Đề thi học kì 2 Toán 10 - Đề số 1

Dựa vào công thức tính góc giữa hai đường thẳng.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi $\alpha$ là góc giữa hai đường thẳng AB và CD. Ta có $\cos\alpha = \left| {\cos\left( {\overset{\rightarrow}{AB},\,\overset{\rightarrow}{CD}} \right)} \right|$.

Phương trình đường tròn có tâm $I(x_{0};y_{0})$ bán kính là ${(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} = R^{2}$.

Phương trình đường tròn ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 9$ có tâm $I\left( {1;\, - 2} \right)$, $R = 3$.

Ba điểm $M,N,P$ thẳng hàng khi $\overset{\rightarrow}{MP} = k\overset{\rightarrow}{MN}$.

$P(x;y)$ là điểm trên trục hoành nên suy ra $P(x;0)$.

Ta có: $\overset{\rightarrow}{MN} = ( - 9;3);\ \overset{\rightarrow}{MP} = (x - 6; - 3)$.

Ba điểm $M,N,P$ thẳng hàng khi $\overset{\rightarrow}{MP} = k\overset{\rightarrow}{MN}$

$\left. \Leftrightarrow$$\left\{ \begin{matrix} {x - 6 = k\text{.}( - 9)} \\ {- 3 = k.3} \end{matrix} \right.$Leftrightarrow$\left\{ \begin{matrix} {x = 15} \\ {k = - 1} \end{matrix} \right.$ \right.

Vậy $P(15;0)$ suy ra $x + y = 15$.

Áp dụng công thức tổ hợp để chọn 3 phần tử từ 7 phần tử.

Số tập hợp con có 3 phần tử của một tập hợp có 7 phần tử là $C_{7}^{3}$.

Áp dụng công thức $c = \sqrt{a^{2} - b^{2}}$.

Phương trình (E) $\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1$.

Tiêu cự:$\left. F_{1}F_{2} = 2c = 2\sqrt{7}\Rightarrow c = \sqrt{7} \right.$.

$\left. 2a = 8\Rightarrow a = 4 \right.$.

$7 = a^{2} - b^{2} \Rightarrow b = 3$.

Vậy phương trình chính tắc là $\dfrac{x^{2}}{16} + \dfrac{y^{2}}{9} = 1$.

Hàng quy tròn của 1 số với độ chính xác d.

Hàng quy tròn của $a$ với độ chính xác $d = 999$ là hàng nghìn.

Phương trình đường thẳng đi qua điểm $I(x_{0};y_{0})$ có vecto chỉ phương $\overset{\rightarrow}{u} = (a;b)$ là $a(x - x_{0}) + b(y - y_{0}) = 0$.

Đường thẳng $d$ có phương trình $2x + 3y - 4 = 0$ có vecto chỉ phương $\overset{\rightarrow}{u} = \left( {2;3} \right)$.

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự tăng dần rồi tìm số ở vị trí chính giữa.

Sắp xếp lại mẫu số liệu ta được:

38  40  44  44  48  50  54  55  65  78  82

Dãy có 11 số nên trung vị là số hạng thứ 6 trong dãy số hạng.

Vậy trung vị là 50.

Vì đường thẳng cần tìm vuông góc với đường thẳng d nên vecto chỉ phương của nó là vecto pháp tuyến của d.

Đường thẳng $d: x - 2y + 1 = 0$ có vecto pháp tuyến là $\overset{\rightarrow}{n} = \left( {1; - 2} \right)$.

Phương trình đường thẳng có vecto pháp tuyển $\overset{\rightarrow}{u} = (2;1)$ và đi qua điểm $M\left( {2; 3} \right)$ có phương trình đường thẳng là $2x + y - 7 = 0$.

Tọa độ trọng tâm G bằng tổng tọa độ của 3 đỉnh tam giác chia 3.

Tam giác $ABC$ có $A\left( {3;5} \right)$, $B\left( {1;2} \right)$, $C\left( {5;2} \right)$.

Tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là $\left(\dfrac{3 + 1 + 5}{3};\dfrac{5 + 2 + 2}{3}\right) = (3;3)$.

Dùng công thức chỉnh hợp.

