Đề minh họa HK2 Toán 10 năm 2024 – 2025 trường THPT Hoàng Diệu – Đồng Nai

Quan sát đồ thị và trả lời.

$f\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)$.

Áp dụng quy tắc xét dấu của tam thức bậc hai.

$- {x^2} + x + 12 \ge 0 \Leftrightarrow - 3 \le x \le 4$.

Bình phương hai vế, giải phương trình rồi thay nghiệm tìm được vào phương trình ban đầu xem có thỏa mãn.

$2\sqrt {{x^2} - 3x + 1} = \sqrt {5{x^2} + 3x + 4}$

$4\left( {{x^2} - 3x + 1} \right) = 5{x^2} + 3x + 4$

$4{x^2} - 12x + 4 = 5{x^2} + 3x + 4$

${x^2} + 15x = 0$.

Giải phương trình trên được x = 0 hoặc x = -15.

Thay các nghiệm trên vào phương trình ban đầu thấy đều thỏa mãn.

Vậy tổng các nghiệm là 0 + (-15) = -15.

Áp dụng quy tắc cộng.

Lớp 10A có tất cả 15 + 22 = 37 học sinh. Do đó số cách chọn một học sinh trong lớp 10A làm lớp trưởng là 37 cách.

Áp dụng công thức tính số hoán vị.

Số cách xếp là số hoán vị: 4! = 24.

${(a + b)^4} = C_4^0{a^4} + C_4^1{a^3}b + C_4^2{a^2}{b^2} + C_4^3{a^1}{b^3} + C_4^4{b^4}$

$= {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4{a^1}{b^3} + {b^4}$.

$P(x) = 1 \cdot (2x)^4 + 4 \cdot (2x)^3 \cdot 1 + 6 \cdot (2x)^2 \cdot 1^2 + 4 \cdot (2x)^1 \cdot 1^3 + 1 \cdot 1^4$

$P(x) = 16x^4 + 32x^3 + 24x^2 + 8x + 1$.

Số hạng thứ tư là 8x.

Liệt kê tất cả các kết quả.

$\Omega = \left\{ {SS,SN,NS,NN} \right\}$.

Áp dụng phương pháp tổ hợp.

Số phần tử của không gian mẫu: ${6^2} = 36$.

Để tổng số chấm xuất hiện trên hai lần gieo là số chẵn thì:

TH1: Hai lần gieo đều ra số chẵn: $C_3^1.C_3^1 = 9$ kết quả.

TH2: Hai lần gieo đều ra số lẻ: $C_3^1.C_3^1 = 9$ kết quả.

Xác suất cần tìm là: $\frac{{9 + 9}}{{36}} = \frac{1}{2}$.

Nếu $A({x_1};{y_1})$ và $B({x_2};{y_2})$ thì $AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{({x_2} - {x_1})}^2} + {{({y_2} - {y_1})}^2}}$.

$\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{{(3 + 1)}^2} + {{(1 - 3)}^2}} = 2\sqrt 5$.

Lập phương trình đoạn chắn của đường thẳng qua A(a; 0) và B(0; b): $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$.

Đường thẳng đi qua hai điểm M(0; 3) và N(4; 0) có phương trình là $\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = 1$.

Giả sử I là tâm của (C). Lập phương trình tiếp tuyến qua M, nhận $\overrightarrow {IM}$ làm vecto pháp tuyến.

Đường tròn (C) có tâm I(1; 2). Khi đó $\overrightarrow {IM} = (2;2)$ là một vecto pháp tuyến của tiếp tuyến tại M.

Ta có phương trình tiếp tuyến:

$2(x - 3) + 2(y - 4) = 0$

$\Leftrightarrow 2x + 2y - 14 = 0$

$\Leftrightarrow x + y - 7 = 0$.

Giả sử (E): $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$. Từ điểm thuộc (E) và tiêu điểm, tìm ${a^2}$, ${b^2}$. Áp dụng công thức $c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}$.

Giả sử (E): $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$.

(E) đi qua A(11; 0) nên $\frac{{{{11}^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{121}}{{{a^2}}} = 1 \Leftrightarrow {a^2} = 121$.

Ta có ${F_2}(3;0) \Rightarrow c = 3$.

Suy ra ${b^2} = {a^2} - {c^2} = 121 - {3^2} = 112$.

Vậy $\frac{{{x^2}}}{{121}} + \frac{{{y^2}}}{{112}} = 1$.

Áp dụng kết hợp quy tắc đếm.

a) Sai. Để lập số tự nhiên chẵn có ba chữ số đôi một khác nhau:

TH1: Chữ số hàng đơn vị là 0.

- Chọn chữ số hàng trăm: 4 cách.

- Chọn chữ số hàng chục: 3 cách.

Do đó TH1 lập được 1.4.3 = 12 số.

TH2: Chữ số hàng đơn vị là 2 hoặc 4.

- Chọn chữ số hàng trăm: 3 cách.

- Chọn chữ số hàng chục: 3 cách.

Do đó TH2 lập được 2.3.3 = 18 số.

Vậy lập được tất cả 30 số tự nhiên chẵn có ba chữ số đôi một khác nhau.

b) Đúng. Số cách lập một số tự nhiên có hai chữ số:

- Chọn chữ số hàng chục: 4 cách.

- Chọn chữ số hàng đơn vị: 5 cách.

