Đề thi học kì 2 Toán 10 - Đề số 3

Áp dụng quy tắc chỉnh hợp.

Số cách chọn 5 trong 8 ghế và xếp 5 học sinh vào: $A_8^5$.

Hai đường thẳng song song có cùng vecto pháp tuyến.

Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng để tìm hệ số tự do và kết luận.

Đường thẳng cần tìm song song với d nên có dạng x + 2y + c = 0.

A thuộc đường thẳng trên nên $1.1 + 2.2 + c = 0 \Leftrightarrow c = - 5$.

Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình x + 2y – 5 = 0.

Parabol ${y^2} = 2px$ (với p > 0) có tiêu điểm $F\left( {\frac{p}{2};0} \right)$.

$2p = \sqrt 3 \Rightarrow \frac{p}{2} = \frac{{\sqrt 4 }}{3} \Rightarrow F\left( {\frac{{\sqrt 4 }}{3};0} \right)$.

${(a + b)^5} = C_5^0{a^5} + C_5^1{a^4}b + C_5^2{a^3}{b^2} + C_5^3{a^2}{b^3} + C_5^4a{b^4} + C_5^5{b^5}$

$= {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}$.

$x^{10} - 10x^{8}y + 40x^{6}y^{2} - 80x^{4}y^{3} + 80x^{2}y^{4} - 32y^{5}$.

Thay tọa độ các điểm lần lượt vào phương trình parabol và công thức hoành độ đỉnh để tìm hệ số a, b, c.

$\{\begin{array}{l}3=a{.0}^2+b.0+c\\ 2=a(-1{)}^2+b(-1)+c\\ -\frac{b}{2a}=-1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=1\\ b=2\\ c=3\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}3 = a{.0^2} + b.0 + c\\2 = a{( - 1)^2} + b( - 1) + c\\ - \frac{b}{{2a}} = - 1\end{array} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\\c = 3\end{array} \right.$

Vậy a + b + c = 1 + 2 + 3 = 6.

Áp dụng quy tắc cộng.

Tổ đó có 6 + 8 = 14 học sinh. Do đó có 14 cách chọn 1 học sinh đi trực nhật.

Đường tròn $\left( {x - a} \right)^{2} + \left( {y - b} \right)^{2} = R^2$ có tâm I(a; b), bán kính R.

Đường tròn (C) có toạ độ tâm I và bán kính R là I(2; -4); R = 4.

$P(\overline A ) = 1 - P(A)$.

$P(\overline A ) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$.

Liệt kê các kết quả.

Không gian mẫu của phép thử là: {SS, NN, SN, NS}.

Quan sát bảng xét dấu và nhận xét.

$f(x) > 0\,,\,\forall x \in \left( {3\,;\, + \infty} \right)$.

Elip có phương trình dạng $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$.

Từ tiêu điểm, xác định c.

Thay tọa độ điểm M vào phương trình elip, xác định $b^2$.

Áp dụng công thức ${a^2} = {b^2} + {c^2}$ xác định $a^2$.

Elip có phương trình dạng $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$.

Từ tọa độ tiêu điểm, ta xác định được c = 2.

Elip đi qua $M\left( {0;\sqrt {32} } \right)$ nên $\frac{{{0^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{{\left( {\sqrt {32} } \right)}^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Rightarrow {b^2} = 32$.

${a^2} = {b^2} + {c^2} = 32 + 4 = 36$.

Vậy phương trình elip là $\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{32}} = 1$.

Áp dụng công thức tính chu vi của tam giác và định lí Pythagore.

Gọi a, b là độ dài hai cạnh góc vuông của mảnh đất (m; a, b > 0).

Bác dùng An dùng 240 m hàng rào để rào mảnh đất nên chu vi tam giác bằng 240 m.

Ta có: $a + b + 100 = 240 \Leftrightarrow {(a + b)^2} = {140^2}$

$\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + 2ab = 19600$.

