường THPT Phạm Thành Trung - Tiền Giang

Đường thẳng $\Delta$ đi qua ${M_0}({x_0};{y_0})$ và nhận $\overrightarrow n = (a;b)$ làm vecto pháp tuyến có phương trình là $a(x - {x_0}) + b(y - {y_0}) = 0$.

Phương trình đường thẳng cần tìm:

$- 2(x - 2) + 3(y + 7) = 0 \Leftrightarrow - 2x + 3y + 25 = 0$.

Áp dụng quy tắc xét dấu của tam thức bậc hai.

$f\left( x \right) = {x^2} - 2x - 3 > 0 \Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}x < - 1\\x > 3\end{array}$ \right.. Vậy x = 4 là giá trị thỏa mãn.

$(C):{(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}$ có tâm I(a; b).

$(C):{x^2} + {(y - 2)^2} = 9$ có tâm I(0; 2).

Áp dụng quy tắc xét dấu tam thức bậc hai.

${x^2} - 3x - 4 \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le x \le 4$.

Vậy S = [-1; 4].

Cho $\overrightarrow u (x;y)$ và $\overrightarrow v = (x';y')$.

$\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}} = \frac{{xx' + yy'}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} .\sqrt {x{'^2} + y{'^2}} }}$.

$\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{4.( - 1) + 3( - 7)}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} .\sqrt {{{( - 1)}^2} + {{( - 7)}^2}} }} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

Suy ra $\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {135^o}$.

Áp dụng quy tắc cộng.

Số cách chọn là: 8 + 6 + 10 = 24.

Quan sát bảng xét dấu.

$f\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow 1 \le x \le 7$.

Quan sát đồ thị.

Tập nghiệm của bất phương trình là $\left( { - 2;\,\frac{1}{2}} \right)$.

Bình phương hai vế, giải phương trình rồi thay các nghiệm vào phương trình ban đầu xem có thỏa mãn.

$\sqrt {3{x^2} - x - 3} = \sqrt {{x^2} - x + 1}$

$3{x^2} - x - 3 = {x^2} - x + 1$

$2{x^2} - 4 = 0$.

Giải phương trình trên được $x = \sqrt 2$ và $x = - \sqrt 2$.

Thay vào phương trình ban đầu, thấy cả hai nghiệm đều thỏa mãn.

Vậy tích các nghiệm của phương trình là $\sqrt 2 .\left( { - \sqrt 2 } \right) = - 2$.

Công thức tính số chỉnh hợp chập k của n phần tử.

${\rm{A}}_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}$.

Từ phương trình elip, tìm a. Độ dài trục lớn bằng 2a.

${a^2} = 576 \Rightarrow a = 24 \Rightarrow 2a = 48$.

Vậy độ dài trục lớn của elip bằng 48.

$\overrightarrow a - \overrightarrow b = ({x_a} - {x_b};{y_a} - {y_b})$.

$\overrightarrow a - \overrightarrow b = ( - 1 - 5;2 + 7) = ( - 6;9)$.

Bình phương hai vế, giải phương trình.

a) Đúng. Bất phương trình $5{x^2} - 8x + 2 < 0$ là một bất phương trình bậc hai.

b) Đúng. Bất phương trình ${x^2} + 2 \ge 0$ có tập nghiệm là $\mathbb{R}$ vì ${x^2} + 2 \ge 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

c) Đúng. Bình phương hai vế phương trình (*):

$5{x^2} - 8x + 2 = {x^2} + 2$, rút gọn được $4{x^2} - 8x = 0$.

d) Sai. Phương trình $4{x^2} - 8x = 0$ có nghiệm x = 0 và x = 2.

Thay các giá trị x trên vào (*) thấy đều thỏa mãn. Vậy tổng bình phương các nghiệm bằng 4.

Áp dụng phương pháp tọa độ trên mặt phẳng.

a) Sai. Đường tròn tâm C(4; -1), bán kính R = 5 có phương trình ${\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 25$.

b) Đúng. Đường tròn đường kính BC có tâm I là trung điểm của BC, do đó:

$\{\begin{array}{l}{x}_I=\frac{x_B+x_C}{2}=\frac{2+4}{2}=3\\ y_I=\frac{y_B+y_C}{2}=\frac{-1+(-1)}{2}=-1\end{array}\Rightarrow I(3;-1)$$\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_B} + {x_C}}}{2} = \frac{{2 + 4}}{2} = 3\\{y_I} = \frac{{{y_B} + {y_C}}}{2} = \frac{{ - 1 + ( - 1)}}{2} = - 1\end{array} \right.$ \Rightarrow I(3; - 1).

c) Sai. $\overrightarrow {AB} = (2 - 3; - 1 - 0) = ( - 1; - 1)$, suy ra VTPT của AB là $\overrightarrow n = (1; - 1)$.

