Đề thi học kì 2 Toán 10 - Đề số 2

Hàm số bậc hai có dạng $y = a{x^2} + bx + c$.

$y = {x^2} + 3$ là hàm số bậc hai.

Bình phương hai vế và rút gọn.

$\sqrt {{x^2} + 3x + 2}  = \sqrt {3{x^2} + 1}$

${x^2} + 3x + 2 = 3{x^2} + 1$

$2{x^2} - 3x - 1 = 0$.

$(C):{x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0$ có tâm là I(a; b).

Tâm của (C) là I(-2; -3).

Áp dụng quy tắc xét dấu tam thức bậc hai.

$f\left( x \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta < 0\end{array} \right.$.

Áp dụng quy tắc nhân.

Để chọn 3 bông hoa có đủ 3 màu, ta thực hiện từng giai đoạn:

- Chọn 1 bông trắng: 5 cách.

- Chọn 1 bông đỏ: 6 cách.

- Chọn 1 bông vàng: 7 cách.

Số cách chọn 3 bông hoa đủ 3 màu là: 5.6.7 = 210 cách.

Quan sát bảng xét dấu.

f(x) > 0, $\forall x \in \left( {3; + \infty } \right)$.

Parabol ${y^2} = 2px$ (với p > 0) có tiêu điểm $F\left( {\frac{p}{2};0} \right)$.

Ta có $2p = \sqrt 3 \Rightarrow \frac{p}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}$. Tiêu điểm của parabol là $F\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{4};0} \right)$.

Áp dụng quy tắc xét dấu tam thức bậc hai.

$f\left( x \right) = {x^2} - 4x + 3 < 0 \Leftrightarrow 1 < x < 3$.

Tìm ĐKXĐ của hàm số.

$3x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{1}{3}$.

Đường thẳng $\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\end{array} \right.$ có một vecto chỉ phương là $\overrightarrow u = (a;b)$.

Một vecto chỉ phương của d có tọa độ (-3; 4).

Áp dụng quy tắc cộng.

Lớp 10A có 25 + 20 = 45 học sinh.

Số cách chọn 1 học sinh của lớp là 45 cách.

Phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$, với a > b > 0.

$\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1$ là phương trình elip.

Sử dụng các phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.

d) Sai. Đường tròn (C) có tâm I(1; 2) và bán kính R = 2.

c) Sai. Thay tọa độ M(1; 2) vào phương trình đường thẳng, được:

$3.1 - 4.2 + 10 = 5 \ne 0$ nên M(1; 2) không thuộc $\Delta$

b) Đúng. Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$ là $\overset{\rightarrow}{n} = \left( {3; - 4} \right)$.

a) Đúng. $3x - 4y + 10 = 0 \Leftrightarrow y = \frac{{3x + 10}}{4}$.

$\Delta$ cắt (C) tại:

${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {\frac{{3x + 10}}{4} - 2} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow x = \frac{{2 \pm 4\sqrt 3 }}{5}$.

Vậy $\Delta$ cắt (C) tại hai điểm phân biệt.

Quan sát đồ thị và trả lời. Từ các điểm thuộc đồ thị, tìm hệ số a, b, c. Thay tọa độ điểm M vào phương trình của (P), nếu thỏa mãn thì (P) đi qua M.

a) Sai. (P) có tung độ đỉnh bằng 2.

b) Đúng. $\forall x < 0\Rightarrow y > 2$.

c) Sai. (P) cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ trái dấu.

d) Đúng. (P) đi qua điểm có tọa độ (0; 2) và đỉnh có tọa độ (2; -1), ta có hệ:

$\{\begin{array}{l}2=a{.0}^2+b.0+c\\ -1=a{.2}^2+b.2+c\\ -\frac{b}{2a}=2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=\frac{3}{4}\\ b=-3\\ c=2\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}2 = a{.0^2} + b.0 + c\\ - 1 = a{.2^2} + b.2 + c\\ - \frac{b}{{2a}} = 2\end{array} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{3}{4}\\b = - 3\\c = 2\end{array} \right.$

$\Rightarrow (P):y = \frac{3}{4}{x^2} - 3x + 2$.