Mà theo định lí Pythagore: ${a^2} + {b^2} = {100^2} = 10000$.

Do đó $2ab = 9600 \Rightarrow S = \frac{1}{2}ab = 2400$ $({m^2})$.

Số tiền bác An đầu tư để trồng hoa là:

2400.10 = 24000 nghìn đồng = 24 triệu đồng.

Sử dụng phương pháp tổ hợp.

Có tất cả 9 bông hồng.

a) Đúng. Số cách chọn 4 bông bất kì: $C_9^4 = 126$.

b) Sai. Số cách chọn 4 bông, trong đó có:

- 3 bông hồng vàng: $C_5^3.C_4^1 = 40$.

- 4 bông hồng vàng: $C_5^4 = 5$.

Vậy có tất cả 45 cách chọn 4 bông, trong đó có ít nhất 3 bông hồng vàng.

c) Sai. Số cách chọn 4 bông, trong đó số bông mỗi màu bằng nhau là: $C_5^2.C_4^2 = 60$.

d) Đúng. Xác suất để chọn 4 bông không đủ hai màu: $\frac{{C_5^4 + C_4^4}}{{C_9^4}} = \frac{1}{{21}}$.

Xác suất để chọn 4 bông đủ hai màu: $1 - \frac{1}{{21}} = \frac{{20}}{{21}}$.

Sử dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.

a) Đúng. Theo tính chất Elip: $MF_1 + MF_2 = 2a = 2 . 4 = 8$.

Ta có $\{\begin{array}{l}M{F}_1+M{F}_2=8\\ M{F}_1+2M{F}_2=11\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}M{F}_1=5\\ M{F}_2=3\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}M{F_1} + M{F_2} = 8\\M{F_1} + 2M{F_2} = 11\end{array} \right.$ \Rightarrow $\left\{ \begin{array}{l}M{F_1} = 5\\M{F_2} = 3\end{array} \right.$

Vậy $2M{F_1} + M{F_2} = 2.5 + 3 = 13$.

b) Đúng. Bán kính đường tròn là khoảng cách từ A đến $\Delta$:

$R = d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.1 - 4( - 1) + 3} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{( - 4)}^2}} }} = 2$.

Vậy phương trình đường tròn là $\left( {x - 1} \right)^{2} + \left( {y + 1} \right)^{2} = 4$.

c) Sai. Một vecto pháp tuyến của $\Delta$ là $\overrightarrow {{n_\Delta }} = (3; - 4)$, suy ra một vecto chỉ phương của $\Delta$ là $\overrightarrow {{u_\Delta }} = (4;3)$, không cùng phương với $\overrightarrow u = ( - 4;3)$ nên $\overrightarrow u = ( - 4;3)$ không phải vecto chỉ phương của $\Delta$.

d) Đúng. Vecto pháp tuyến của d là $\overrightarrow {{n_d}} = (4;3)$.

Ta có $\overrightarrow {{n_\Delta }} .\overrightarrow {{n_d}} = 3.4 - 4.3 = 0$ nên $\Delta$ vuông góc với d.

Xác định phương trình parabol và tung độ của A, từ đó tính AB.

Tiêu điểm các đỉnh 5 cm nên $\frac{p}{2} = 5$.

Mà ${y^2} = 2px \Rightarrow {y^2} = 20x$.

Khi x = 15 thì ${y^2} = 20.15 = 300 \Rightarrow y = \pm 10\sqrt 3$.

Vậy $AB = 20\sqrt 3 \approx 34,6$ (cm).

$\Delta$ vuông góc với d nên nhận VTCP của d làm VTPT.

$\Delta$ vuông góc với d nên nhận $\overrightarrow n = (1; - 2)$ làm VTPT.

Phương trình $\Delta$ là:

$1(x + 5) - 2(y - 2) = 0$

$\Leftrightarrow x - 2y + 9 = 0$

$\Leftrightarrow 2x - 4y + 18 = 0$.