Vậy lập được 4.5 = 20 số tự nhiên có hai chữ số.

c) Đúng. Số cách lập một số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5:

- Chọn chữ số hàng đơn vị: 1 cách.

- Chọn chữ số hàng trăm: 4 cách.

- Chọn chữ số hàng chục: 3 cách.

Vậy lập được 1.4.3 = 12 số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5.

d) Đúng. Số cách lập một số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau:

- Chọn chữ số hàng trăm: 4 cách.

- Chọn chữ số hàng chục: 4 cách.

- Chọn chữ số hàng đơn vị: 3 cách.

Vậy lập được 4.4.3 = 48 số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau.

Áp dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.

a) Đúng. Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$ là $\overset{\rightarrow}{n} = \left( {3; - 4} \right)$.

b) Sai. Đường tròn (C) có tâm I(1; 2) và bán kính R = 2.

c) Sai. $3.1 - 4.2 + 10 = 5 \ne 0$ nên đường thẳng $\Delta$ không đi qua điểm M(1; 2).

d) Đúng. $3x - 4y + 10 = 0 \Leftrightarrow y = \frac{{3x + 10}}{4}$.

$\Delta$ cắt đường tròn tại:

${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {\frac{{3x + 10}}{{45}} - 2} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow x = \frac{{2 \pm 4\sqrt 3 }}{5}$.

Vậy $\Delta$ cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.

Áp dụng phương pháp tổ hợp và quy tắc cộng.

TH1: Chọn 2 viên bi màu xanh từ 5 viên bi xanh.

Số cách chọn: $C_5^2 = 10$ cách.

TH2: Chọn 2 viên bi màu đỏ từ 7 viên bi đỏ.

Số cách chọn: $C_7^2 = 21$ cách.

Áp dụng quy tắc cộng, tổng số cách chọn là: 10 + 21 = 31 (cách).

Khai triển áp dụng nhị thức Newton.

${(2 + x)^5} = 32 + 80x + 80{x^2} + 40{x^3} + 10{x^4} + {x^5}$.

Tổng các hệ số là: 32 + 80 + 80 + 40 + 10 + 1 = 243.

Phương trình đường tròn dạng ${x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0$ có bán kính $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c}$.

Từ phương trình đường tròn, ta có: a = 3, b = 4, c = 0.

$R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} = \sqrt {{3^2} + {4^2} - 0} = 5$.

Phương trình Hypebol có dạng $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ với $a > b > 0$ có hai tiêu điểm ${F_1}\left( { - c;0} \right),{F_2}\left( {c;0} \right)$ và có tiêu cự là 2c với $c = \sqrt {{a^2} + {b^2}}$.

Ta có: O(0; 0) là tâm đối xứng của hypebol.

$\Rightarrow$ Khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng là OA, khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy là OB và $OA = \frac{1}{2}OB$.

Mà chiều cao tháp là 120 m hay $OA + OB = 120 \Rightarrow OA = 40$ (m); $OB = 80$ (m).

Gọi R là bán kính đáy của tháp; M là điểm ở đáy tháp, thuộc hypebol $\Rightarrow M\left( {R; - 80} \right)$.

Thay tọa độ điểm $M\left( {R; - 80} \right)$ vào phương trình hypebol ta tính được:

$R = 30\sqrt {1 + \frac{{{{\left( { - 80} \right)}^2}}}{{{{50}^2}}}} {\rm{\;}} \approx 57$ (m).

${(a + b)^5}$

$= C_5^0{a^5} + C_5^1{a^4}b + C_5^2{a^3}{b^2} + C_5^3{a^2}{b^3} + C_5^4a{b^4} + C_5^5{b^5}$

$= {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}$.

$(3x - 1)^5 = (3x)^5 + 5(3x)^4(-1) + 10(3x)^3(-1)^2$

$+ 10(3x)^2(-1)^3 + 5(3x)(-1)^4 + (-1)^5$

$= 243x^5 - 405x^4 + 270x^3 - 90x^2 + 15x - 1$.

Hệ số của số hạng chứa $x^4$ là -405.

Áp dụng phương pháp tổ hợp.

Chọn ra 5 tấm thẻ từ 10 tấm thẻ : $n(\Omega) = C_{10}^5 = 252$.

Gọi A: “Trong 5 tấm thẻ chọn ra có đúng 3 tấm thẻ màu đỏ”.

$n(A) = C_4^3 \cdot C_5^2 = 40$.

$P(A) = \frac{40}{252} = \frac{10}{63}$.

Lập phương trình:

a) Đường trung trực của AB nhận $\overrightarrow {AB}$ làm VTPT và đi qua trung điểm của AB.

b) Đường tròn (C) có tâm A, bán kính là khoảng cách từ A đến $\Delta$.

a) Đường trung trực của AB nhận $\overrightarrow {AB} = (3 + 1;4 - 2) = (4;2)$ làm VTPT và đi qua I(1; 3) là trung điểm của AB. Phương trình tổng quát của đường trung trực đó là:

$4(x - 1) + 2(y - 3) = 0$

$\Leftrightarrow 4x + 2y - 10 = 0$

$\Leftrightarrow 2x + y - 5 = 0$.

b) Bán kính của (C) là khoảng cách từ A đến $\Delta$:

$R = d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {2( - 1) + 2 - 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = \sqrt 5$.

Phương trình của (C) là:

${(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} = 5$.