Phương trình tổng quát đường thẳng đi qua A(3; 0), có VTPT là $\overrightarrow n = (1; - 1)$:

$1(x - 3) - 1(y - 0) = 0$ hay $x - y - 3 = 0$.

d) Đúng. Phương trình elip có dạng $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ $(a > b > 0)$.

A(3; 0) là đỉnh của trục lớn nên $a = 3 \Rightarrow {a^2} = 9$.

Độ dài trục nhỏ là $2b = 4 \Rightarrow b = 2 \Rightarrow {b^2} = 4$.

Phương trình chính tắc của elip là $\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1$.

Bất phương trình trên có tập nghiệm là $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' \le 0\\a > 0\end{array} \right.$. Tìm m thỏa mãn hệ.

Bất phương trình ${x^2} + 2(m - 1)x + m + 5 \ge 0$ có tập nghiệm là $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' \le 0\\a > 0\end{array} \right.$.

$\Delta ' = {(m - 1)^2} - 1.(m + 5) = {m^2} - 3m - 4 \le 0$ khi $- 1 \le m \le 4$.

a = 1 > 0 (luôn đúng).

Vậy có 6 số nguyên m thỏa mãn, đó là $m \in \{ - 1;0;1;2;3;4\}$.

Hai đường thẳng song song có cùng VTPT. Từ đó thay tọa độ điểm thuộc đường thẳng vào phương trình để tìm hệ số tự do.

Đường thẳng d song song với đường thẳng 2x + y + 7 = 0 nên d có dạng: 2x + y + c = 0.

Vì d đi qua điểm A(1; 2) nên ta có: 2.1 + 1.1 + c = 0, suy ra c = -4.

Phương trình d là: 2x + y – 4 = 0. Vậy P = b + c = 1 + (-4) = -3.

Theo định nghĩa của elip, với mọi điểm M thuộc elip (E), tổng khoảng cách từ M đến hai tiêu điểm ${F_1}$, ${F_2}$ luôn bằng 2a.

Từ phương trình, ta xác định được: ${a^2} = 25 \Rightarrow a = 5$.

Vậy $M{F_1} + M{F_2} = 2a = 2.5 = 10$.

Theo định nghĩa của elip, với mọi điểm M thuộc elip (E), tổng khoảng cách từ M đến hai tiêu điểm ${F_1}$, ${F_2}$ luôn bằng 2a.

Từ phương trình, ta xác định được: ${a^2} = 25 \Rightarrow a = 5$.

Vậy $M{F_1} + M{F_2} = 2a = 2.5 = 10$.

Bình phương hai vế, giải phương trình, thay các giá trị x tìm được vào phương trình ban đầu, nếu thỏa mãn thì đó là nghiệm của phương trình ban đầu.

$\sqrt {x + 10} = x - 2$

$x + 10 = {x^2} - 4x + 4$

${x^2} - 5x - 6 = 0$.

Giải phương trình trên ta được x = -1 và x = 6.

Thay vào phương trình ban đầu, thấy nghiệm x = 6 thỏa mãn.

Lập phương trình đường thẳng qua A, nhận $\overrightarrow{BC}$ làm vecto pháp tuyến.

$\overrightarrow{BC} = (2;3)$ là vecto pháp tuyến của đường thẳng AH.

Phương trình AH: 

$2(x-1) + 3(y-2) = 0$

$\Leftrightarrow 2x + 3y - 8 = 0$.

Lập phương trình đường tròn tâm I với I là trung điểm của AB, bán kính IA.

Đường tròn (C) đường kính AB có tâm I(3;1) là trung điểm AB, bán kính $R = \frac{AB}{2} = \sqrt{13}$.

Phương trình đường tròn (C):

$(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 13$.

Áp dụng các quy tắc đếm, công thức tính số tổ hợp.

Số cách chọn 7 học sinh bất kỳ trong 15 học sinh có $C_{15}^7 = 6435$ cách.

Số cách chọn 7 học sinh bất kỳ trong 11 học sinh của hai lớp 11 và 12 là $C_{11}^7$ cách.

Số cách chọn 7 học sinh bất kỳ trong 10 học sinh của hai lớp 10 và 11 là $C_{10}^7$ cách.

Số cách chọn 7 học sinh bất kỳ trong 9 học sinh của hai lớp 10 và 12 là $C_9^7$ cách.

Vậy có tất cả $C_{15}^7 - (C_{11}^7 + C_{10}^7 + C_9^7) = 5949$ cách chọn thoả mãn yêu cầu.