Ta có $\frac{3}{4}{.3^2} - 3.3 + 2 = - \frac{1}{4}$. Vậy (P) đi qua M.

Xác định 2 vecto pháp tuyến của hai đường thẳng. Tìm m sao cho tích vô hướng của hai vecto trên bằng 0.

Vecto pháp tuyến của d và $\Delta$ lần lượt là $\overrightarrow {{n_d}} = (2; - 1)$, $\overrightarrow {{n_\Delta }} = (m; - 30)$.

$d \bot \Delta \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_d}} .\overrightarrow {{n_\Delta }} = 0 \Leftrightarrow 2m + 30 = 0 \Leftrightarrow m = -15$.

Tìm điều kiện cho phương trình rồi bình phương hai vế để giải.

$\sqrt {2{x^2} + 2x + 9} = x - 2 \Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}x - 2 > 0\\2{x^2} + 2x + 9 = {x^2} - 4x + 4\end{array} \right.$

$\{\begin{array}{l}x>2\\ x^2+6x+5=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x>2\\ [\begin{array}{l}x=-1\\ x=-5\end{array}\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}x > 2\\{x^2} + 6x + 5 = 0\end{array} \right.$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 2\\\left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 5\end{array} \right.\end{array} \right. (vô lí).

Vậy phương trình vô nghiệm.

Áp dụng công thức tính tiêu cực của hypebol $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$: $2c = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}}$.

Từ phương trình của hypebol, suy ra ${a^2} = 37$, ${b^2} = 12$.

Ta có $c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {37 + 12} = 7$.

Vậy tiêu cực của hypebol là 2c = 14.

Lập hàm số biểu thị nhiệt độ T theo độ cao h.

Ta lập được hàm số T = 35 - 5h.

Khi T = 20, ta tính được h = 3.

Vậy A cách mặt đất 3 km.

Hàm phân thức xác định khi mẫu thức khác 0. Tìm m để phương trình $x^{2} + x + m$ vô nghiệm.

Điều kiện xác định của hàm số là $x^2 + x + m \neq 0$.

Hàm số xác định trên $\mathbb{R} \Leftrightarrow x^2 + x + m \neq 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

$\Leftrightarrow x^2 + x + m = 0$ vô nghiệm $\Leftrightarrow \Delta < 0 \Leftrightarrow 1 - 4m < 0 \Leftrightarrow m > \frac{1}{4}$.

Nếu $M({x_M};{y_M})$ là trung điểm đoạn thẳng AB thì ${x_M} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}$; ${y_M} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}$.

Đường thẳng $\Delta$ đi qua ${M_0}({x_0};{y_0})$ và nhận $\overrightarrow n = (a;b)$ làm vecto pháp tuyến có phương trình là $a(x - {x_0}) + b(y - {y_0}) = 0$.

I là trung điểm MN $\Rightarrow I(1;1)$.

Phương trình đường trung trực của đoạn $MN$ qua $I(1;1)$ nhận $\overrightarrow{MN} = (6;-4)$ là vectơ pháp tuyến có dạng:

$6(x-1) - 4(y-1) = 0 \Leftrightarrow 3x - 2y - 1 = 0$.

Giải bất phương trình $-10x^2 + 250x - 500 > 1000$.

Theo yêu cầu bài toán thì lợi nhuận một ngày khi bán loại gạo đó trên 1000000 đồng.

Nên ta được bất phương trình: $-10x^2 + 250x - 500 > 1000$ (*)

(x được tính theo đơn vị là nghìn đồng).

Giải bất phương trình (*) ta được 10 < x < 15.

Vậy cửa hàng phải bán với giá trong khoảng từ 10000 đến 15000 đồng một kg.