Đề thi học kì 2 Toán 10 - Đề số 4

${(a + b)^5} = C_5^0{a^5} + C_5^1{a^4}b + C_5^2{a^3}{b^2} + C_5^3{a^2}{b^3} + C_5^4a{b^4} + C_5^5{b^5}$

$= {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}$.

$(x + y)^5 = C_5^0 x^5 + C_5^1 x^4 y + C_5^2 x^3 y^2 + C_5^3 x^2 y^3 + C_5^4 x y^4 + C_5^5 y^5$

$= a^5 - 10a^4b + 40a^3b^2 - 80a^2b^3 + 80ab^4 - 32b^5$.

Số hạng chứa $b^5$ là: $-32b^5$.

Cho $(P):y = a{x^2} + bx + c$, ta có hoành độ đỉnh là $x = - \frac{{ - b}}{{2a}}$.

${x_I} = - \frac{{ - 4}}{{2.2}} = 1$.

Bình phương hai vế, giải phương trình rồi thay nghiệm tìm được vào phương trình ban đầu xem có thỏa mãn.

$\sqrt {2{x^2} - 3x - 2} = \sqrt {{x^2} - x - 2}$

$2{x^2} - 3x - 2 = {x^2} - x - 2$

${x^2} - 2x = 0$

Giải phương trình bậc hai trên được nghiệm x = 0, x = 2.

Thay vào phương trình ban đầu, thấy chỉ có nghiệm x = 2 thỏa mãn.

${(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}$ có bán kính R.

${(x - 3)^2} + {(y + 2)^2} = 16$ có bán kính R = 4.

Giả sử một phép thử có không gian mẫu Ω gồm hữu hạn các kết quả có cùng khả năng xảy ra là một biến cố. Xác suất của biến cố A là một số, kí hiệu là P(A), được xác định bởi công thức $\frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}}$, trong đó n(A), n(Ω) lần lượt kí hiệu số phần tử của tập hợp A và Ω.

Không gian mẫu: $n(\Omega ) = 6$. A là biến cố “Mặt 3 chấm xuất hiện”.

Số kết quả có thể xảy ra (mặt 3 chấm xuất hiện): n(A) = 1.

Vậy xác suất mặt 3 chấm xuất hiện là $P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{1}{6}$.

Giả sử một phép thử có không gian mẫu Ω gồm hữu hạn các kết quả có cùng khả năng xảy ra là một biến cố. Xác suất của biến cố A là một số, kí hiệu là P(A), được xác định bởi công thức $\frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}}$, trong đó n(A), n(Ω) lần lượt kí hiệu số phần tử của tập hợp A và Ω.

Không gian mẫu: $n(\Omega ) = {2^3} = 8$.

Số kết quả có thể xảy ra (mặt sấp xuất hiện đúng 2 lần): $n(A) = C_3^2 = 3$.

Vậy $P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{3}{8}$.

Áp dụng quy tắc cộng.

Bạn An có tất cả 5 + 6 + 8 = 19 quyển sách, do đó có 19 cách chọn 1 quyển sách để đọc.

Cho elip (E): $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ta có thể xác định được hai tiêu điểm $F_1(-c;0)$; $F_2(c;0)$ với $c^2 = a^2 - b^2$.

Từ phương trình (E), ta có ${a^2} = 36$, ${b^2} = 25$.

Ta có $c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = \sqrt {36 - 25}  = \sqrt {11}$.

Vậy tiêu điểm của (E) là ${F_1}( - \sqrt {11} ;0)$, ${F_2}(\sqrt {11} ;0)$.

Áp dụng công thức tính số tổ hợp.

Nhóm có tổng 6 + 5 = 11 học sinh.

Số cách chọn 3 học sinh để trực nhật là $C_{11}^3$.

Áp dụng quy tắc xét dấu tam thức bậc hai để giải.

${x^2} - 6x + 8 < 0 \Leftrightarrow 2 < x < 4$.

Xác định biến cố sao cho xuất hiện các mặt không giống nhau.

M = {NS; SN}.

Từ phương trình tham số $\{\begin{array}{l}x=x_0+mt\\ y=y_0+nt\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + mt\\y = {y_0} + nt\end{array} \right.$, ta xác định được vecto chỉ phương $\overrightarrow u = (m;n)$.

Một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\overrightarrow a = (\sqrt 2 ; - \sqrt 3 )$.

Sử dụng phương pháp tổ hợp.

Lớp 10B có 40 bạn, trong đó có 4 cán bộ lớp và 36 học sinh không phải cán bộ lớp.

a) Sai. Xác suất để có đúng một bạn cán bộ lớp được gọi là $\frac{{C_4^1C_{36}^1}}{{C_{40}^2}} = \frac{{12}}{{65}}$.

b) Đúng. Số cách chọn 2 trong 40 bạn lớp 10B là $C_{40}^2 = 780$.

c) Đúng. Xác suất để không bạn nào là cán bộ lớp được gọi là $\frac{{C_{36}^2}}{{C_{40}^2}} = \frac{{21}}{{26}}$.

d) Sai. Xác suất để bạn Việt và một bạn không phải cán bộ lớp được gọi là $\frac{{C_1^1C_{36}^1}}{{C_{40}^2}} = \frac{3}{{65}}$.