Vậy b + c = -4 + 18 = 14.

Áp dụng phương pháp tổ hợp.

Có tất cả 12 quả cầu (7 đỏ, 5 xanh).

Số cách chọn 3 quả cầu bất kì: $C_{12}^3 = 220$.

Số cách chọn 3 quả cầu cùng màu: $C_7^3 + C_5^3 = 45$.

Số cách chọn 3 quả cầu có đủ 2 màu: 220 – 45 = 175.

Bình phương hai vế, giải phương trình rồi thay vào các giá trị vừa tìm được vào phương trình ban đầu xem có thỏa mãn.

$\sqrt {{x^2} - 3x + 5} = \sqrt { - 2{x^2} + 4x + 1}$

${x^2} - 3x + 5 = - 2{x^2} + 4x + 1$

$3{x^2} - 7x + 4 = 0$

Giải phương trình trên, được x = 1 và $x = \frac{4}{3}$.

Thay vào phương trình ban đầu thấy cả hai đều thỏa mãn.

Vậy $A = 4.1 + 3.\frac{4}{3} = 8$.

${(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ... + C_n^k{a^{n - k}}{b^k} + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}$.

Số hạng tổng quát thứ $k + 1$ trong khai triển trên là:

$C_5^k{\left( {{x^2}} \right)^{5 - k}}{\left( {\frac{2}{x}} \right)^k} = C_5^k{.2^k}.{x^{10 - 3k}}$, $0 \le k \le 5$, $k \in \mathbb{N}$.

Số hạng chứa ${x^4}$ trong khai triển trên ứng với $k$ thỏa mãn:

$\{\begin{array}{l}10-3k=4\\ 0\le k\le 5\\ k\in \mathbb{N}\end{array}\iff k=2$$\left\{ \begin{array}{l}10 - 3k = 4\\0 \le k \le 5\\k \in \mathbb{N}\end{array} \right.$ \Leftrightarrow k = 2.

Hệ số của số hạng chứa ${x^4}$ trong khai triển trên là:

$C_5^2{.2^2} = 10.4 = 40$.

Áp dụng phương pháp tổ hợp.

Mỗi cách lấy ngẫu nhiên ba viên bi từ 12 viên bi được coi là một phần tử của không gian mẫu nên số phần tử của không gian mẫu là: $n\left( \Omega \right) = \;C_{12}^3 = 220$.

Gọi A là biến cố “3 viên bi lấy ra có ít nhất 2 viên bi màu đỏ”

Để lấy được 2 viên bi màu đỏ, ta có 2 trường hợp sau:

TH1: Lấy được 2 bi đỏ và 1 bi xanh.

Lấy 2 bi đỏ từ 7 bi đỏ có $C_7^2$ cách.

Lấy 1 bi xanh từ 5 bi xanh có $C_5^1$ cách.

Do đó có $C_7^2.C_5^1$ cách lấy 2 bi đỏ và 1 bi xanh.

TH2: Lấy được 3 bi đỏ và không lấy bi xanh. Lấy 3 bi đỏ từ 7 bi đỏ có $C_7^3$ cách.

Kết hợp 2 trường hợp, theo quy tắc cộng ta có:

$n\left( A \right) = C_7^2.C_5^1 + C_7^3 = 105 + 35 = 140$.

 Xác suất cần tìm là $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{140}}{{220}} = \frac{7}{{11}}$.

a) Lập phương trình đường tròn tâm I(3; -1) và bán kính R = 3.

b) Tính IA và so sánh với R.

a) Đường tròn mô tả ranh giới có tâm I(3; -1) và bán kính R = 3.

Phương trình đường tròn ranh giới: ${\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 9$.

b) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí A có tọa độ (2; 2) thì không thể sử dụng dịch vụ của trạm này vì:

$IA = \sqrt {{{\left( {2 - 3} \right)}^2} + {{\left( {2 + 1} \right)}^2}} = \sqrt {10} > 3 = R$.