Việc chọn 3 học sinh từ 40 học sinh và phân vào 3 chức vụ khác nhau là số chỉnh hợp chập 3 của 40. Vậy, cô giáo có số cách chọn là $A_{40}^{3}$.

Sử dụng khai triển nhị thức Newton: ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n}C_{n}^{k}a^{n - k}b^{k}$.

Ta có: ${(3 + x)}^{7} = \sum_{k = 0}^{7}C_{7}^{k}3^{7 - k}x^{k}$.

Hệ số của $x^{3}$ ứng với $k = 3$.

Vậy hệ số của $x^{3}$ trong khai triển trên là: $C_{7}^{3} \cdot 3^{4}$.

Sử dụng công thức tổ hợp, chỉnh hợp để tính các cách sắp xếp.

a) Đúng.

- Gộp 2 nhóm: nhóm nam (5 bạn), nhóm nữ (3 bạn) nên 2 khối có thể xếp: 2! = 2 cách.

- Trong mỗi khối, xếp hoán vị các bạn: 5! và 3!.

Tổng số cách: 2.5!3! = 1440.

b) Sai. Chọn 2 bạn có phân biệt vai trò: hoán vị 2 bạn từ 8 bạn: $A_{8}^{2} = 56$.

c) Sai.

- Chọn 3 nam từ 5: $C_{5}^{3} = 10$.

- Chọn 2 nữ từ 3: $C_{3}^{2} = 3$.

Tổng số cách: $10.3 = 30$.

d) Đúng. Hoán vị 8 học sinh: 8! = 40320.

Dựa vào bảng số liệu và nhận xét.

a) Sai. Số học sinh đạt điểm 9 trở lên là 5 + 3 = 8 em.

b) Đúng. Theo bảng số liệu, không có điểm nào bé hơn 5.

c) Sai. Điểm trung bình của cả lớp là:

$\dfrac{5.5 + 6.8 + 7.9 + 8.15 + 9.5 + 10.3}{5 + 8 + 9 + 15 + 5 + 3} \approx 7,36$

d) Đúng. Tổng số học sinh của lớp là:

5 + 8 + 9 + 15 + 5 + 3 = 45.

Dùng công thức tọa độ bằng tổng tọa độ đoạn thẳng chia 2.

Vì A là trung điểm của BM, ta có:

$\{\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{3+a}{2}}=1\\ {\displaystyle \frac{-1+b}{2}}=2\end{array}$$\left\{ \begin{matrix} {\dfrac{3 + a}{2} = 1} \\ {\dfrac{- 1 + b}{2} = 2} \end{matrix} \right.$ $\left. \Rightarrow\left\{ \begin{matrix} \left. 3 + a = 2\Rightarrow a = - 1 \right. \\ \left. - 1 + b = 4\Rightarrow b = 5 \right. \end{matrix} \right. \right.$

Vậy 3a - b = 3.(-1) - 5 = -3 - 5 = -8.

Dùng gốc tọa độ di chuyển theo Oy, Ox để xác định tọa độ điểm M là bước chân.

Một bạn học sinh di chuyển từ gốc tọa độ O(0; 0).

Lên phía trước 2 bước → tức là đi theo trục Oy, nên y = 2.

Sang phải 3 bước → tức là đi theo trục Ox, nên x = 3.

Suy ra M(3; 2).

Vậy 2a - b = 2.3 - 2 = 6 - 2 = 4.

Áp dụng phương pháp tổ hợp.

Chọn 1 nam toán, 1 nữ toán, 1 nam lý có $C_{5}^{1}.C_{3}^{1}.C_{4}^{1}$ cách.

+ Chọn 1 nữ toán, 2 nam lý: $C_{3}^{1}.C_{4}^{2}$ cách.

+ Chọn 2 nữ toán, 1 nam lý: $C_{3}^{2}.C_{4}^{1}$ cách.

Áp dụng quy tắc cộng, ta có:

$C_{5}^{1}.C_{3}^{1}.C_{4}^{1} + C_{3}^{1}.C_{4}^{2} + C_{3}^{2}.C_{4}^{1} = 90$ (cách chọn).