Áp dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.

a) Sai. Từ phương trình (E) ta có tiêu cự là $2c = 2\sqrt {{a^2} - {b^2}} = 2\sqrt {25 - 16} = 6$.

b) Đúng. Tâm của (C) là I(4; -5).

c) Sai. $\overrightarrow u = (2;3)$ là một vecto pháp tuyến của d.

d) Đúng. Phương trình đường chuẩn của (P) là:

$x = - \frac{p}{2} \Rightarrow x = - \frac{6}{4} \Leftrightarrow x = - \frac{3}{2}$.

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho trục tung đi qua đỉnh parabol, trục hoành nằm trên mặt đất.

Xác định các điểm đi qua để tìm phương trình parabol $y = ax^2 + b$, từ đó tìm chiều cao h của đỉnh.

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho gốc tọa độ O nằm ở trung điểm của khoảng cách giữa hai chân cổng.

Khi đó, tọa độ hai chân cổng là A(-10; 0) và B(10; 0).

Phương trình parabol có dạng $y = ax^2 + b$ (b là chiều cao của đỉnh cổng).

Vì cổng đi qua điểm (10; 0) nên: 

$0 = a . 10^2 + b \Rightarrow b = -100a$.

Ở vị trí cách chân cổng 2 m (tức là x = 10 - 2 = 8), độ cao đo được là 3,6 m.

Suy ra điểm (8; 3,6) thuộc parabol: 

$3,6 = a . 8^2 + b$.

Thay $b = -100a$ vào PT trên ta được: 

$3,6 = 64a - 100a \Rightarrow a = -0,1$.

Suy ra b = -100(-0,1) = 10.

Vậy chiều cao đỉnh cổng chào là 10 mét.

Áp dụng kết hợp quy tắc cộng và nhân.

Gọi số có 3 chữ số khác nhau là $\overline {abc}$.

Ta có: $\overline {abc} :2$.

+) TH1: c = 0.

a có 9 cách chọn.

b có 8 cách chọn.

Do đó TH1 có 1.9.8 = 72 (cách chọn).

+) TH2: $c \in \{ 2;4;6;8\}$

c có 4 cách chọn.

a có 8 cách chọn.

b có 8 cách chọn.

Do đó TH2 có 4.8.8 = 256 (cách chọn).

Vậy có tổng cộng 72 + 256 = 328 cách chọn.

Tìm tập nghiệm của bất phương trình bậc hai, sau đó liệt kê các số nguyên dương thuộc tập nghiệm đó và tính tổng.

Xét phương trình $2x^2 - 13x - 15 = 0$.

Ta có: a - b + c = 2 - (-13) + (-15) = 0 nên phương trình có hai nghiệm x = -1, $x = \frac{15}{2}$.

Vì hệ số a = 2 > 0 nên tập nghiệm của bất phương trình $2x^2 - 13x - 15 < 0$ là $\left( -\frac{1}{2}; \frac{15}{2} \right).$.

Tập các nghiệm nguyên dương của bất phương trình là:

S = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}.

Tổng các nghiệm này là:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28.

Sử dụng quy tắc nhân và công thức tổ hợp.

Chọn 1 bi đỏ từ 6 bi đỏ và chọn 2 bi còn lại từ các màu khác.

Số cách chọn đúng 1 viên bi màu đỏ là $C_6^{1}$ cách.

Khi đó, 2 viên bi còn lại phải chọn từ các viên bi xanh và trắng.

Tổng số bi xanh và trắng là: 8 + 10 = 18 viên bi.

Số cách chọn 2 viên bi không phải đỏ là $C_{18}^{2}$ cách.

Số phần tử của biến cố B là:

$C_6^{1} . C_{18}^{2} = 918$.

Bình phương hai vế, giải phương trình rồi thay lại các giá trị x tìm được vào phương trình ban đầu xem có thỏa mãn.

$\sqrt {2{x^2} + 2x - 4} = x - 1$

$2{x^2} + 2x - 4 = {x^2} - 2x + 1$

${x^2} + 4x - 5 = 0$.

Giải phương trình trên được x = 1 hoặc x = -5.

Thay vào phương trình ban đầu, thấy nghiệm x = 1 thỏa mãn.

Áp dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.

a) Khoảng cách từ gốc tọa độ đến đt: 

$d(O; d) = \frac{| -1 |}{\sin^2 a^o + \cos^2 a^o} = 1$

b) Khi a thay đổi, khoảng cách từ O đến d luôn bằng 1, nên đường thẳng d luôn tiếp xúc với đường tròn tâm O, bán kính R = 1.

Phương trình đường tròn (C): $x^2 + y^2 = 1$.

Áp dụng phương pháp tổ hợp và tính xác suất thông qua biến cố đối.

$n(\Omega) = C_{35}^5 = 324632$.

A: “Chọn 5 học sinh có đúng 3 học sinh nam và 2 nữ”.

$n(A) = C_{15}^3 \cdot C_{20}^2 = 86450$.

$P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{86450}{324632} \approx 0,266$.

B: “Chọn 5 học sinh sao cho có ít nhất 1 nam”.

Khi đó $\overline{B}$ là biến cố chọn được 5 học sinh nữ nên:

$n(\overline{B}) = C_{20}^5 = 15504$.

$P(B) = 1 - P(\overline{B}) = 1 - \frac{C_{20}^5}{C_{35}^5} \approx 0,95$.