Sắp xếp lại mẫu số liệu theo thứ tự tăng dần.

Tìm khoảng tứ phân vị $\Delta_Q = Q_3 - Q_1$.

Sắp xếp tăng dần: 96, 112, 112, 113, 113, 114, 115, 116, 118, 119, 120, 123, 125, 126, 127, 150

Nửa dưới: 96, 112, 112, 113, 113, 114, 115, 116

Nửa trên: 118, 119, 120, 123, 125, 126, 127, 150

Lấy trung bình của số thứ 4 và thứ 5 của nửa dưới:

$Q_1 = \dfrac{113 + 113}{2} = 113$.

Lấy trung bình của số thứ 4 và thứ 5 của nửa trên:

$Q_3 = \dfrac{123 + 125}{2} = 124$.

$\Delta_Q = Q_3 - Q_1 = 124 - 113 = 11$.

a) Phương trình đường thẳng đi qua điểm $I(x_{0};y_{0})$ có vecto chỉ phương $\overset{\rightarrow}{u} = (a;b)$ là $a(x - x_{0}) + b(y - y_{0}) = 0$.

b) Phương trình mặt cầu có tâm $I(x_{0};y_{0})$ bán kính là ${(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} = R^{2}$.

a) Phương trình tổng quát đường thẳng $\Delta$ đi qua $A\left( {- 3;1} \right)$ và có một vectơ pháp tuyến $\overset{\rightarrow}{n}\left( {2;1} \right)$ là:

$2\left( {x + 3} \right) + \left( {y - 1} \right) = 0$

$\left. \Leftrightarrow 2x + y + 5 = 0 \right.$.

Vậy phương trình tổng quát đường thẳng $\Delta$ là $2x + y + 5 = 0$.

b) Bán kính của đường tròn $(C)$ là:

$R = d\left( {O,\Delta} \right) = \dfrac{\left| {2.0 + 0 + 5} \right|}{\sqrt{2^{2} + 1^{2}}} = \sqrt{5}$.

Vậy phương trình đường tròn $(C)$ là: $x^{2} + y^{2} = 5$.

Sử dụng khai triển nhị thức Newton: ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n}C_{n}^{k}a^{n - k}b^{k}$.

a) $\left( {1 - 2x} \right)^{5}$

$= C_{5}^{0} - C_{5}^{1}.2x + C_{5}^{2}.\left( {2x} \right)^{2} - C_{5}^{3}.\left( {2x} \right)^{3} + C_{5}^{4}.\left( {2x} \right)^{4} - C_{5}^{5}.\left( {2x} \right)^{5}$

$= 1 - 10x + 40x^{2} - 80x^{3} + 80x^{4} - 32x^{5}$.

b) $\left( {x + 1} \right)\left( {1 - 2x} \right)^{5}$

$= \left( {x + 1} \right)\left( {1 - 10x + 40x^{2} - 80x^{3} + 80x^{4} - 32x^{5}} \right)$

Tìm được hệ số của $x^{4}$ là: $- 80 + 80 = 0$.

Dùng chỉnh hợp để tính các trường hợp sắp xếp chữ số.

Nếu kể cả trường hợp chữ số 0 đứng đầu, ta xét lần lượt như sau:

Có 10 cách chọn chữ số xuất hiện 3 lần và có $C_{6}^{3}$ cách chọn 3 trong 6 vị trí cho chữ số đó.

Sau đó có 9 cách chọn chữ số (khác với chữ số trên) xuất hiện 2 lần và có $C_{3}^{2}$ cách chọn 2 trong 3 vị trí còn lại cho chữ số đó.

Tiếp theo có 8 cách chọn chữ số cho vị trí còn lại cuối cùng.

Ta được số các số đó là $10.C_{6}^{3}.9.C_{3}^{2}.8 = 43200$ (số).

Vì vai trò của 10 chữ số 0, 1, ..., 9 như nhau nên số các số có chữ số đầu trái là 0 chiếm $\dfrac{1}{10}$ tổng các số trên. Do đó số các số có chữ số đầu trái khác 0 thỏa mãn bài toán bằng $\dfrac{9}{10}.43200 = 38880$ (số).